7.10.2. Сглаживающие цепи с постоянными параметрами

До последнего времени в сглаживающих цепях радиолокационных дальномеров почти исключительно используются линейные фильтры с постоянными параметрами сравнительно невысокого порядка. Наиболее распространенными видами таких фильтров являются одиночный интегратор и двойной интегратор с коррекцией. Кроме того, в тех случаях, когда по ряду причин не удается осуществить идеальное интегрирование, используются сглаживающие фильтры в виде одиночной RC-цепи и двух последовательно соединенных RC-цепей с коррекцией.

Согласно (6.2.20) флюктуационная ошибка измерения при сглаживающих цепях с постоянными параметрами определяется простейшим соотношением

где определяется предшествующим анализом дискриминаторов; эффективная полоса замкнутой следящей системы, определяемая выражением (6.2.19). Для сглаживающих цепей в виде двух -цепей с коррекцией функция передачи разомкнутой цепи равна

где К — коэффициент усиления сглаживающего фильтра; постоянные времени RС-цепей; цостряннэя времени корректирующей цепи.

Эффективная полоса в данном случае равна

Приближенное равенство справедливо три обычных соотношениях параметров следящей системы, так как коэффициент усиления разомкнутой системы обычно очень велик. Величины в выражении (7.10.8) имеют следующий порядок:

причем одна из постоянных времени больше другой в 3—10 раз, сек. Выбор постоянной времени корректирующей цепи иногда осуществляется так, чтобы при заданных обеспечить минимум эффективной полосы.

При

Этот выбор производится при номинальном коэффициенте усиления разомкнутой цепи, т. е. при -Тогда зависимость эффективной полосы от отношения сигнал/шум приближенно имеет вид

эффективная полрса при номинальном коэффициенте усиления.

Зависимость от при и разных значениях произведения построена «а рис. 7.37. При не слишком малых шумах и достаточно больших эта зависимость не очень существенна.

Формула (7.10.9) позволяет найти эффективную полосу и для других типов сглаживающих фильтров, перечисленных выше.

Рис. 7.37. Зависимость эффективной полосы следящей системы от отношения сигнал/шум

В частности, для двойного интегратора с коррекцией, т. е. при

выражение для получается устремлением к бесконечности так, чтобы где коэффициент усиления (размерный) двух интеграторов. Полагая также получаем

Минимум достигается при

и равен Зависимость эффективной полосы от отношения сигнал/шум при выборе Тк в соответствии с (7.10.13) при имеет вид:

Рис. 7.38. Зависимость флюктуационной ошибки измерения от отношения сигнал/шум:

Для иллюстрации на рис. 7.38 построена зависимость флюктуационной ошибки измерения задержки, отнесенной к длительности импульса, от отношения сигнал/шум для дальномера с модуляцией сигнала прямоугольными импульсами и дискриминатором с двумя расстроенными каналами при из (7.10.11), и для разных значений Так как эффективная полоса зависит от ход кривых на рис. 7.38 отличается от зависимости Полосы фильтров дискриминатора в соответствии с (7.6.3) предполагаются согласованными с шириной спектра сигнала.

Путем дальнейших упрощений из формулы (7.10.9) получаем выражения для эффективной полосы системы при сглаживающих цепях в виде одного RC-фильтра

и одиночного интегратора

и

Рис. 7.39. Зависимость флюктуационной ошибки измерения от отношения сигнал/шум.

Соответствующие выражения имеют вид

В обоих случаях зависимость от отношения сигнал/шум имеет вид

Эта зависимость имеет более резко выраженный характер.

В качестве еще одного примера на рис. 7.39 построена зависимость от для оптимального дискриминатора при спектре сигнала (7.3.11), разных у и сглаживающих цепях вида (7.10.15) или (7.10.16).

Рассмотрим теперь другие составляющие ошибки измерения. В следящих измерителях существует двоякое истолкование динамической ошибки сопровождения. При статистическом подходе к измеряемым величинам под динамической ошибкой в соответствии с гл. 6 понимается средний квадрат составляющей ошибки, обусловленной случайными изменениями измеряемого параметра. Ее величина определяется формулой (6.2.14). Наряду с этим при таком рассмотрении вводится понятие систематической ошибки, которая обусловлена неточностями ввода известного априори среднего значения измеряемого параметра. Напомним, что в оптимальной измерительной системе такой ввод является обязательным, а петля слежения предназначается для отработки неизвестных априори случайных изменений параметра. Разумность такого ввода очевидна и для обычных следящих систем. Величина систематической ошибки определяется формулой (6.2.14).

При отсутствии статистических сведений об измеряемой величине определение динамической ошибки в соответствии с гл. 6 невозможно. В этом случае динамическая ошибка определяется широко известным способом как ошибка отработки некоторого типового возмущения линейно-, квадратично- и т. д. изменяющегося воздействия. Формальное математическое определение такой ошибки, очевидно, совпадает с выражением для систематической ошибки (6.2.14) при замене на соответствующее возмущение. Поэтому вычисление систематической ошибки при разных дает одновременно и величину динамической ошибки, соответствующую нестатистическому, подходу к измеряемому параметру.

Рассмотрим несколько примеров вычисления динамической ошибки в системе со сглаживающими цепями вида (7.10.8), (7.10.11), (7.10.15), (7.10.16). Если случайная часть измеряемой дальности меняется со временем как стационарный случайный процесс со спектральной плотностью установившееся значение

динамической ошибки на основании (6.2.17) равно

Стационарные случайные изменения дальности соответствуют случаям, когда цель осуществляет случайные маневры или испытывает некоторые нерегулярные возмущения, обладающие стационарным характером. Примерами таких возмущений могут быть случайные колебания тяги двигателей, изменение силы лобового сопротивления из-за нерегулярности атмосферы, шумы в приводных устройствах систем управления целью и т. п.. При наличии достаточного демпфирования такие возмущения приводят к стационарному изменению дальности. Если, в частности, спектральная [плотность имеет вид

где дисперсия случайной составляющей измеряемой дальности; время корреляции, а сглаживающий фильтр представляет собой одиночный интегратор, динамическая ошибка равна

Эта ошибка уменьшается при увеличении произведения т. е. при расширении эффективной полосы системы. При уменьшении крутизны из-за снижения отношения сигнал/шум динамическая ошибка увеличивается, стремясь к предельному значению, равному априорной дисперсии измеряемой величины

Аналогичным образом при сглаживающем фильтре (7.10.11) и выборе Тк в соответствии с (7.10.13)

В этом случае величина динамической ошибки также определяется произведением Зависимость от этого произведения показана на рис. 7.40. Зависимость динамической ошибки от отношения сигнал/шум может быть оценена с помощью формул (7.10.14) и (7.10.23).

Рис. 7.40. Зависимость динамической ошибки от эффективной полосы.

Существенный интерес представляет случай, когда измеряемая дальность изменяется как линейная комбинация известных функций со случайными коэффициентами вида

где среднее значение дальности.

Изменение дальности согласно (7.10.24) реализуется в случае, когда закон движения цели известен с точностью до некоторых постоянных параметров, т. е.

где неизвестные параметры с некоторыми

средними значениями и случайными отклонениями от них

В подавляющем большинстве практически интересных случаев эти отклонения достаточно малы, что позволяет представить в виде (7.10.24), где Параметры могут иметь различный смысл. При изменении согласно (7.10.24)

где импульсная реакция, соответствующая функции передачи ошибки, которая определяется уравнением (6.2.13).

При сглаживающих цепях с постоянными параметрами преобразование Фурье от определяется выражением

Выражение (7.10.25) при одновременно определяет квадрат динамической ошибки, соответствующей нестатистическому подходу, которая имеет место при воздействии на следящую систему возмущения, заданного соотношением (7.10.24) при а также квадрат систематической ошибки, соответствующей той же разнице между действительным и вводимым средними значениями измеряемой дальности.

При сглаживающих цепях с постоянными параметрами и функция очевидно, определяется соотношением

где преобразование Лапласа функции

Из формул (7.10.26), (7.10.27) следует, что при сглаживающем фильтре в виде одиночного интегратора

(7.10.16) функция асимптотически при достаточно больших приближенно представляется в виде

где производная функции

Это выражение показывает, что установившаяся ошибка в данном случае существует только тогда, когда все -функции с ограниченной производной. В частности, если то соотношение (7.10.28) при является точным и

Динамическая ошибка, определяемая формулой (7.10.29), чаще всего используется на практике для оценки следящей системы.

Аналогичным образом в системе с двумя интеграторами с коррекцией функция приближенно представляется в виде

и, в частности, при получается точное выражение

а ошибка на линейное возмущение в установившемся режиме отсутствует. Если измеряемая дальность содержит составляющие, растущие быстрее, чем в первом случае, и быстрее, чем во втором, то при динамическая ошибка неограниченно увеличивается. При сглаживающих цепях в виде одиночного RC-фильтра и двух фильтров с коррекцией установившееся значение ошибки существует только при постоянном возмущении на входе. В обоих случаях она равна

Соотношения (7.10.28) -(7.10.32) показывают, что в общем случае величина динамической ошибки обратно пропорциональна коэффициенту усиления разомкнутой цепи следящей системы и увеличиваются при уменьшении крутизны дискриминатора из-за уменьшения отношения сигнал/шум.

Рис. 7.41. Зависимость крутизны дискриминатора от отношения сигнал/шум.

На рис. 7.41 показана зависимость от характеризующая изменения динамической ошибки при изменении отношения сигнал/шум. Величина ошибки в диапазоне рабочих значений в зависимости от выбора величины у может изменяться в раз. При более широких полосах усилителя с АРУ влияние нормирующих свойств системы АРУ, естественно, проявляется более заметным образом.

Увеличение коэффициента усиления разомкнутой петли по-разному влияет на величины флюктуационной и динамической ошибок. Поэтому при проектировании сглаживающих цепей дальномера требуется определенный компромиссный выбор их параметров. Рассмотрим для примера случай двойного интегратора с коррекцией. Так как постоянная времени корректирующей цепи не влияет на величину динамической ошибки, то ее целесообразно выбирать в соответствии с (7.10.13), т. е. из условия минимума эффективной полосы. Тогда полная

ошибка измерения при квадратично изменяющейся со временем дальности будет иметь вид

Если средний квадрат ускорения неизвестен, то его можно заменить некоторой заданной тактическими условиями величиной. Из (7.10.33) следует, что оптимальная величина усиления равна

Суммарная ошибка при этом составляет

причем флюктуационная ошибка примерно в 4 раза больше динамической. Ввиду того, что зависит от величина усиления в разомкнутой цепи согласно (7.10.34) должна изменяться с изменением отношения сигнал/шум. В частности, при оптимальном и близких к нему дискриминаторах и прямоугольном спектре флюктуаций сигнала, когда пропорциональна требуемый закон изменения имеет вид

Соответствующим выбором полосы усилителя и параметров системы АРУ можно добиться автоматической аппроксимации этой зависимости в достаточно широком диапазоне значений

На рис. 7.42 построена зависимость оптимального коэффициента усиления от и кривые изменения крутизны при разных у. Сопряжение всех кривых произведено для точки Из этого рисунка видно, что при выборе требуемая зависимость коэффициента усиления разомкнутой цепи с удовлетворительной точностью воспроизводится с помощью системы АРУ в интервале значений от до

Рис. 7.42. Зависимость оптимального коэффициента усиления разомкнутой системы от отношения сигнал/шум: требуемая зависимость; --- реальная зависимость при разных у.

Таблица 7.1 (см. скан)

Для иллюстрации формул (7.10.34) — (7.10.35) в табл. 7.1 приведены ошибки измерения дальности при непрерывном частотно-модулированном по синусоидальному закону сигнале с девиацией рад/сек для дальномера с двухканальным дискриминатором согласованным со спектром (7.3.11) фильтром. Ширина спектра взята равной 20 гц. Значения ошибок соответствуют разным отношениям сигнал/шум и различным среднеквадратическим ускорениям, развиваемым целью. В той же таблице приведены значения оптимального коэффициента усиления разомкнутой цепи.

Наличие параметрических флюктуаций в следящей системе приводит увеличению ошибок измерения. При постоянных сглаживающих цепях это увеличение

выражается простейшим соотношением (6.2.39), исходя из которого с помощью (7.10.5) и полученных ранее формул для спектральной плотности параметрических флюктуаций (7.3.20), (7.3.21) и (7.4.14) может быть без труда оценено влияние этих флюктуаций. В наиболее интересном случае достаточно больших отношений сигнал/шум и для схем дискриминаторов с расстроенными каналами или дифференцированием опорного сигнала, увеличение ошибки за счет [параметрических флюктуаций определяется следующим простейшим выражением:

где дисперсия ошибки; полоса системы, вычисленная без учета параметрических флюктуаций; численный коэффициент (см. п. 7.3.2); коэффициент подавления флюктуаций системой АРУ.

В практически интересных случаях отношение имеет порядок поэтому уже при ошибка увеличивается не более чем на 10%, а в большинстве случаев это увеличение вообще несущественно.