7.3.2. Одинаковая модуляция опорных и зондирующего сигналов

Из всех идеальностей реальных дискриминаторов, пожалуй, наиболее принципиальным является отличие частотных характеристик узкополосных фильтров от

оптимальной, хотя с количественной стороны это отличие не обязательно является самым главным. Дело в том, что в оптимальной системе частотная характеристика фильтра зависит от величины отношения сигнал/шум и должна, в принципе, корректироваться в процессе работы при его изменении.

Представляет значительный интерес рассмотреть дискриминатор с фильтрами, независящими от отношения сигнал/шум А, и исследовать его поведение при изменении этого отношения. В частности, интересно рассмотреть такой случай, когда при некотором фиксированном достигается совпадение частотных характеристик оптимального и реального фильтров, а при всех других они различаются.

Чтобы исследовать влияние отличия частотных характеристик фильтров от оптимальной, рассмотрим сначала несколько идеализированный случай, когда Представляя в (7.3.2) квадраты модулей в виде произведения комплексно сопряженных интегралов и производя усреднение произведения получим следующее выражение для дискриминационной характеристики:

откуда следует, что смещение нуля а крутизна дискриминационной характеристики

Последнее равенство выполняется благодаря свойствам вещественной и мнимой частей которые обеспечивают

Аналогичным образом может быть получено выражение для функции корреляции, а через нее и для спектральной плотности выходного напряжения. Проделаем это достаточно подробно:

Дальнейшие вычисления могут быть проделаны с помощью известного выражения для четвертого смешанного момента многомерного нормального распределения

При вычислении статистических характеристик величины следует иметь в виду следующее обстоятельство, возникающее благодаря использованию комплексной записи и существенно упрощающее расчеты. Выходное напряжение дискриминатора в оптимальной и в неоптимальных схемах представляется в виде суммы произведения вида где

Комплексные высокочастотные нормальные случайные процессы, полная ширина спектра которых мала по сравнению с величиной несущей частоты, одинаковой для обоих процессов.

Известным свойством таких процессов является равенство нулю математического ожидания произведений при любых Тогда из (7.3.6) следует

Это обстоятельство дает возможность при подстановке (7.3.6) в (7.3.5) отбросить произведение интегрирование которого с множителем все равно дает нуль благодаря быстрой осцилляции подынтегральной функции. Подставляя остающиеся члены в интеграл, заменяя на и отбрасывая остальные высокочастотные члены, получаем

Производя в этом выражении усреднение модулирующих функций по времени под знаком интеграла, интегрируя выражение для по и деля полученное выражение для спектральной плотности в нуле

на квадрат крутизны, для флюктуационной характеристики дискриминатора имеем

Нетрудно убедиться, что при малых расстройках 6 и оптимальной частотной характеристике это выражение полностью совпадает с (7.2.20). Из (7.3.7) для эквивалентной спектральной плотности при нулевом рассогласовании может быть получено следующее выражение:

Исследуя зависимость этого выражения от 8, нетрудно убедиться (это легко сделать, рассматривая малые , когда величина монотонно убывает с уменьшением 8, стремясь при к пределу, который при из (7.2.5) равен из (7.2.15). Этот факт приводит к требованию реализации малой расстройки между каналами дискриминатора. Однако при уменьшении пропорционально убывает крутизна дискриминационной характеристики. Это означает, что для сохранения требуемого быстродействия замкнутой измерительной системы необходимо пропорционально уменьшению увеличивать усиление в разомкнутой цепи дальномера. Это

обстоятельство вынуждает брать в реальных системах, построенных по рассматриваемой схеме, такие при которых крутизна не очень мала либо даже максимальна. К счастью, как мы убедимся в дальнейшем на конкретных примерах, значение при увеличении вплоть до значений обращающих в максимум крутизну мало отличается от значения при нулевой расстройке Это дает возможность, не конкретизируя вида модуляции, исследовать зависимость от характеристик фильтров.

При близком к нулю, используя разложение для из формулы (7.3.8) получаем:

Вычислим величину для некоторых наиболее употребительных форм спектральной плотности флюктуаций и частотной характеристики фильтра. Если спектральная плотность равномерна в полосе а фильтр имеет прямоугольную частотную характеристику с полосой то

Если функция корреляции сигнала аппроксимируется экспонентой, т. е.

а узкополосная фильтрация осуществляется -фильтром с характеристикой низкочастотного эквивалента

где эффективная ширина спектра флюктуаций; эффективная полоса фильтра, то

Если спектральная плотность имеет вид (7.3.11), а фильтрация осуществляется фильтром с прямоугольной частотной характеристикой, то

Это выражение практически совпадает при всех значениях с (7.3.10).

Рассмотрим еще случай спектра флюктуаций, несколько быстрее стремящегося к чем (7.3.11), когда

и соответствующего ему фильтра

В этом случае

где

Сравнивая эти выражения с формулами для случай оптимального фильтра (7.2.15) для равномерного в полосе спектра флюктуаций и прямоугольной частотной характеристики получаем

Рис. 7.6. Влияние полосы фильтра на точность измерения дальности: - прямоугольный спектр флюктуаций и прямоугольная частотная характеристика фильтра; ---- экспоненциальная функция корреляции флюктуаций и экспоненциальная импульсная реакция фильтра.

Для спектра (7.3.11) и фильтра (7.3.12) это отношение равно

Зависимости (7.3.18) и (7.3.19) построены на рис. 7.6. Их анализ показывает, что, как и следовало ожидать, отношение при некотором достигает

минимума, равного единице. Для прямоугольного спектра этот минимум достигается при а для спектра (7.3.11) при Расширение полосы фильтра, которое наиболее интересно с технической точки зрения, приводит к особенно неприятным последствиям при малых отношениях сигнал/шум. При отношение имеет порядок флюктуационная ошибка растет пропорционально полосе фильтра. При больших расширение полосы играет значительно меньшую роль. Отношение имеет при этом порядок и с ростом стремится к единице. При рабочих отношениях сигнал/шум и расширении полосы до увеличение не превышает для спектра (7.3.11) и для прямоугольного спектра.

Приведем еще выражение для спектральной плотности параметрических флюктуаций. Разлагая из (7.3.7) в окрестности получаем:

Это выражение показывает, что в отличие от оптимальной схемы в данном случае параметрические флюктуации неограниченно увеличиваются при уменьшении А, однако поскольку при обычные флюктуации растут как то они играют значительно большую роль. При больших же отношениях сигнал/шум когда

влияние параметрических флюктуаций существенно, член с в мал и не играет роли. Кроме того, коэффициент при этом члене, зависящий от при не очень больших невелик. При он имеет порядок увеличиваясь при увеличении вплоть до значений, обеспечивающих максимум крутизны порядка единицы. Заметим, что стремление при малых к конечному пределу, не зависящему от А, является еще одним основанием для выбора в реальных схемах достаточно малых расстроек.

Интересно отметить, что главная составляющая параметрических флюктуаций, не зависящая от отношения сигнал/шум в двухканальной схеме, не зависит ни от величины расстройки ни от вида модуляции вообще. Эта составляющая равна

где коэффициент а имеет порядок единицы, незначительно меняясь при изменении спектральной плотности сигнала и частотной характеристики фильтра. В частности, для прямоугольных коэффициент а для из (7.3.11) и (7.3.12)