6.6.6. Потенциальная точность измерения

Выше было получено выражение для дисперсии результирующей ошибки измерения параметра, меняющегося во времени. Однако при его выводе с самого начала использовалась специфическая аппроксимация функции правдоподобия. Между тем в неменьшей степени интересно определить потенциальный минимум дисперсии измерения, по возможности не пользуясь какими-либо приближениями. В случае, если бы выяснилось совпадение истинного предела точности с ранее выведенным выражением, это явилось бы доказательством несущественного отхода от истинного оптимума при использовании гауссовых аппроксимаций функции правдоподобия.

Пусть априорное распределение вероятностей для известно и может быть описано плотностью Будем считать, что существуют производные — Докажем, что для любой оценки

вектора описывающего реализацию переменного параметра, имеет место неравенство

где - элементы матрицы вторых моментов ошибок измерения порядка симметричная матрица порядка обратная матрице с элементами

произвольные величины, причем равенство в (6.6.58) достигается в том случае, когда для всех выполняются соотношения:

Для доказательства рассмотрим функции

и образуем функции

Введем произвольчые величины и составим сумму Интеграл от квадрата

функции очевидно, больше или равен нулю. Поэтому

так как

Рассмотрим интегралы, входящие в правую часть неравенства (6.6.63):

Интегрируя по частям, получаем

и тогда (6.6.63) приводится к виду

откуда и следует неравенство (6.6.58). В силу произвольности равенство в (6.6.63) и, следовательно, в (6.6.58) достигается при т. е. при выполнении (6.6.60).

Неравенство (6.6.58) показывает, что эллипсоид рассеяния для любой оценки X целиком включает в себя эллипсоид, соответствующий матрице С. Благодаря произвольности величин из (6.6.58) следует

т. е. средний квадрат ошибки измерения в любой момент времени ограничен снизу величиной

Оценки переменного параметра для которых в неравенствах (6.6.58), (6.6.63) и (6.6.70) достигается знак равенства, по аналогии со случаем постоянного параметра естественно назвать эффективными. Тогда матрица представляет собой матрицу вторых моментов ошибок измерения в случае эффективных оценок и характеризует потенциальную точность измерения. Она устанавливает нижнюю границу точности измерения изменяющихся со временем параметров входных сигналов в случае известной априорной статистики. степени различия и величин вычисленных для какого-либо конкретного правила образования оценки можно судить о близости этого правила и соответствующего ему устройства, осуществляющего измерение, к оптимальным, обеспечивающим потенциально возможную точность измерения. В качестве показателя эффективности, количественно характеризующего эту близость, удобно выбрать отношение дисперсии ошибок измерения в любой интересующий нас момент времени для неэффективной и эффективной оценок, т. е.

Выражение (6.6.59) для матрицы можно преобразовать к виду, более удобному для вычислений. Вводя снова логарифм функции правдоподобия

и имея в виду, что

получим

Таким образом, матрица представляется в виде суммы двух, матриц: матрицы

зависящей только от априорного распределения к, и матрицы

где матрица определяется выражением

Матрица А зависит в общем случае как от способа кодирования и свойств входного сигнала так и от априорного распределения. Как мы убедимся в дальнейшем на примерах, в целом ряде практически интересных случаев матрица не зависит от k. Тогда и априорное распределение вероятностей влияет на потенциальную точность измерения только посредством матрицы

Матрица А, как ясно из определения, это есть та матрица, которой мы пользовались в решении задачи синтеза оптимальной системы измерения. Матрица при

гауссовой априорной статистике равна матрице Поэтому в этом случае

или

следовательно, при гауссовой априорной статистике матрица эффективных оценок совпадает с той самой матрицей С, которая появилась в процессе решения задачи синтеза и которая, как было показано раньше, характеризует точность синтезированного измерителя в линеаризованном режиме.

Отсюда следует вывод, что синтезированный измеритель действительно является оптимальным до тех пор, пока выполняются условия его линеаризации, поскольку он обеспечивает потенциально возможную точность.