7.2.2. Характеристики дискриминатора

Найдем теперь основные характеристики оптимального дискриминатора, необходимые для рассмотрения измерительной системы в целом. Усредняя (7.2.7), заменяя

вводя обозначение и пользуясь медленностью изменения функции по сравнению с получаем

где автокорреляционная функция закона модуляции, определяемая соотношением

причем в соответствии с принятой нормировкой Функция из (7.2.9) равна, очевидно, функции определяемой формулой (1.2.2).

Для удобства в дальнейшем будет использоваться сокращенная запись. При периодической модуляции функция — периодическая. Однако при рассмотрении измерителей дальности рассогласования А, превышающие период повторения сигнала, не представляют практического интереса. В соответствии с этим в дальнейшем при рассмотрении всех конкретных примеров достаточно учитывать лишь один период функции соответствующий близким к нулю рассогласованиям.

Функция является единой характеристикой модуляции зондирующего радиолокационного сигнала. Через нее достигается описание зависимости точности измерения дальности от вида и параметров модуляции сигнала как в оптимальной, так и (мы убедимся в этом позднее) в неоптимальных системах. Кроме того, функция является характеристикой потенциальной для данного сигнала разрешающей способности по дальности [4]. Отметим некоторые важные для нас свойства функции Отделяя в (7.2.9) вещественную и мнимую части

нетрудно убедиться, что является четной функцией нечетной. Поэтому чисто мнимая величина, и окончательное выражение для дискриминационной характеристики на основании (7.2.8) принимает вид

Кроме того, благодаря тому, что чисто мнимая величина, т. е. смещение нуля дискриминационной характеристики в оптимальной схеме отсутствует.

Важными для нас параметрами функции являются значения ее первой и второй производных в нуле. Определяя их по (7.2.9), получаем

где

— спектр конечного отрезка комплексного сигнала и

При периодической модуляции, что имеет место в большинстве практических случаев, усреднение в (7.2.11) и (7.2.12) достаточно произвести по одному периоду модуляции При этом представляет собой спектр одного периода модуляции. При стационарной эргодической случайной модуляции функция совпадает со спектральной плотностью модуляции.

Положительные величины в (7.2.11) и (7.2.12) имеют смысл средней частоты и среднего квадрата частоты спектра модуляции [4], а величина которая, как мы сейчас увидим, определяет точность измерения дальности представляет собой среднеквадратическую ширину спектра модуляции, характеризующую быстроту изменения модулирующей функции. Величина а отлична от нуля только при несимметричном спектре модуляции. В большинстве реальных случаев, например при наличии только амплитудной либо только фазовой модуляции, при одновременной модуляции по амплитуде и фазе симметричными модулирующими функциями и в некоторых других случаях При этом точность измерения дальности определяется единственным параметром закона модуляции — величиной

Для анализа линеаризованной измерительной системы без учета параметрических флюктуаций (см. гл. 6) достаточной характеристикой дискриминатора является

эквивалентная спектральная плотность при нулевом рассогласовании, определяемая соотношением (6.2.8):

В гл. 6 показано, что для оптимального дискриминатора величина эквивалентной спектральной плотности равна

где Копт — крутизна дискриминационной характеристики оптимального дискриминатора.

Подставляя в из (7.2.10) и используя (7.2.11) и (7.2.12), получаем

где — безразмерная функция отношения сигнал/шум зависящая только от вида спектральной плотности флюктуаций принимаемого сигнала

Таким образом, зависимость и потенциально достижимых ошибок измерения дальности от параметров закона модуляции и отношения сигнал/шум носит достаточно простой характер. Величина а следовательно, и дисперсия флюктуационной ошибки измерения, при линейных сглаживающих цепях пропорциональная обратно пропорциональны среднему квадрату ширины спектра модулирующего сигнала. Это означает, в частности, что с точки зрения точности измерения дальности все другие характеристики модулирующего сигнала, кроме ширины спектра, не играют ролл, и, применяя разные модулирующие сигналы с одинаковой шириной спектра, мы в принципе должны получить одинаковую точность измерения дальности. Поэтому,

интересуясь только точностью измерения дальности, невозможно отдать предпочтение тому или иному виду зондирующего сигнала, конечно, при одинаковой ширине спектра, и окончательный выбор способа модуляции зондирующего сигнала требует привлечения других соображений, таких, как однозначность, разрешающая способность, возможность однозначного измерения допплеровской частоты, техническая реализуемость и т. п.

Зависимость от отношения сигнал/шум описывается функцией которая обладает следующими общими свойствами. Очевидно, что при больших

так как благодаря нормировке

а при малых

где а — численный коэффициент порядка

Точный вид функции зависит от формы спектра однако эта зависимость не очень существенна, особенно при таких величинах которые могут считаться рабочими в измерительных системах, т. е. Для двух крайних случаев (наиболее медленно спадающей спектральной плотности соответствующей экспоненциальной функции корреляции, и прямоугольного спектра флюктуаций с той же эффективной шириной на рис. 7.3 приведены зависимости, которые имеют вид:

Для первого случая

для второго случая

Рис. 7.3. Зависимость функции от отношения сигнал/шум - прямоугольный спектр флюктуаций; --- экспоненциальная функция корреляции флюктуаций.

Эти кривые одновременно показывают зависимость флюктуационной ошибки измерения дальности системой с оптимальным дискриминатором от отношения сигнал/шум.

Остановимся еще на влиянии ширины спектра флюктуаций сигнала на точность измерения. Очевидно, что при достаточно больших когда отношение не зависит от Однако при не очень больших расширение спектра флюктуаций ухудшает точность измерения, так как составляющие эквивалентной спектральной плотности, обусловленные биениями шумов и имеющие порядок увеличиваются с ростом

Найдем теперь флюктуационную характеристику оптимального дискриминатора. При этом пересчитаем флюктуации выходного напряжения дискриминатора во флюктуации измеряемого параметра (задержки) с помощью деления выходной спектральной плотности на квадрат крутизны. Тогда в соответствии с (6.2.8)

Подставляя в это выражение (7.2.7) и производя усреднение аналогично (7.2.8), получаем

Из этого выражения следует, что при величина уже не стремится к нулю при т. е. даже при нулевых шумах выходное напряжение дискриминатора содержит случайные составляющие, обусловленные флюктуациями отраженного сигнала и зависящие от рассогласования. Для иллюстрации на рис. 7.4 построено семейство флюктуационных характеристик, соответствующих прямоугольному спектру флюктуаций сигнала и автокорреляционной функции закона модуляции для разных значений Из рисунка видно, что неравномерности флюктуационной характеристики начинают проявляться при Установившийся

уровень эквивалентной Спектральной плотности достигается уже при при рассогласованиях, в полтора-три раза превышающих ширину основного лепестка автокорреляционной функции.

Кроме наибольший практический интерес для анализа дальномера представляет спектральная плотность эквивалентных параметрических флюктуаций которая определяет параметрическую ошибку измерения (см. гл. 4) и равна коэффициенту при в разложении по степеням

Рис. 7.4. Флюктуационная характеристика оптимального дискриминатора.

Тогда, как следует из (7.2.20), эта величина равна

и зависит только от биений сигналов в двух каналах дискриминатора. Присутствие шумов не увеличивает параметрических флюктуаций в оптимальном дискриминаторе.

Влияние параметрических флюктуаций на точность дальномера в целом и соотношение между обычной и параметрической флюктуационными ошибками мы рассмотрим в дальнейшем.

Остановимся в заключение на еще одном истолковании величины . В гл. 6 указано, что если предположить постоянство измеряемого параметра на всем интервале наблюдения длительностью и построить какую-либо оценку параметра по значениям принятой реализации сигнала, то дисперсия этой оценки, характеризующая точность измерения параметра, не может быть меньше некоторой величины, называемой дисперсией эффективной оценки. При этом, например, оценка параметра методом максимума правдоподобия ([18], гл. 6) обеспечивает дисперсию, практически равную дисперсии эффективной оценки. В гл. 6 показано, что дисперсия эффективной оценки связана с величиной следующим образом:

Следовательно, максимальная точность измерения задержки принятого от цели сигнала (в предположении ее постоянства за время, в течение которого производится это измерение) для случая, когда мы не делаем никаких предположений относительно статистических характеристик измеряемой задержки, а производим простую оценку по функционалу правдоподобия, определяется величиной

Эта формула справедлива при противоположном случае, когда время наблюдения мало по сравнению со временем корреляции сигнала что может представлять интерес для обзорных радиолокаторов, в которых измерение дальности производится при каждом цикле обзора за малое время, нам необходимо вернуться к общей формуле для дисперсии эффективной оценки (6.7.33), из которой следует, что

где функция корреляции сигнала с шумом (7.2.1); обратная к ней на интервале функция (гл. 1, 4).

В соответствии с (4.3.9) при

Производя вычисления в (7.2.24), получим

где отношение сигнал/шум равно отношению энергии принятого сигнала за время наблюдения к физической (односторонней) спектральной плотности шума Заметим, что формула (7.2.25) формально совпадает с выражением для из (7.2.23), если считать спектр флюктуаций сигнала прямоугольным с ширинои