8.2.2. Характеристики оптимального дискриминатора

Для расчета характеристик дискриминатора запишем входной сигнал в виде

где огибающая отраженного сигнала в периоде независимые случайные фазы, равномерно распределенные в интервале истинное значение задержки.

Функция уже является не периодической, а описывает одиночный импульс и нормирована прежним способом на единичную среднюю мощность.

Во выргжения, описывающие реальные дискриминаторы, входят произведения поэтому ьведем комплексный сигнал

и будем искать необходимые статистические характеристики именно для него. Сигнал согласно (8.2.6) содержит низкочастотную компоненту и составляющую частоты При любом выполнении дискриминатора последняя составляющая не проходит на его выход, поэтому в выражениях для статистических характеристик мы будем удерживать только низкочастотные составляющие, имея в виду, что интегралы, содержащие высокочастотные составляющие функции корреляции сигнала все равно обратятся в нуль.

Найдем низкочастотную составляющую функции корреляции. Опуская высокочастотные составляющие, получаем

где

Усреднение в (8.2.8) по амплитудам и фазам проводится по отдельности благодаря их независимости. Кроме того, в силу независимости и равномерности распределения фаз в различных периодах члены в двойной сумме с обращаются в нуль.

Для вычисления флюктуационной характеристики и эквивалентной спектральной плотности нам понадобится четвертый смешанный момент для значений Также

как при вычислении функции корреляции можно показать, что

При выводе формулы (8.2.9) учтено, что нас будут интересовать интегралы от этого выражения по всем причем интегрирование по и соответственно по всегда будет производиться по одному и тому же периоду.

Найдем выражение для дискриминационной характеристики. Заметим, прежде всего, что так как в формулах (8.2.1), (8.2.3) — (8.2.5) интегрирование производится только по одному периоду, в эти формулы входят фактически значения модулирующей функции и только в этом периоде. Поэтому

Используя данное обстоятельство, опуская в формуле (8.2.5) несущественный численный множитель заменяя переменную на и вводя прежнее обозначение получаем

где — функция автокорреляции одного периода модуляции, определенная в гл. 1 и 7 [см., например, (7.2.9)].

Замена переменных интегрирования в (8.2.11) без изменения пределов интегралов допустима благодаря периодичности подынтегральных функций.

Сравнение выражения (8.2.11) с (7.2.10) показывает, что дискриминационная характеристика в данном случае совпадает с дискриминационной характеристикой оптимального когерентного дискриминатора с точностью до множителя. Поэтому ее зависимость от вида модуляции будет иметь прежний характер. Крутизна дискриминатора определится выражением

совпадающим с точностью до постоянного множителя с выражением для крутизны в когерентном случае.

Найдем теперь выражение для флюктуационной характеристики. Так же как при вычислении можно получить

где функция корреляции флюктуаций; отношение энергии принятого сигнала за период к односторонней спектральной плотности шума, уже использовавшееся ранее в гл. 5 в качестве отношения сигнал/шум в некогерентном случае; дельта-символ Кронекера

Выражение (8.2.13) характеризует флюктуационную составляющую на выходе дискриминатора при дискретном рассмотрении. В большинстве реальных случаев инерционность сглаживающих цепей велика по сравнению с периодом повторения сигнала. В этих случаях дискретный процесс на выходе дискриминатора можно заменить непрерывным. Правило замены вытекает из представления выходной величины дальномера. В дискретном случае она равна

где - значения импульсной реакции сглаживающего фильтра в моменты

Если функция меняется медленно по сравнению с то

где непрерывный процесс определяется как

В соответствии с этим при непрерывном рассмотрении найденное выше выражение для крутизны следует разделить на а для функции корреляции определив функцию корреляции непрерывного процесса соотношением

Тогда на основании формул (8.2.12) — (8.2.14) функция корреляции эквивалентного флюктуационного возмущения на входе дальномера, определяющего эквивалентную спектральную плотность, равна

где

Формула (8.15) определяет флюктуационную характеристику дискриминатора

где по-прежнему нормированная спектральная плотность флюктуаций отраженного сигнала.

Зависимость функции от характеристик модуляции полностью совпадает с соответствующей зависимостью для когерентного случая (7.2.20), которая уже была исследована в гл. 7. Зависимость от отношения сигнал/шум и характеристик флюктуаций сигнала получается иной. Рассмотрим прежде всего значение при т. е. эквивалентную спектральную плотность дискриминатора Из формулы (8.2.16) следует, что

Это выражение, очевидно, совпадает с выражением (7.2.15) для когерентного случая, если считать, что спектральная плотность флюктуаций сигнала имеет вид прямоугольной функции с шириной Такое совпадение вполне естественно, так как при ширине спектра когерентный сигнал совпадает с некогерентным. Зависимость от уже исследована фактически ранее в гл. 7. Очевидно, что кривая рис. 7.3 для прямоугольного спектра флюктуаций описывает одновременно и зависимость от величины из (8.2.17) при замене на При больших отношениях сигнал/шум величина равна что совпадает с предельным значением для когерентного сигнала при больших Это означает, что при оптимальном построении и высоких уровнях сигнала когерентные и некогерентные дальномеры обеспечивают одинаковую точность.

При не очень больших отношениях сигнал/шум некогерентность сигнала приводит к определенному проигрышу в точности, величина которого для случая прямоугольного спектра флюктуаций сигнала может быть

определена следующим выражением:

которое справедливо при

При это отношение обращается в единицу. Формула (8.2.18) показывает, что для одинаковой точности когерентного и некогерентного измерителей дальности требуется, чтобы было велико по сравнению с единицей, соответственно с

Рис. 8.1. Проигрыш в точности некогерентных измерителей дальности.

Зависимость отношения (8.2.18) от при разных значениях построена на рис. 8.1. Из этого рисунка следует, что при высоких частотах повторения и значениях отношения сигнал/шум проигрыш за счет некогерентности может быть довольно существенным. Наличие такого

проигрыша является еще одним основанием для выбора в некогерентных радиолокаторах низкой частоты повторения (см. гл. 5).

Найдем теперь спектральную плотность параметрических флюктуаций. Из (8.2.16) следует, что

т. е. совпадает с точностью до численного множителя а порядка с величиной и так же, как в оптимальном когерентном дальномере, не зависит от вида модуляции зондирующего сигнала. При прямоугольном спектре флюктуации в случае экспоненциальной функции корреляции

Таким образом, оптимальный некогерентный дискриминатор как по характеру зависимостей дискриминационной и флюктуационной характеристик от вида модуляции и величины рассогласования, так и по величине эквивалентной спектральной плотности при достаточно больших отношениях сигнал/шум не отличается от когерентного. Существенное различие в характеристиках точности может иметь место только при небольших по сравнению с единицей отношениях сигнал/шум когда проигрыш в точности примерно равен (при малых ) величине