12.3.5. Оптимальный измеритель линейных функционалов от параметров

Весьма часто в радиолокаторе наряду с измерением параметров входных сигналов должны формироваться несколько линейных функционалов от них (производных, упрежденных значений параметров, интегралов и т. п.). Иногда измерение линейных функционалов является основным назначением устройств. Поэтому немаловажна проблема оптимального измерения произвольного числа линейных функционалов от параметров закодированных во входных сигналах.

Представленное ниже рассмотрение во многом аналогично материалу п. 6.6.8, описывающему случай одного параметра и одного функционала. По-прежнему предполагается гауссово распределение параметров а следовательно, и

Связь между вектор-столбцами функционалов и параметров устанавливается линейным интегрально-матричным соотношением

и целиком определяется прямоугольной матрицей-функцией

После дискретизации во времени интервалами соотношение (12.3.36) приобретает вид

или в развернутом виде

причем в (12.3.37) понимаются как сложные столбцы и матрица соответственно.

Пусть входной сигнал (сигналы) доступен наблюдению в моменты из интервала никак не привязанного к моменту являющемуся

аргументом функционала Тогда средний риск при квадратичной функции потерь относительно ошибок измерения функционалов в момент времени записывается в виде

Варьируя по оценкам имеем систему уравнений

где нижние индексы у функции правдоподобия и априорного распределения означают число моментов отсчета. Как и для одномерного случая, легко убедиться, что непосредственное формальное решение (12.3.39)

в общем случае неприемлемо ввиду нарушения принципа физической реализуемости оптимального оператора. Иначе говоря, линейный функционал от оптимальной оценки параметров, вообще говоря, не является оптимальной оценкой линейного функционала

Для нахождения физически реализуемого решения уравнения (12.3.40) снова предположим, что для (у X) допустима аппроксимация (12.3.8). Разложение (у к) будем производить в точке текущей физически реализуемой оценки параметров, что можно потребовать заранее. Допустимость образования и использования в измерителе функционалов в качестве вспомогательных функций оптимальных оценок закодированных параметров не вызывает сомнений ни в теоретическом, ни в практическом планах. Подставляя (12.3.8) и (12.3.10) в (12.3.39)

и производя интегрирование, с учетом диагональности матрицы вторых производных имеем

Здесь обратная матрица; матрица порядка определяемая соотношением

Сложная матрица В определяется в развернутом виде соотношением

Из (12.3.43) с учетом значений и можно получить уравнение

связывающее матрицу с корреляционной матрицей параметров и матрицей-функцией линейного функционала

Другое представление решения (12.3.41) имеет вид

где связана с соотношением

в свою очередь определяется через согласно уравнениям (12.3.32), описывающим оптимальный

измеритель самих параметров Как видим, случай многих функционалов и параметров формально имеет большое сходство с одномерным случаем.

Переход к непрерывному наблюдению дает соотношение

где переход от в свете результатов п. 12.3.3 пояснений не требует, матрица-функция, связанная с интегральным уравнением, аналогичным (12.3.44):

Чтобы не загромождать изложение, мы не будем приводить развернутой схемы оптимального измерителя функционалов, построенного на основании соотношения (12.3.47), а дадим лишь ее описание. Она содержит полную блок-схему двупетлевого варианта оптимального измерителя (см. рис. 12.4). От сумматоров внутренней связи в цепях сглаживания делается I отводов на прямоугольную матрицу из специальных сглаживающих фильтров с импульсными реакциями Выходные сигналы объединяются в групп по числу измеряемых функционалов, после чего складываются с функциями являющимися результатами обработки априорных средних значений параметров матрицей-функцией . В итоге и образуются оптимальные оценки функционалов. Как видим, по сравнению со случаем измерения только к требуются сравнительно небольшие усложнения.

Другая модификация оптимальной схемы получается путем перехода к непрерывному наблюдению в соотношении (12.3.45):

Ее удобно сочетать с однопетлевым вариантом оптимального измерителя параметров (рис. 12.5). Выходные напряжения дискриминаторов подаются на матрицу сглаживающих цепей с импульсной реакцией удовлетворяющей соотношению, аналогичному (12.3.46):

где определяется функцией корреляции параметра согласно уравнению (12.3.32).

Для точности измерения совокупности линейных функционалов можно получить следующие формулы:

Итак, для оптимального измерения линейных функционалов от параметров необходимо введение в оптимальный измеритель непосредственно закодированных параметров двух матриц линейных фильтров: одну, основную, для сглаживания данных, другую для трансформации априорных средних значений. Матрицы имеют по I входов (по числу параметров) и по выходов (по числу функционалов). Складывая выходные величины двух этих матриц, имеем оптимальные оценки функционалов. Нахождение первой из этих матриц по конкретной корреляционной матрице параметров и точностным свойствам дискриминатора представляет отдельную задачу.