12.3.6. Оптимальный измеритель марковских параметров

При построении измерителя нескольких марковских параметров воспользуемся методами, предложенными в § 6.9. Начнем со случая дискретного наблюдения (импульсного сигнала), когда можно воспользоваться соотношением для финальных апостериорных вероятностей

обобщающим (6.5.24) на векторный случай. Здесь вектор-столбец измеряемых параметров в момент времени; его апостериорная вероятность; функция правдоподобия входной смеси в момент (период) наблюдения; многомерная плотность вероятности перехода.

В предположении малой апостериорной неточности введем гауссову аппроксимацию в виде

где матрица вторых моментов выходных ошибок в момент; обратная ей матрица; — вектор-столбец оценок параметров. Аппроксимацию функции правдоподобия будем брать в одном из двух видов

В первом случае разложение проводится возле оценки максимума правдоподобия а во втором — в точке определяемой экстраполяцией вектора оценки от предыдущего момента вектор-столбец, зависящий от вектор-столбца к с тем же числом компонент).

Необходимо еще уточнить вид многомерной функции перехода. Для диффузионного векторного процесса на малых интервалах времени допустима гауссова аппроксимация

где - матрица корреляционных моментов случайных изменений параметров за интервал в первом приближении пропорциональных многомерным коэффициентам диффузии — обратная ей матрица. Результат экстраполяции к следующему моменту в условии малого можно выразить через многомерные коэффициенты сноса снова ограничиваясь линейными по времени членами:

Произведем разложение в точке оценки

где — квадратная матрица, зависящая от k.

Подставим (12.3.53), (12.3.54) и (12.3.56) с учетом (12.3.57) и (12.3.58) в (12.3.52). Тогда после интегрирования и приравнивания логарифмов обеих частей образовавшегося выражения получаем матричные формулы

где экетраполяционная матрица частных производных новых по старым значениям параметров, аналогичная скалярному множителю в (6.9.6) и (6.9.7).

Соотношения (12.3.59) и (12.3.60) вполне сходны с (6.9.6) и (6.9.7). Так по (12.3.59) вектор оценок образуется весовым сложением столбца оценок, упрежденного на шаг, и вектор-столбца новых замеров Матричный вес первого слагаемого определяется суммой экстраполированной матрицы выходных ошибок в предыдущий момент и матрицы дисперсий ожидаемых изменений параметров. Вес второго слагаемого равен матрице физический смысл которой подробно пояснялся выше. «Информационная» матрица (обратная корреляционной согласно (12.3.60) на каждом шагу изменяется за счет действия трех факторов — экстраполяции, случайных изменений параметра и поступления новых сведений о параметрах.

Когда аппроксимация функции правдоподобия проводится согласно (12.3.55), соотношение (12.3.59) заменяется на

где вычисляется снова по (12.3.60).

Соотношение (12.3.61) является векторным обобщением формул гл. 6 и трактуется тем же способом.

Сравнительно нетрудно получить из дифференциальные уравнения для непрерывного наблюдения. Они имеют матричный вид:

но физическая трактовка их практически не отличается от скалярного случая. Здесь совокупность

выхидных величин оптимальных многомерных дискриминатора и блока точности.

Выше нигде не оговаривалось, что все I измеряемых параметров должны быть закодированы в принимаемом сигнале (сигналах), они должны лишь являться достаточными координатами совокупности измеряемых величин. Параметры могут, например, распадаться на групп, каждая из которых характеризует один реально кодируемый в сигнале параметр В частном случае все могут быть достаточными координатами одного параметра. Так, если дальность цели является марковским процессом 3-го порядка, то в качестве достаточных (и необходимых в процессе сглаживания) ее координат могут служить дальность, скорость и ускорение в некоторый момент или значения дальности в три различных момента времени (например, текущий, предыдущий и предпредыдущий периоды сигнала). В подобных случаях столбец и матрица распадаются на блоков, внутри которых отличен от нуля лишь один элемент, соответствующий реально закодированной в сигнале величине, а все прочие равны нулю. Это не приводит ни к каким теоретическим или техническим трудностям при реализации измерителя.

Заметим еще, что когда допустимо заменить на К, а матрицы и от параметров не зависят, поведение выходной корреляционной матрицы перестает зависеть от реализации, и уравнение (12.3.63) может быть в принципе решено заранее. В итоге операции сглаживания сводятся к (12.3.62) или (12.3.64), где некоторая известная матрица-функция. Это, естественно, сильно упрощает техническую задачу построения измерителя.

Структура замкнутого варианта многомерного измерителя в приближении показана на рис. 12.9. Измеритель состоит из многомерного дискриминатора 1, управляемых усилителей 2, коэффициенты которых выдаются блоком определения ошибок 3, сумматоров 4, интеграторов 5 и блока нелинейных преобразователей 6, вводящих среднее значение сноса в зависимости от измеренных параметров. Как видим, нелинейность в цепях сглаживания остается даже в этом простом случае.

Итак, при марковских параметрах сглаживающие цепи измерителя становятся в общем случае нелинейными. В то же время элементы первичной обработки — многомерные дискриминатор и блок точности — остаются теми же, что и для гауссовых параметров.

Рис. 12.9. (см. скан) Оптимальный многомерный измеритель марковских параметров: 1 — многомерные дискриминаторы; 2 — управляемые усилители; 3 — блоки определения результирующих ошибок; 4 — сумматоры; 5 — интеграторы; 6 — нелинейные преобразователи.

Статистический синтез, проведенный выше, показывает, что измеритель нескольких параметров (или линейных функционалов от них) не является простой совокупностью независимых измерителей отдельных параметров (функционалов). Если даже удается выделить в совместных дискриминаторе и сглаживающих цепях

отдельные элементы, относящиеся к измерению только одного параметра, то обычно остается целый ряд элементов, необходимых для измерителя в целом. Внутренние причины появляющихся связей — зависимость входных сигналов сразу от нескольких параметров, взаимосвязь кодировок этих параметров в сигналах и статистические связи между самими параметрами. Аппаратурные связи реализуются, во-первых, в многомерном дискриминаторе (в виде общих входных клемм, группировки выходных величин, если параметр закодирован в разных сигналах различно, и подачи измеренных значений параметров сразу на все парциальные дискриминаторы) и, во-вторых, в сглаживающих цепях (в виде общих входных и выходных величин). Конкретизация возникающих связей дана в последующих параграфах, где проведен частный синтез дискриминаторов и сглаживающих цепей для сигналов и параметров с различными свойствами.