13.5.3. Оптимальный дискриминатор в случае многих целей при большом отношении сигнал/шум

Полученные выше резулптаты [см. (13.5.11), (13.5.17)] в принципе позволяют определить общую структуру оптимального многоцелевого дискриминатора при произвольном отношении сигнал/шум. Однако обращение соответствующих матриц высокого и тем более произвольного порядка наталкивается в этом случае на значительные трудности, так что структура оптимального дискриминатора оказывается раскрытой не до конца. Вместе с тем для измерительных задач особенный интерес представляет случай большого отношения сигнал/шум, для которого указанные трудности удалось преодолеть.

При большом отношении сигнал/шум элементы матрицы при достаточно малых да велики и можно выражение (13.5.11) для разложить в ряд по отрицательным степеням этой матрицы. Ограничиваясь первыми двумя членами такого разложения, имеем

Отсюда для получаем следующее выражение:

где через обозначены элементы матрицы В дальнейшем будем пользоваться первым членом разложения (13.5.27). Очевидно, условие, при котором можно пользоваться таким приближением, имеет вид

где нормированный спектр флюктуаций сигнала, отраженного от цели; эффективная ширина спектра флюктуаций этого сигнала; отношение мощности сигнала, отраженного от цели, к мощности шума в полосе флюктуаций сигнала.

При достаточно большом отношении сигнал/шум условие (13.5.28) будет выполнено. Нужно, однако, иметь в виду, что условие (13.5.28) должно быть выполнено в интервале частот, достаточно превышающем ширину спектра флюктуаций сигнала.

Итак, в дальнейшем пользуемся первым членом разложения (13.5.27). Вычислим сначала матрицу А (13.5.13). Дифференцируя (13.5.7) и (13.5.8) по параметрам соответственно и подставляя полученные соотношения в (13.5.14), можно получить следующий весьма важный результат:

где мы пользуемся обозначениями (13.5.15).

Таким образом, матрица А оказывается диагональной, а совместно-эффективные оценки — некоррелированными. Обращение матрицы А не вызывает затруднений, и для дисперсии эффективной оценки параметра получаем

Это очень важная формула, характеризующая потенциальную точность измерения координат нескольких целей при большом отношении сигнал/шум. Эквивалентная

спектральная плотность (по этому параметру определяется из (13.5.30) умножением на

Существенно отметить, что точность измерения координат дели не зависит от мощностей сигналов, отраженных от остальных целей. Это свидетельствует о хорошей компенсации мешающих Сигналов в оптимальном измерителе координат многих целей.

Переходим к отысканию оптимальной обработки сигнала в измерителе координат многих целей. Подставляя выражения (13.5.7) и (13.5.8) в (13.5.14), легко убедиться, что слагаемое, не содержащее реализаций сигналов, окажется равным нулю. В результате будем иметь

Если отношение сигнал/шум велико, то в пределах интервала частот, достаточно превышающего Ширину спектра флюктуаций сигнала, имеем т. е. функцию можно считать -образной по отношению к флюктуациям сигнала. С другой стороны, как мы знаем, функция является весьма медленной по отношению к функциям Теперь можно представить так:

где импульсная реакция фильтра, интегрирующего

модуляцию принимаемого сигнала, но пропускающего без изменения флюктуации сигнала.

При этом производная логарифма функционала правдоподобия переписывается в виде

Схемная реализация операции (13.5.32) может быть осуществлена различными способами. Здесь важно получить наиболее простую схему. Для этого вычислим выражение

входящее в (13.5.32). Оно, очевидно, равно

С другой стороны, имеем

Раскрывая последнее соотношение, получаем

Подставляя это выражение в (13.5.33) и затем в (13.5.32), для производной логарифма функционала правдоподобия получаем окончательно

Опуская коэффициент пропорциональности и интеграл по в выражении (13.5.34), имеем аналитическое выражение для операции оптимального дискриминатора

Блок-схема оптимального дискриминатора, выполняющего операцию (13.5.35), изображена на рис. 13.7. Она по структуре совпадает со схемами дискриминаторов измерителей координат одной цели, только изменились гетеродинные сигналы, на которые умножаются сигналы в каналах. Физический смысл введения именно

таких гетеродинных сигналов довольно легко усматривается и является весьма любопытным.

Сигнал

как легко установить путем непосредственного расчета, является ортогональным к мешающим сигналам.

Сигнал

оказывается ортогональным ко всем сигналам без исключения. Специальная форма опорных сигналов на выходе схемы обеспечивает существование сигнала только при наличии рассогласования между входным и гетеродинным сигналами по измеряемому параметру. Выходной сигнал пропорционален этому рассогласованию. Наличие канала с гетеродинным сигналом (13.5.37) обусловлено существом измерительной задачи: мы должны отстроиться от мешающих сигналов, даже если параметры, соответствующие этим сигналам, нам точно не известны.

Более четко смысл операций синтезированной схемы можно понять, если произвести анализ этой схемы, т. е. непосредственно рассчитать ее характеристики. Произведем расчет этих характеристик; при этом мы не будем ограничиваться только случаем большого отношения сигнал/шум, так как этот расчет осложняется незначительно, если считать отношение сигнал/шум произвольным.

Кроме того, будем считать, что фильтры в анализируемой схеме имеют полосу частот, сравнимую с полосой флюктуаций сигнала. Это также не осложняет расчета, но получаемые результаты будут более ценными с практической точки зрения. Дело в том, что для практической реализации рассматриваемой схемы помимо знания ее оптимальности при большом отношении сигнал/шум весьма желательно знать также ее поведение во всем диапазоне отношений сигнал/шум; ясно также, что при

малых отношениях сигнал/шум точность анализируемой схемы будет существенно зависеть от ширины, полосы пропускания фильтров, и сравнительный анализ всех возможных здесь ситуаций чрезвычайно интересен.

Итак, рассмотрим схему, изображенную на рис. 13.7. Будем считать, что фильтры в этой схеме имеют частотную характеристику

Рис. 13.7. Оптимальный дискриминатор измерителя координат многих целей: 1 — смеситель; 2 — фильтр; 3 — умножитель.

Используя выражение (13.5.35) для выходного сигнала рассматриваемой схемы и вводя обозначение и (13.5.37) для модуляций гетеродинного сигнала, можно получить следующие результаты:

где

эффективная ширина полосы пропускания фильтра.

Считая истинные значения параметров совпадающими с параметрами сигналов гетеродина легко получить, что и систематическая ошибка

При наличии расстроек между указанными значениями параметров из (13.5.38) и (13.5.39) получаем

т. е. среднее значение сигнала на выходе схемы пропорционально только рассогласованию по измеряемому параметру и не зависит от мешающих сигналов даже при наличии рассогласований (разумеется, малых) между истинными значениями их параметров и значениями, вводимыми в сигналы гетеродина. В этом и заключается смысл столь специальной и сложной формы этих сигналов. Из выражения (13.5.40) находим крутизну дискриминационной характеристики анализируемой схемы:

Спектральная плотность на нулевой частоте сигнала при отсутствии рассогласований по всем параметрам

также легко подсчитавается и оказывается равной

Отсюда получается следующее окончательное выражение для эквивалентной спектральной плотности по параметру

где - отношение мощности сигнала, отраженного от цели, к мощности шума в полосе флюктуаций этого сигнала, а

— нормированный спектр флюктуаций сигнала от этой цели. Легко видеть, что при большом отношении сигнал/шум и расширении полосы пропускания фильтра выражение (13.5.42) совпадает с (13.5.31), т. е. точность анализируемой схемы в этих условиях, естественно, совпадает с потенциальной точностью. Из (13.5.42) легко установить условия, при которых это имеет место:

Практически достаточно иметь

Производить расчет точностей по формулам (13.5.31) и (13.5.42) довольно трудно ввиду сложности вычисления элементов матрицы Простые формулы получаются для случая двух целей. При этом

Схема оптимального дискриминатора для измерения параметра принимает вид, изображенный на рис. 13.8.

Рис. 13.8. Оптимальный дискриминатор измерителя координат двух целей: 1 — смеситель; 2 — фильтр; 3 — умножитель.

Модуляцию сигналов гетеродина в этой схеме можно представить в виде

а эквивалентную спектральную плотность — в виде

Оптимальный дискриминатор для случая двух целей более подробно будет изучен в следующем разделе. В заключение кратко рассмотрим случай, когда сигнал имеет векторный характер. В этом случае, как мы видели, матрица характеризующая совместный функционал плотности вероятности наблюдаемых сигналов, выражается прежней формулой (13.5.11), только видоизменяется матрица С: ее элементы определяются теперь формулой (13.5.19). Следовательно, при большом отношении сигнал/шум по-прежнему представляется в виде (13.5.26) или (13.5.27).

Подставим выражение (13.5.18) для функций корреляции принимаемых сигналов и выражение для функций в формулу (13.5.20). При этом легко получить, что

имеет прежний вид (13.5.16), только функции выражаются формулами (13.5.19) и

Следовательно, будут также выражаться прежними формулами. (13.5.30) и (13.5.31). Используя далее формулу (13.5.20), можно получить для

Рис. 13.9. (см. скан) Оптимальный дискриминатор измерителя угловых координат многих целей: 1 — смесители; 2 — суммирующие устройства; 3 — фильтры; 4 — умножитель.

оптимальной операции в рассматриваемом случае следующее выражение:

Блок-схема устройства, выполняющего операцию (13.5.45), изображена на рис. 13.9. Эта схема по структуре совпадает с аналогичными схемами измерителей координат одной цели (см., например, § 10.2, 40.3, 10.13), однако вид сигналов гетеродина изменяется. Структура их, как можно усмотреть в результате анализа операции (13.5.45), подчинена опять тому же принципу: максимально отстроиться от мешающих сигналов, даже если их параметры нам известны не точно.