12.3.3. Оптимальный следящий многомерный измеритель

Пусть априорное распределение параметров гауссово

где X — блочный вектор-столбец средних значений; блочная квадратная матрица с подматрицами , элементы которых показывают взаимную корреляцию параметра в момент и параметра в момент блочная квадратная матрица, обратная При синтезе оптимального измерителя в первую очередь воспользуемся аппроксимацией функции правдоподобия в виде (12.3.8). Перемножая это соотношение с (12.3.10), приводя логарифм образовавшегося выражения к виду

где не зависят от , и приравнивая оптимальной оценке, аналогично § 6.6 получаем выражение

где величины и порядок их расположения имеют матричный смысл, а матрица определенная на интервале наблюдения. После перехода к непрерывным функциям при соотношение (12.3.11) принимает вид

где

Как и выше, в предельных переходах (12.3.13) величина подразумевается ограниченной снизу интервалами, превышающими интервал корреляции несущественных [параметров смесей а вектор-функция определяется с точностью до статистической эквивалентности. Укажем еще, что после перехода к непрерывным временным аргументам матрицы и столбцы в (12.3.12) и ниже имеют размерность соответственно.

По той же причине медленности изменения измеряемых параметров функция имеет фильтрующие по времени свойства:

где матрица учетом (12.3.14) имеем окончательное выражение для оптимального измерителя

которое в развернутом виде следует понимать как

Блок-схема, иллюстрирующая оптимальный совместный фильтр-измеритель, дана на рис. 12.5. Вся совокупность входных смесей поступает на нелинейные блоки 1 и 2. Укажем, что блок 1 выдает I напряжений, в среднем пропорциональных текущим рассогласованиям между истинными и измеренными значениями параметров Блок 2 выделяет напряжений [по числу независимых коэффициентов симметричной матрицы характеризующих текущую мгновенную точность измерений. Поэтому блок 1 разумно назвать многомерным (или совместным) дискриминатором, а блок -многомерным (или совместным) блоком точности. Выходные напряжения дискриминаторов через сумматоры 3 подаются на матрицу (1X1) сглаживающих фильтров 6, выходные величины которых объединяются сумматорами снова в групп. Тем самым сглаживающие цепи оказываются взаимосвязанными. После сложения в 8 выходных напряжений блока 6 с априорными средними значениями параметров образуются оценки измеряемых параметров, поступающие на дискриминатор и блок точности для поддержания селекции. Кроме того, группированные выходные напряжения 6 подаются на матрицу безынерционных переменных усилителей 5, с выхода которой поступают на сумматоры внутренней обратной связи 3. Следовательно, образуются как бы две основные многомерные петли регулирования: одна на дискриминатор и блок точности, другая на сумматоры, установленные на выходах дискриминаторов. Как и в одномерном случае, будем называть этот вариант измерителя двупетлевым. Импульсные реакции фильтров 6 и 5 регулируются выходными напряжениями блока точности для компенсации неравноточности отдельных замеров (или, что то же самое, параметрических флюктуаций).

(кликните для просмотра скана)

Другой, однопетлевой вариант измерителя соответствует формуле

или в развернутом виде

Эти соотношения получаются из (12.3.15) и (12.3.16), если их разрешить относительно оценок. Новый вариант схемы иллюстрируется рис. 12.6. Он проще двупетлевого, поскольку вместо двух матриц сглаживающих цепей необходима лишь одна матрица из элементов 3. Дискриминатор 1 и блок точности 2 сохраняются в неизменном виде.

Для матриц импульсных реакций с и легко получить интегрально-матричные уравнения

вполне аналогичные одномерному случаю.

Итак, оптимальная система измерения нескольких параметров является многомерной самонастраивающейся следящей системой с двумя нелинейными многомерными блоками, выдающими сигналы ошибок по отдельным параметрам и показатели текущих точностей измерения. Система замыкается матрицей (или двумя матрицами) линейных сглаживающих цепей, определяемых корреляционной матрицей параметров и матрицей . Кроме того, в системе предусмотрен ввод априорных средних значений параметров.

Корреляционная матрица характеризует взаимосвязь измеряемых параметров, т. е. описывает траекторные свойства объекта, формирующего совокупность

(кликните для просмотра скана)

измеряемых величин. Матрица определяет взаимосвязь кодировок параметров в сигналах, т. е. характеризует процесс кодирования параметров траектории в параметрах сигнала. На последний при приеме накладываются шумы и помехи. При диагональности когда параметры и их кодировки не связаны, матрицы с и тоже диагональны, и сглаживающие цепи значительно упрощаются. Общими элементами для подсистем изме рения отдельных параметров остаются лишь многомерные дискриминатор и блок точности.

Наконец, если совокупность смесей распадается на I независимых групп, зависящих каждая лишь от одного параметра, диагональны, многомерная измерительная система распадается на совокупность из I независимых одномерных следящих измерителей, исследовавшихся выше. Такой полностью вырожденный случай в радиолокации является редким исключением. Обычно в дискриминаторе и цепях сглаживания имеются схемные связи, усложняющие рассмотрение по сравнению с одномерным случаем. Однако если матрица К диагональна (хотя бы в среднем), то I выходов дискриминатора и I выходов блока точности являются простой совокупностью выходов одномерных дискриминаторов и блоков точности, синтезированных для каждого параметра в отдельности, с тем отличием, что производные логарифма функции правдоподобия берутся в точке, соответствующей совокупности измеренных значений всех I измеряемых параметров.

Напомним, что в одномерном случае производные по параметру брались при измеренном значении измеряемой величины, все же прочие координаты считались точно известными. Указанное обстоятельство принципиально, и отсутствие селекции хотя бы по одной координате ведет к энергетическим потерям по всем остальным. В радиолокационной практике такая закономерность хорошо известна (см. § 12.2). Если же матрица К недиагональна, то необходимо дополнительно к величинам образовывать в общем случае еще величин, показывающих текущую взаимосвязь ошибок отдельных измерений (и самих сигналов рассогласований, см. ниже) по всем координатам со связанной кодировкой. Естественно, что такое усложнение ведет к более сложным техническим решениям.

Зависимость от рассогласований в общем случае нелинейна и очень сложна. Однако при невысоком уровне шумов допустимо линейное разложение

где

а снова выражается через вторые производные по Ввиду быстроты изменения несущественных параметров шумы согласно соотношению (12.3.14) являются белыми с корреляционной матрицей Тем самым по физическому смыслу является средней крутизной выхода дискриминатора по рассогласованию параметра и одновременно взаимной спектральной плотностью белых шумов выходов. Если пересчитать на вход дискриминатора, то будем иметь набор величин размерности измеряемых параметров. Легко убедиться, что матрица спектральных плотностей имеет вид т. е. аналогично скалярному случаю имеет смысл матрицы эквивалентных спектральных плотностей шумов. Последнее толкование матрицы наиболее важно, поскольку произвольное безынерционное матричное преобразование выходных напряжений дискриминатора изменяет крутизну по отдельным параметрам и уровень выходных шумов, но не меняет матрицы эквивалентных шумов, пересчитанных на вход. Именно эту матрицу следует сравнивать с матрицей спектральных плотностей, полученной в практической схеме того же назначения.

На рис. 12.7 представлена блок-схема линейной следящей системы, по своим характеристикам абсолютно эквивалентной оптимальному измерителю рис. 12.6 при малых ошибках воспроизведения всех I параметров, когда справедливо приближение (12.3.21). На вход эквивалентной системы подаются смеси "сигналов" и "помех"

(кликните для просмотра скана)

Матрица импульсных реакций сглаживающих цепей равна с

Результирующая точность измерения при любом варианте сехмы определяется аналогично п. 6.6.2 соотношениями

где усреднение с производится по ансамблю входных смесей.

В частном случае, когда случайной составляющей элементов матрицы можно пренебречь, блоки точности и регулировки цепей сглаживания исчезают, неслучайные импульсные реакции определяются уравнениями (12.3.19) и (12 3.20), где заменено на свое среднее значение, а в дополнительном усреднении при анализе точностных свойств измерителей нет необходимости.

Остановимся еще на методе получения функций и по виду функционала правдоподобия всех входных сигналов. Как и в одномерном случае, функционал правдоподобия, полностью учитывающий свойства всей совокупности может быть обычно выражен в виде

где векторные функции, рассматриваемые на интервале

Тогда аналогично § 6.6

Если все полезные компоненты входных смесей являются некогерентными импульсными сигналами, то необходимо произвести видоизменение методики синтеза,

аналогичное § 6.6. Оптимальный измеритель выполняет операции согласно дискретному выражению

в которое переходит (12.3.11) с учетом диагональности сложной матрицы А по временным дискретным аргументам. Под следует понимать величины, группированные по периоду повторения

где — функции, входящие в выражение для функционала правдоподобия

Матрицы дискретных сглаживающих цепей определяются уравнениями, аналогичными (6.6.20) и (6.6.22):

или в развернутом виде

Дальнейшая конкретизация задачи оптимального измерения состоит в нахождении конкретного вида операций образования аппаратурной реализации этих

операций и установления алгоритма сглаживания в линейных фильтрах.

Этих вопросов мы коснемся в следующих параграфах.