§ 12.5. СИНТЕЗ СГЛАЖИВАЮЩИХ ЦЕПЕЙ И РЕЗУЛЬТИРУЮЩАЯ ТОЧНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЯ

Как и в одномерном случае, синтез цепей сглаживания аналогичен (для двупетлевого варианта измерителя) синтезу многомерных винеровских фильтров. Однако эквивалентная винеровская проблема весьма сложна, поскольку в ней необходимо рассматривать взаимосвязь не только измеряемых параметров, но и накладывающихся на них помех. Подобные вопросы в литературе изучены недостаточно. Поэтому приводимый ниже материал построен в отдельных частях так, что будет полезен и тем, кто интересуется чисто винеровской проблемой. Различные классы корреляционных матриц, изучаемые ниже, вполне аналогичны различным корреляционным функциям измеряемых параметров, рассматривавшимся для одномерного случая в § 6.8.

12.5.1. Параметры — случайные процессы со стационарными приращениями

Начнем рассмотрение со случая стационарных случайных процессов, включаемых в случайные процессы со стационарными приращениями как подкласс.

Уравнение (12.3.19) при Кздесь имеет вид

и является интегрально-матричным уравнением (ил! системой интегральных уравнений) с ядром, зависящие от разности аргументов. Способы решений подобны; уравнений изучались, например, в [55]. Точное решение при произвольном времени наблюдения в принципе может быть получено методом, аналогичным описанном; в § 6.8, т. е. путем перехода к соответствующей систем! дифференциальных уравнений. Однако решить эти урав нения сложно даже в случае двух параметров. Поэтом; разумно сразу перейти к изучению предельных операто ров, соответствующих большому по сравнению с интер валом корреляции параметров времени наблюдения когда уравнение (12.5.1) переходит в матричное обоб щение уравнения Винера — Хопфа:

поскольку с ищется в функции разности своих аргу ментов. Непосредственное применение преобразования Фурье к (12.5.2) ведет к решению в классе физическр нереализуемых фильтров, для которых

Для нахождения физически реализуемого решения в литературе было предложено несколько методов. Ниже им присвоены названия, не являющиеся в какой-то степени общепринятыми.

а. Метод факторизации матрицы [55, 56], имеющш наиболее общее значение, основан на представлении где спектральная

матрица параметров, в виде произведения

где матрицы-функции с аналитическими элементами и отличными от нуля детерминантами соответственно в верхней и нижней полуплоскостях комплексной переменной

Принципиальная возможность факторизации доказывается при весьма широких предположениях о матрице Физически реализуемое решение (12.5.2) имеет преобразование Фурье

где означает операцию взятия той части выражения в (скобках, которая имеет полюсы только в верхней полуплоскости со. Аналитически формирование из факторизованной матрицы представляется в (12.5.4) двумя интегралами.

Практически, однако, факторизация (12.5.3) является нелегкой задачей. При дробно-рациональных спектральных матрицах, наиболее важных для приложений, оказывается более удобным ряд других методов.

б. Метод факторизации детерминанта [57] основан на разложении

где скалярные множители с теми же свойствами, что и в (12.5.3). Решение имеет вид

матрица с элементами в виде полюса матрицы в верхней полуплоскости

неопределенные множители, подбираемые из условия

в. Метод неопределенных коэффициентов [58] состоит в отыскании в виде дробно-рациональных функции , где - все нули числителя из (12.5.5). Неопределенные множители подбираются из условия обращения в нуль после приведения к общим знаменателям всех числителей элементов матрицы в точках где — полюса элементов в верхней полуплоскости.

Формулы (12.5.3)-(12.5.7) применимы также к общему случаю параметров со стационарными приращениями порядка, если вводить их спектральные плотности согласно [59] и при факторизации множители в знаменателях элементов и детерминанта разлагать как Иногда удобнее рассматривать процессы со стационарными приращениями как пределы от некоторых стационарных процессов с теми же порядками знаменателей спектральной матрицы и переходить к пределу после получения решения (12.5.4) для вспомогательных процессов.

В качестве первого примера рассмотрим совместный измеритель параметров в виде стационарных процессов простейшего вида с полной корреляцией, когда Отыскивая решение в виде легко получить:

Сглаживающие цепи (рис. 12.12) состоят - здесь из I безынерционных входных усилителей, сумматора, общего звена 1-го порядка -цепочки) с постоянной времени встречавшейся в спектральной матрице, и I безынерционных выходных усилителей.

Рис. 12.12. Сглаживающие цепи для стационарных параметров с полной корреляцией: 1,4 — безынерционные усилители; 2 — сумматор; 3 — инерционное звено 1-го порядка.

По сравнению с раздельным измерением параметра в указанной схеме можно получить выигрыш в дисперсии раз, значительный при когда параметр имеет меньшую дисперсию, а его кодировка в сигнале сильнее подавлена помехами, чем у прочих параметров.

Второй пример относится к аналогичному случаю I параметров в виде винеровских процессов с полной корреляцией, когда Тем же методом получаем

Изменение структуры цепей сглаживания по сравнению с рис. 12.12 состоит лишь в замене общей RC-цепочки идеальным интегратором. Большой выигрыш в точности по сравнению с раздельным измерением параметра наблюдается при

Третий пример относится к одновременному измерению параметра в виде винеровского процесса и интеграла от него, когда корреляционная матрица имеет вид

Методом неопределенных коэффициентов при диагональности матрицы К можно получить:

где

Согласно (12.5.13) сглаживающие цепи однопетлевого варианта измерителя имеют вид рис. 12.13. Оценка винеровского процесса образуется интегрированием (с разным усилением) обоих выходных напряжений дискриминатора и сложением результатов, получение же оценки интеграла от первого параметра предусматривает пропускание выходных напряжений интеграторов через дополнительные интеграторы с корректирующими -цепочками с постоянными времени и снова

сложение результатов. Редукция сглаживающих цепей для случаев подавления шумами кодировки одного из параметров или представлена на рис. 12.14. Однако только в случае все ошибки измерения остаются конечными, в противоположном же случае конечна лишь ошибка измерения винеровского процесса, а ошибка определения интеграла от него бесконечно нарастает во времени.

Рис. 12.13. Сглаживающие цепи для измерителя положения и скорости: 1 — безынерционные усилители; 2 — интеграторы; 3, 5 — сумматоры; 4 — интеграторы с коррекцией.

Рис. 12.14. Упрощенные сглаживающие цепи: 1 — безынерционный усилитель; 2 — интегратор; 3 — интегратор с коррекцией.

Это соответствует известному в технике явлению, заключающемуся в том, что интегрирование скорости для определения координаты ведет к постепенному некомпенсируемому возрастанию ошибки.

В общем случае выигрыш по сравнению со случаем раздельного замыкания сглаживающих цепей дается формулами

В зависимости от отношения он наблюдается по первому или второму параметрам и при весьма заметен (рис. 12.15).

Рис. 12.15. Выигрыш в дисперсии при совместном измерении.

Рассмотрим еще параметры в виде коррелированных винеровских процессов со спектральной матрицей

при произвольной взаимосвязи кодировок

(см. скан)

где корни уравнения

Рис. 12.17. (см. скан) Выигрыш в среднеквадратической ошибке при совместном измерении.

Сглаживающие цепи однопетлевого варианта согласно (12.5.18) состоят из двух интегралов, на каждый из которых подаются через безынерционные усилители выходные напряжения дискриминатора и (рис. 12.16).

Согласно (12.5.17) выигрыш, обеспечиваемый учетом взаимосвязи параметров и их кодировок, по

среднеквадратической ошибке измерения первого параметра составляет

где учтено, что

Если влияние взаимосвязи кодировок здесь мало существенно при то сильная корреляция параметров обеспечивает заметные выигрыши (рис. 12.17), особенно при большей интенсивности второго параметра Это и доказывает преимущество совместного измерения.