10.5.2. Исследование квазиоптимальной схемы и схемы с узкополосными фильтрами

Исследование схем начнем со схемы рис. 10.8. Предположим, что гетеродинный сигнал имеет вид где отлична, вообще говоря, от амплитудной модуляции принимаемого сигнала от его фазовой модуляции Таким образом, принимаемый сигнал умножается на

Импульсную реакцию фильтров в первых двух каналах обозначим через Эти фильтры будем считать одинаковыми, что существенно упростит дальнейшие выкладки. Импульсную реакцию фильтра в третьем канале обозначим через Положим

t. e. - частотные характеристики низкочастотных эквивалентов рассматриваемых фильтров.

-Для определенности при анализе схем ограничимся только рассмотрением равномерного конического сканирования диаграммы направленности. Модуляция принимаемого сигнала выражается в этом случае формулой (10.2.2). Очевидно, основные закономерности, полученные здесь, качественно сохраняются и при других законах сканирования.

Сигнал на выходе схемы рис. 10.8 при сделанных предположениях может быть записан в следующем довольно громоздком виде:

Производя в обратном порядке рассуждения, с помощью которых был произведен переход от выражения (10.3.24) к (10.3.29), можно (10.5.3) привести к виду, наиболее удобному для дальнейших вычислений, именно:

Первым этапом расчета точности схемы является вычисление крутизны дискриминационной характеристики (или коэффициента передачи радиотракта)

и систематической ошибки

Произведем вычисление этих величин подробно, так как выкладки, производимые здесь, являются типичными для расчета угломерных систем. Перемножая в (10.5.4) интегралы, производя усреднение под знаком интегралов быстроколеблющихся членов и производя также статистическое усреднение, получаем

Далее учтем то обстоятельство, что функции изменяются значительно более быстро, нежели остальные функции под знаками интегралов в (10.5.7). Усредняя их, имеем

где

Отыскивая производную от (10.5.8) по а при и усредняя ее по времени, найдем 00 00

Полагая непосредственно в выражении (10.5.8), получаем т. е. систематическая ошибка отсутствует.

Теперь займемся расчетом основной точностной характеристики схемы — эквивалентной спектральной плотности. Эта величина определяется, как известно, следующим образом:

Опуская выкладки, которые весьма подобны только что проделанным, получаем результат в следующем виде: 00

где

Выражение (10.5.12) является довольно громоздким. Однако из него можно сделать некоторые общие выводы относительно влияния на тех или иных факторов. В частности, из (10.5.12) видно, что неидеальности гетеродинирования приводят к эквивалентному изменению отношения сигнал/шум согласно формуле (10.5.13). Легко видеть, что

причем знак равенства достигается в единственном случае, если Например, в случае, когда представляет собой импульсы длительности — импульсы длительности а фазовая модуляция сигнала отсутствует (или же сворачивается точно), получим:

Таким образом, всякая неидеальность гетеродинирования приводит к эффекту, эквивалентному увеличению собственных шумов приемника.

Это явление имеет весьма общий характер. В предыдущих главах было показано, что оно имеет место, например, в дальномерных и частотомерных

радиолокационных схемах. Неидеальность гетеродинирования во всех случаях приводила к эквивалентному уменьшению отношения сигнал/шум, причем это уменьшение выражается единой формулой (10.5.13). Очевидно, что это явление будет иметь место и во всех схемах радиолокационных угломеров. Поэтому в дальнейшем при исследовании угломерных схем будем для простоты считать гетеродинирование идеальным. Неидеальность гетеродинирования при желании легко может быть учтена путем замены отношения сигнал/шум на

Рассмотрим теперь подробнее выражение (10.5.12) для Оно содержит три слагаемых: одно не зависящее от отношения сигнал/шум второе — пропорциональное и третье — пропорциональное Первое слагаемое возникает в результате нелинейного преобразования полезного сигнала, осуществляемого в схеме. Это слагаемое является результатом неправильного выбора характеристик фильтров. В оптимальной схеме, как мы отмечали в предыдущем параграфе, подобная составляющая ошибки отсутствует. Остальные два слагаемых в (10.5.8) объясняются, соответственно, взаимодействием полезного сигнала с шумом и нелинейным преобразованием шума. Эти составляющие ошибки полностью исключить нельзя и надлежащим выбором характеристик фильтров можно лишь уменьшить.

Непосредственным варьированием выражения (10.5.12) по частотным характеристикам фильтров легко убедиться, что достигает минимума, когда будет определяться формулой (10.3.25), а формулой (10.3.28), где заменится, разумеется, на Тогда станет равной Это подтверждает правильность получаемых результатов.

Вернемся теперь к вопросу о физически реализуемом эквиваленте оптимального фильтра с частотной характеристикой (10.3.28), оставленному нерешенным в § 10.3. Из формулы (10.5.12) видно, что частотная характеристика содержится в ней в виде выражений Это значит, что не изменится, если вместо фильтра с характеристикой использовать фильтр с характеристикой где любое целое число. Выбирая настолько большим, чтобы

можно добиться того, чтобы фильтр с характеристикой стал физически реализуемым.

Перейдем к рассмотрению схемы рис. 10.9. Она, как было установлено, оптимальна при высоких частотах сканирования. Поэтому помимо учета неидеальностей обработки в этой схеме представляет интерес оценить также ухудшение точности по сравнению с оптимальной, которое дает эта схема при других номиналах частоты сканирования. Если фильтры в схеме имеют частотную характеристику а гетеродинный сигнал имеет вид (10.5.1), то выражение для эквивалентной спектральной плотности получается немедленно из (10.5.12), если там положить Тогда

Несмотря на значительное упрощение этой формулы по сравнению с (10.5.12), непосредственно из нее усмотреть зависимость точности измерения от формы частотной характеристики фильтра или величины частоты сканирования затруднительно. Для исследования этих зависимостей необходимо произвести вычисление интегралов в (10.5.13), воспользовавшись подходящими аппроксимациями частотной характеристики фильтров и спектра флюктуации.

Произведем такой расчет, аппроксимируя частотную характеристику фильтра выражением

а выражением (10.3.26). При этом получим

где

Исследуем формулу (10.5.17). Хотя она получена при довольно частных аппроксимациях частотной характеристики фильтров и спектра флюктуаций сигнала, закономерности изменения выражаемые этой формулой, сохраняются и в более общих случаях. Прежде всего мы рассмотрим предельные случаи, когда закономерности изменения значительно упрощаются. При малых х вместо формулы (10.5.17) получим

Таким образом, спектральная плотность ошибки при уменьшении х, т. е. при сужении полосы фильтра, растет обратно пропорционально х. При малых х составляющая ошибки, происходящая от нелинейного преобразования полезного сигнала, монотонно падает с ростом частоты сканирования. Остальные составляющие ошибки почти не зависят от

При больших х, т. е. при расширении полосы фильтров, формула (10.5.17) принимает весьма простой вид

Отсюда что при достаточно широкополосных фильтрах спектральная плотность ошибки измерения обусловлена в основном нелинейным преобразованием сигнала и растет пропорционально х. От частоты сканирования ошибка в этом случае не зависит.

При больших эквивалентная спектральная плотность равна

Из (10.5.20) видно, что достигает минимума при Это и понятно, так как рассматриваемая схема при больших С является оптимальной. Уменьшение или увеличение х по сравнению с приводит к увеличению спектральной плотности.

При малых С получаем также весьма простую формулу

В данном случае оптимум по достигается при достигает минимального значения), а не при так как при малых С эта схема не является оптимальной и закономерности здесь будут другие.

Чтобы судить об относительном изменении точности рассматриваемой схемы по сравнению с оптимальной, представляет интерес исследовать отношение -Спектральная плотность при аппроксимации спектра флюктуаций формулой (10.3.26) была рассчитана в предыдущем параграфе и представлена формулой (10.4.16). График зависимости отношения от для различных значений х и построен на рис. 10.13. Из этого рисунка видно, что при высоких частотах сканирования точность рассматриваемой схемы близка к оптимальной в весьма широком диапазоне изменений отношение При низких частотах сканирования точность рассматриваемой схемы довольно сильно отличается от оптимальной; отличие тем больше, чем больше Это объясняется тем, что при низких частотах сканирования эквивалентная спектральная плотность рассматриваемой схемы при

Рис. 10.13. (см. скан) Зависимость от для схемы с узкополосными фильтрами радиотракта угломера со сканирующей диаграммой:

стремится к конечной величине (ибо имеется составляющая обусловленная нелинейным преобразованием полезного сигнала); у оптимальной же схемы эквивалентная спектральная плотность при стремится к нулю.

Остановимся теперь на спектральной плотности параметрических флюктуаций. Как было показано в гл. 6, она имеет вид

Расчет произведем для случая высоких частот сканирования, когда уже мало и значительная доля общей ошибки обусловлена параметрическими флюктуациями. Выкладки при вычислении весьма подобны тем, с помощью которых были вычислены Поэтому мы приведем сразу окончательный результат

Таким образом, не зависит от отношения сигнал/шум и частоты сканирования. Расчет по (10.5.23) при аппроксимации (10.5.16) и (10.3.26) дает

При больших величина при малых спектральная плотность Закономерности такого рода сохраняются качественно и для других форм частотной характеристики и спектра флюктуаций.