13.5.4. Оптимальный дискриминатор в случае двух целей

Рассмотрим случай двух целей расположенных настолько близко, что их сигналы неортогональны. Отношение сигнал/шум будем считать произвольным. Допустим, что измерению подлежит параметр носителем которого является сигнал Сигнал играет при этом роль помехи. Будем сначала считать, что координата помехи известна (измерена с большой точностью). В дальнейшем мы откажемся от этого предположения. Полагая коэффициенты корреляции полезного и мешающего сигналов одинаковыми и выражая функцию обратную к корреляционной, в виде

затем, подставляя (13.5.46) в уравнение (13.5.9), приходим к следующему уравнению для

где средние мощности полезного и мешавдщегэ сигналов.

Решение уравнения (13.5.47) ищется в виде

Подставляя (13.5.48) в (13.5.47) и производя приближенные вычисления с учетом соблюдения условия для преобразований Фурье функций получим

где

а определяются функцией :

Подставим (13.5.46) и (13.5.48) в уравнение правдоподобия (13.5.12), (13.5.14). При этом учитывая, что справедливо равенство

член уравнения правдоподобия, содержащий принятый сигнал, можно привести к виду

где - импульсные реакции фильтров, квадраты модулей частотных характеристик которых определяются как

Член уравнения правдоподобия, не содержащий после подстановки значения и необходимых преобразований принимает вид

При малых отношениях сигнал/шум

где отношение сигнал/шум; отношение сигнал/помеха; эффективная ширина спектра флюктуаций сигнала; нормированная спектральная плотность флюктуаций.

При больших полагая приближенно прямоугольной функцией, получаем

Используя предыдущие равенства, уравнение правдоподобия можно записать в виде

Если заменить приближенно операцию дифференцирования вычислением конечной разности, то оптимальная схема, соответствующая (13.5.55), принимает вид рис. 13.10. При малой расстройке каналов и не слишком больших характеристики фильтров мало зависят от расстройки. Пренебрегая этой зависимостью, схему можно упростить и привести к виду рис. 13.11. Схема содержит два канала дискриминатора, предназначенного для выработки рассогласования по А. Эти

каналы отличаются от каналов оптимального дискриминатора при отсутствии мешающего сигнала толькэ характеристиками фильтров. Оба вида характеристик фильтров совпадают при

Рис. 13.10. Оптимальный дискриминатор для измерения параметра при смеситель; 2 — усилитель с усилением, изменяющимся согласно закону амплитудной модуляции; 3, 4, 5, 6, 7, 8 — фильтры с импульсными реакциями соответственно; 9, 10 — фазовращатели со сдвигом фазы на соответственно; 11 — квадратичный детектор; фазовый детектор; 13, 14 — усилители с усилением — соответственно.

Кроме того, схема содержит каналы компенсации мешающего сигнала и в ней предусмотрен ввод поправки для компенсации систематической ошибки.

Можно представить себе и другие схемы, соответствующие операциям (13.5.55), производимым над сигналом . В частности, можно создать схему дискриминатора всего лишь с двумя каналами, имеющими место при отсутствии мешающих сигналов, но с измененными соответствующим образом опорными сигналами. Схема рис. 13.11 целесообразна для следящих радиолокационных измерителей координат двух целей. В этом случае

в качестве канала компенсации может использоваться канал измерения параметра Преобразуя соответствующим образом выходную величину этого канала, мы осуществляем нужную компенсацию.

Рис. 13.11. (см. скан) Упрощенная схема оптимального дискриминатора: 1 — смеситель; 2 — усилитель с усилением, изменяющимся согласно закону амплитудной модуляции; 3, 4 — фильтры с импульсными реакциями соответственно; 5, 6 — фазовращатели со сдвигом фазы на и соответственно; 7, 8 — усилители с усилением и соответственно; 9 — квадратичный детектор; 10 — фазозый детектор.

Это проще, чем изменение сложных опорных сигналов, необходимое при изменении расстояний между целями, в другом упомянутом варианте оптимального дискриминатора.

В связи с тем, что измерительные системы часто работают при весьма больших отношениях сигнал/шум, представляет интерес обсудить дальнейшие упрощения рассмотренной схемы при больших

Из (13.5.49), (13.5.50) и (13.5.53) следует, что при больших квадраты модулей частотных характеристик

всех фильтров становятся в полосе флюктуаций сигнала одинаковыми и равными

Вместе с тем, в соответствии с предположениями, сделанными при выводе основных соотношений, эти фильтры являются интегрирующими за период модуляции сигнала Легко видеть, что уравнение (13.5.56) принимает при этом вид

где

Уравнение (13.5.57) преобразуется к виду

При замене дифференцирования вычислением конечной разности операции дискриминатора выполняются схемой рис. 13.12. Цепи компенсации в этой схеме соответствуют полному подавлению мешающего сигнала (см. § 13.2). Эта схема отличается от схемы, оптимальной при отсутствии к которой добавлены лишь каналы ортогонализации (полного подавления) помехи, наличием усилителей с коэффициентами усиления и и введением поправки При малых весьма больших и малых расстройках указанные различия схем отсутствуют.

Оптимальная схема обеспечивает отсутствие систематической ошибки, а эквивалентная спектральная плотность

флюктуационной ошибки измерения параметра определяется как дисперсия эффективной оценки.

Рис. 13.12. Оптимальный дискриминатор при большом отношении сигнал/шум. 1 — смеситель; 2 — усилитель с усилением, изменяющимся согласно закону амплитудной модуляции; 3, 4 — усилители с усилением и соответственно; 5, 6 — фазовращатели со сдвигом фазы на — и соответственно; 7 — фильтр, интегрирующий за период квадратичный детектор; 9, 10 — усилители с усилением ( соответственно.

Если нормальный случайный процесс, находится в соответствии с (13.5.14) и (13.5.24) по формуле

Подставляя в (13.5.60) значения и производя приближенные вычисления, справедливые в оговоренных выше предположениях получаем

где

При больших отношениях сигнал/шум формула (13.5.61) упрощается, принимая вид

При выводе этой формулы предполагается, что Легко видеть, что эта же формула получается из (13.5.31) при

При малых

Для того чтобы найденная оптимальная схема обеспечивала точности измерения параметра Я], соответствующие формулам (13.5.61) — (13.5.64), Необходима точная настройка каналов компенсации, т. е. безошибочное знание величины Практически, однако, этот параметр, соответствующий координате помехи, измеряется тоже с ошибкой. Из результатов п. 13.5.2 следует, что наилучшим является случай, когда имеются системы рассмотренного вида для измерения параметров

действующие совместно. Настройка каналов компенсации в каждой из этих систем производится в соответствии с выходной величиной другой системы. Для нахождения флюктуационных ошибок таких систем нужно составить матрицу спектральных плотностей (13.5.24). Вычисляя ее элемент, соответствующий ошибке измерения параметра для эквивалентной спектральной плотности излучаем выражение

где спектральная плотность флюктуационной ошибки измерения параметра при известном которая находится из если -Менять местами а также взаимная спектральная плотность, определяемая согласно (13.5.14) как

Производя вычисление интеграла (13.5.66), имеем

Из (13.5.65) легко усмотреть, что при справедливо равенство чего и следовало. ожидать, так как при этом каналы компенсации отсутствуют и каждый параметр измеряется независимо один от другого. При вычисляя убеждаемся, что эта величина стремится к конечному пределу, тогда как Таким образом, и флкжтуационные ошибки при больших отношениях сигнал/шум определяются выражением (13.5.63).

При малых А, воспользовавшись (13.5.64) и вычисляя получаем

т. е. имеет место увеличение флюктуационной ошибки измерения параметра за счет ошибок измерения параметра