6.9.3. Описание параметра при ограниченном знании его статистики

Задание многомерного распределения вероятностей требует достаточно подробных статистических сведений о законе изменения координат цели. Часто на практике такие сведения недоступны, однако некоторые статистические характеристики все же имеются. Такой случай является промежуточным между рассмотренными выше случаями полного априорного знания и полного априорного незнания. При неполном статистическом описании возникает очень большое разнообразие случаев, которые в общей форме сводятся к тому, что задаются некоторые ограничения на характеристики Последние позволяют определить некоторое множество допустимых функций и в дальнейшем в задачах анализа и синтеза ограничиться рассмотрением только таких которые принадлежат к этому множеству Эти ограничения могут задаваться как в статистической форме, так и в обычной.

Рассмотрим сначала первый случай.

Простейшей статистической характеристикой является математическое ожидание . В большинстве задач его естественно предполагать заданным. Более подробное описание достигается, если заданы дисперсия в любой момент времени и моменты высшего порядка вплоть до задания одномерного закона распределения вероятностей. Дальнейшее уточнение поведения имеет место при задании, например, дисперсий производных вплоть до некоторого порядка в любой момент времени. Все эти характеристики более или менее доступны на практике.

Очень важным как с практической точки зрения, так и с точки зрения теории является случай, когда задана функция корреляции Как мы убедимся в дальнейшем, при определенных условиях ее задания уже достаточно для синтеза оптимального измерителя. Еще более детальное описание достигается при задании моментных функций более высокого порядка. Ограничения

подобного типа в общем случае позволяют задать множество допустимых реализаций как множество, описываемое априорным распределением вероятностей подчиняющееся условиям

а в остальном произвольным. В (6.9.22) интегралы берутся по всей области значений некоторая многокомпонентная функция заданная величина той же структуры. В частном случае, когда заданы дисперсии в любой момент времени берутся

для простоты считается равным нулю. При задании корреляционной матрицы полагаются

при задании моментов третьего порядка

Другим примером частичного статистического описания являются случаи, когда многомерные законы распределения вероятностей заданы с точностью до некоторых неизвестных параметров или заданы распределения вероятностей низших порядков — первого, второго и т. д. Особое значение имеет априорное предположение о марковском характере изменения координат без указания вида начального распределения и переходных вероятностей. Действительно, движение радиолокационных целен описывается дифференциальными уравнениями второго порядка, так что предположение о марковском процессе второго порядка соответствует незнанию конкретного вида уравнения, определяющего вид переходных вероятностей, и характеризует тот минимум априорных сведении, который имеется всегда.

Иногда статистические сведения о характере изменения полностью отсутствуют. Для того чтобы задача измерения имела смысл, необходимо наложить на какие-то ограничения, определяющие множество допустимых реализаций Простейшим ограничением такого типа является задание некоторого интервала времени А, в течение которого остается практически постоянной, так что (см. п. 6.9.2).

Аналогичные интервалы могут быть заданы по отношению к производной Более детальные ограничения получаются, если известно, что и некоторые ее производные ограничены заданными пределами изменения, т. е.

где заданные функции.

Такой способ задания часто используется на практике. Из него, в частности, могут быть получены и необходимые интервалы постоянства для и некоторого количества производных.

В ряде задач возможно еще более детальное задание Например, при измерении координат баллистическойцели можно задать с помощью известных функций, зависящих от некоторых неизвестных параметров, которые в отличие от § 6.8 имеют неизвестное, распределение вероятностей. Эквивалентным этому случаю является задание с помощью дифференциальных уравнений, зависящих от ряда неизвестных параметров (например, неизвестных начальных условий). Разница состоит только в том, что часто решение этих уравнений и явные выражения для получить не удаегся.