6.8.5. Сглаживающие цепи для линейных функционалов от параметров

В § 6.6 было показано, что при измерении линейных функционалов от параметра первичная обработка входной смеси сигнала с шумом, осуществляемая дискриминатором, остается той же, что и при измерении самого параметра. Добавляются лишь два специальных

фильтра в цепях сглаживания. Один из них образует заданный функционал от априорного среднего значения параметра, а второй используется для обработки данных с выхода дискриминатора. Последний фильтр является единственным интересным элементом. Конкретный вид его зависит от того, на какой вариант измерителя основного параметра мы рассчитываем — на однопетлевой или двупетлевой. Импульсные реакции в двух этих случаях определяются соотношениями (6.6.106) и (6.6.108) соответственно. В основном ниже рассматривается случай двупетлевой системы. Естественно рассмотреть функции корреляции того же типа, что и в п.п. 6.8.1-6.8.3.

а) Если параметр — стационарный процесс, а линейный функционал также обладает стационарными свойствами, т. е. может быть представлен в виде

где последний момент наблюдения, то уравнение (6.6.106) при достаточно большом времени наблюдения примет вид

Как и в случае измерения самого параметра, уравнение (6.8.85) является интегральным уравнением типа Винера-Хопфа, решение которого легко находится методом факторизации. Полагая снова

имеем преобразование Фурье функции в виде

где

Формула (6.8.86) для нахождения предельного оператора полностью сохраняется, если параметр является процессом со стационарными приращениями. При этом при факторизации следует помнить обобщения п. 6.8.2. Точность измерения параметра в обоих случаях выражается согласно (6.6.109) формулой, аналогичной (6.8.18):

В качестве примера рассмотрим измерение первой производной от второго интеграла от белого шума, когда

По формуле (6.8.86) имеем

Весьма нагляден в этом случае вид фильтра образования функционала в однопетлевой системе:

Фильтр сглаживания имеет здесь тот же вид, что и в случае измерения винеровского процесса однопетлевой системой.

б) Если параметр — линейная комбинация функций со случайными множителями, задача просто решается без всяких предположений о виде функционала (он может быть любум).

Уравнение (6.6.106) принимает в этом случае вид

Рис. 6.41. Сглаживающие цепи для линейного функционала от квазирегулярного параметра (в однопетлевом варианте): 1, 3, 4 — усилители с переменным усилением; 2 — интегратор.

Отыскивая его решение в виде имеем окончательно для

где выражается формулой (6.8.52).

Согласно (6.8.88) и (6.8.89) схема образования оценок коэффициентов пропорциональности остается той же, что и для измерения самого параметра, далее сформированная совокупность оценок умножается не на исходные функции а на функции обработанные линейным оператором характеризующим линейный функционал. Эти операции иллюстрируются для одного коэффициента в одноцетлевом варианте на рис. 6.41.

Ошибка измерения по формуле (6.6.109) равна

В частном случае, при линейно изменяющемся параметре

и операторе упреждения (запаздывания)

имеем

Таким образом, ошибка приблизительно в раз превышает ошибку измерения текущего значения параметра.