6.8.3. Параметр — линейная комбинация известных функций со случайными множителями

В широком классе практических приложений, например при измерении координат тел, летящих по законам баллистики, характер изменения бывает известен с точностью до некоторых не зависящих от времени параметров значения которых в силу начальных условий наблюдения следует считать случайными. Можно представить эту зависимость в виде

Будем полагать, что

где среднее значение; небольшое нормально распределенное отклонение от среднего значения,

Тогда функция (6.8.40) может быть приближенно представлена в виде

где

— известные функции.

Согласно (6.8.42) параметр тогда является нормальным случайным процессом. Среднее значение его равно а функция корреляции определяется очевидным соотношением

где матрица смешанных моментов величин вектор-столбец с элементами знак "+" означает транспонирование.

Вообще говоря, параметр вида (6.8.42) является вырожденным случайным процессом, полностью определяемым -мерным распределением вероятностей, так что обратная матрица при любом число моментов наблюдения) для него не существует. Это формальное затруднение, позволяющее усомниться в применимости в данном случае результатов, полученных в § 6.6, легко может быть обойдено, если прибавить к произвольно малый невырожденный случайный процесс Тогда функция корреляции процесса допускает обращение, распределение получается невырожденным при любом а в уравнении (6.6.53) будет содержаться функция корреляции Устремляя нулю, получаем уравнение, в которое входит функция корреляции (6.8.43).

Нахождение цепей сглаживания начнем с простейшего случая

где известные функции; нормально распределенная величина, для которой так что

Уравнение (6.6.53) принимает вид

т. е. является интегральным уравнением с вырожденным ядром. Отыскивая его решение в виде нетрудно получить окончательно

откуда ошибка измерения равна

и в случае, когда значение параметра нарастает не быстрее конечной степени всегда стремится к нулю при Например, при

имеем

Стремление ошибки измерения к нулю является специфической особенностью рассматриваемого случая и

обусловлено тем, что закон изменения известен с точностью до постоянного множителя Задача фильтрации фактически заключается в измерении (оценке) этого постоянного множителя. Из теории оценок известно что измерение постоянного параметра может быть (произведено с ошибкой, стремящейся к нулю при увеличении числа замеров, причем при измерении коэффициента параболы степени, смешанной с белым шумом со спектральной плотностью дисперсия ошибки при отсутствии каких-либо априорных данных об этом коэффициенте как раз составляет

Рис. 6.38. Сглаживающие цепи для квазирегулярного параметра (однопетлевой вариант измерителя): 1,3 — усилители с переменным усилением; 2 — интегратор.

Отыскивая решение уравнения (6.6.54) в виде при определяемом согласно (6.8.46), имеем

По (6.8.49) сглаживающий фильтр однопетлевой системы обладает переменными параметрами при любом времени наблюдения. Сглаживание (рис. 6.38) состоит в умножении сигнала на выходе дискриминатора на функцию последующем интегрировании и умножении на функцию Выходной сигнал интегратора является текущей оценкой параметра и используется в качестве множителя для генерируемого в схеме закона изменения параметра После введения образуется оценка

Характерным для фильтра с характеристикой (6.8.49) является постепенное запирание выхода дискриминатора или, иными словами, «замораживание» оцениваемого коэффициента, происходящее тем быстрее, чем меньше эквивалентная спектральная плотность

Рис. 6.39. Сглаживающие цепи для квазирегулярного параметра (двупетлевой вариант измерителя): 1,3 — усилители с переменным усилением; 2 — интегратор; 4 — постоянный усилитель.

Это объясняется тем, что закон изменения априори известен, так что конечный интервал реализации позволяет с хорошей точностью предсказать поведение параметра во последующие моменты времени. По истечении этого интервала ошибка измерения уже становится малой, и лишь особо заметные выбросы выходного напряжения дискриминатора подправляют оценку

С равным успехом сглаживание может проводиться двупетлевой системой типа рис. 6.13, где импульсная реакция фильтра дается соотношением (6.8.46). Как иллюстрируется рис. 6.39, в этом случае выходное напряжение сумматора петли внутренней связи, приближенно являющееся аддитивной смесью измеряемой величины и белого шума, умножается на функцию а затем интегрируется.

Тем самым образуется корреляция между входном (для системы сглаживания) реализацией и ожидаемый видом "сигнала". Дальнейшая обработка сводится к умножению образовавшейся величины на функцию которое одновременно нормирует выходное напряжение интегратора, компенсируя эффект постоянного накопления, и формирует

измеряемую величину. Оба метода сглаживания абсолютно эквивалентны.

Перейдем теперь к общему случаю процесса (6.8.42) при произвольном Подставляя (6.8.43) в (6.6.53), снова имеем уравнение с вырожденным ядром, решение которого разумно искать в виде

В результате имеем

где квадратная матрица порядка определяется выражением

Выражение (6.8.51) является естественным обобщением соотношения (6.8.47). Аналогично имеем обобщения для импульсной реакции фильтра и дисперсии ошибки:

Согласно (6.8.53) сглаживающие цепи в однопетлевой варианте состоят из параллельных каналов. В канале производится умножение на функции, зависящие от всех и от затем результаты умножения интегрируются, в результате чего образуются оценки неизвестных коэффициентов. Далее из оценок формируется измеренное значение параметра согласно формуле (6.8.42).

Указанная методика сглаживания имеет следующие особенности:

1. В ней учитываются как априорные точности измерения неизвестных множителей, так и точностные свойства оптимального дискриминатора, обрабатывающего вновь приходящие данные.

2. Учитывается любая кривизна функций, которые отображают изменение параметра во времени. С целью минимизации ошибок при сглаживании сугубо

нелинейных функций используются известные законы изменения параметра без какого-либо увеличения количества последовательно включенных интегрирующих цепочек.

3. При увеличении времени наблюдения операторы сглаживания, а также потенциальная ошибка измерения все меньше зависят от априорных условий, стремясь к величинам

Формула (6.8.57) встречается в литературе, посвященной измерению координат баллистических объектов [14]. При этом измеряемой величиной здесь обычно считают постоянные параметры траектории, а не сами координаты, и применяют теорию оценок максимального правдоподобия, полагая априорные сведения о параметрах вообще отсутствующими. Поясним это подробнее.

Пусть радиотехническая обработка в дискриминаторе считается заданной и предполагается, что объектом оптимизации является смесь закона движения зависящего от постоянных параметров и шумовых возмущений с гауссовым распределением. Как показывают результаты § 6.6, в предположении линейной работы дискриминатора и в пренебрежении параметрическими флюктуациями с помощью сложения выхода дискриминатора (деленного на его крутизну) с измеренным значением параметра действительно удается получить напряжение, имеющее свойства аддитивной смеси эквивалентных «сигнала» и «шума». В условиях § 6.6 шум является белым, так что его распределение в силу инерционности последующих цепей может считаться гауссовым. Тогда функционал правдоподобия записывается в виде

Если априорное распределение имеет большую дисперсию, а для приближенно справедливо разложение (6.8.43), то для определения имеем систему линейных уравнений максимума правдоподобия

Решение системы в матричном представлении имеет

через который можно согласно (6.8.43) выразить измеренное значение

Сопоставляя (6.8.56) с (6.8.60), замечаем, что при большом времени наблюдения ранее изученный оператор сглаживания совпадает с оператором, полученным методом максимума правдоподобия. Если имеется априорное распределение то оценки должны образовываться методом максимума апостериорной вероятности. Аналогично тому, было получено решение (6.8.60), можно получить решение, совпадающее с (6.8.51) при любом времени наблюдения. Указанное обстоятельство устанавливает еще одну взаимосвязь между теорией оптимальной фильтрации и теорией оценок максимума правдоподобия.

Приведенные результаты по измерению координат объектов с баллистическим законом движения не дают, однако, исчерпывающего решения проблемы. Дело в том, что при учете различных возмущающих факторов дифференциальные уравнения, описывающие изменение параметров во времени, становятся нелинейными и точный закон движения в виде элементарных функций из них не может быть получен. В этих условиях нахождение функций затруднено, и одновременно с задачей сглаживания должна как-то решаться задача

текущего интегрирования уравнений движения. Однозначные правила проведения операции, особенно в сложных случаях, здесь отсутствуют, и важная проблема синтеза удобного алгоритма сглаживания, обеспечивающего минимальные ошибки и легко технически реализуемого, остается открытой. Кроме того, усложнение подобных алгоритмов происходит из-за необходимости учета дополнительных составляющих ошибок (см. § 6.2). Несмотря, однако, на сложности в построении алгоритма сглаживания, подчас мешающие прямо воспользоваться приведенными выше результатами, последние все же могут использоваться и в сложных случаях, если речь идет о вычислении ошибок измерения. При этом вычислении допустимы меньшие точности расчета, чем при синтезе сглаживающих цепей, так что уравнения движения могут быть проинтегрированы приближенно, после чего проведено разложение типа (6.8.43) и найдены ошибки измерения по формуле (6.8.57).

Рассматриваемый случай квазирегулярного параметра легко позволяет изучить и случай самонастройки сглаживающих цепей для компенсации неравноточности измерений, или, что то же самое, влияния параметрических флюктуаций. Проанализируем наиболее простой случай одного неизвестного параметра. Замечаем, что уравнение (6.8.45) при переменном заменится согласно (6.6.31) на

Как уравнение с вырожденным ядром, оно легко решается:

откуда с использованием уравнения (6.6.32) получаем

Ошибка измерения должна вычисляться согласно (6.6.43) путем усреднения (6.8.62) по случайным переменным, определяемым входным сигналом Замечаем, что случайность связана лишь с функцией которая является случайным коэффициентом модуляции

Согласно § имеет свойства белого шума:

Считая флюктуации крутизны дискриминатора небольшими, можно разложить (6.8.62) по степеням и после усреднения получить

что при большом времени наблюдения дает

Следовательно, параметрические флюктуации увеличивают ошибку измерения. Однако это увеличение гораздо значительнее, если не учитывать эти флюктуации при синтезе схемы, когда они на самом деле существуют. (Напомним, что в прошлом эти флюктуации не учитывались ни при синтезе, ни при расчете точности.) Тогда расчет точности измерения, проведенный по методике § 6.2, дает

или при большом времени наблюдения

Поскольку при постоянной или мало меняющейся безразмерной функции интегралы

являются величинами одного порядка, то сопоставление вторых слагаемых в квадратных скобках в соотношениях (6.8.66) и (6.8.68) показывает, что в случае учета параметрических флюктуаций при синтезе эта добавка убывает примерно по закону а в случае неучета — стремится к постоянному пределу, приближенно равному Вспоминая, что равны спектральным плотностям соответственно безразмерного коэффициента модуляции крутизны и эквивалентного шума на входе оптимального дискриминатора, и производя умножение и деление на некоторую полосу пропускания убеждаемся, что

т. е. увеличение ошибки измерения определяется отношением априорной дисперсии к дисперсии эквивалентного шума, умноженным на дисперсию коэффициента модуляции крутизны дискриминатора. В случае больших отношений сипнал/шум величина (6.8.69) будет достаточно заметна. Тем самым на простом примере мы убедились, что неучет параметрических флюктуаций при синтезе, т. е. отказ от блока точности и самонастройки цепей сглаживания, ведет к возрастанию ошибок измерения, вообще весьма нежелательному. Этим оправдан постоянный интерес к параметрическим флюктуациям в настоящей и последующих главах.