§ 6.8. СИНТЕЗ СГЛАЖИВАЮЩИХ ЦЕПЕЙ И РЕЗУЛЬТИРУЮЩАЯ ТОЧНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЙ

В § 6.6 было показано, что оптимальные измерители содержат сглаживающие цепи. В настоящем параграфе без конкретизации физической природы измеряемой величины будут получены и проанализированы оптимальные сглаживающие цепи для различных статистических свойств Импульсные реакции этих цепей, а также результирующая ошибка измерений определяются уравнениями (6.6.31), (6.6.32) или (6.6.53), (6.6.54). Решения этих уравнений зависят от функции корреляции параметра и функции зависящей от статистических свойств входного сигнала и способа кодирования в нем параметра Уже указывалось, что при гауссовой статистике синтез сглаживающих цепей

аналогичен синтезу винеровских фильтров. Хотя решения последней задачи в литературе имеются, специфический вид эквивалентной «помехи» и представление измерителя в виде замкнутой следящей системы позволяют получить ряд новых интересных для приложений выводов.

Ниже будут рассмотрены параметры в виде стационарных случайных процессов, процессов со стационарными приращениями, квазирегулярных процессов (линейных комбинаций известных функций со случайными множителями), а также смешанные случаи. Отдельно рассматривается синтез сглаживающих фильтров для из. мерителей линейных функционалов от параметров.

6.8.1. Параметр — стационарный случайный процесс

В ряде приложений измеряемую величину можно считать случайным стационарным процессом. Примером служат стационарные колебания скорости в допплеровском счислителе путевой скорости самолета и т. п.

Если измеряемый параметр стационарен, то при произвольном времени наблюдения уравнение (6.6.53) принимает вид

т. е. оказывается интегральным уравнением с ядром, зависящим от разности аргументов. Способы решения таких уравнений в принципе изучались неоднократно [19]. Точное решение можно получить, если спектральная плотность параметра имеет вид

где полиномы от степени

Такое представление является весьма общим и охватывает практически все реальные случаи стационарных процессов. Подставляя в (6.8.1) функцию выраженную через и применяя к обеим частям этого уравнения дифференциальный оператор

с учетом (6.8.2) можно показать, что уравнение (6.8.1) равносильно дифференциальному уравнению

Дополнительно должна удовлетворять краевым условиям на концах интервала наблюдения которые получаются, если применить к обеим частям (6.8.1) операторы и использовать некоторые теоремы теории функций комплексного переменного:

Здесь многочленная часть дроби

Время в (6.8.3) и (6.8.4) рассматривается как фиксированный параметр.

Таким образом, решение уравнения (6.8.1) эквивалентно нахождению функции Грина соответствующего линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами при краевых условиях (6.8.4). Решение этой задачи подчас громоздко, по принципиальных трудностей не представляет.

Некоторое упрощение достигается в случае, когда Краевые условия при этом упрощаются, так как

Рассмотрим в качестве примера параметр в виде стационарного случайного процесса, который формально можно

считать образованным прохождением белого шума через инерционное звено с постоянной времени Т:

Замечаем, что в этом случае

тогда соотношения (6.8.3), (6.8.4) примут вид

Рис. 6.36. Сглаживающие цепи для стационарного параметра при малом времени наблюдения: 1,3 — усилители с переменным усилением; 2 — интегратор.

Система (6.8.6) имеет следующее решение:

где

Цепь с импульсной реакцией (6.8.7) может быть реализована с помощью последовательно включенных управляемого усилителя с переменным усилением, интегратора и еще одного управляемого усилителя (рис. 6.36).

Весьма интересен случай большого времени наблюдения, когда Тогда ввиду затухания импульсной реакции следует рассматривать небольшие разности между моментами приложения входных возмущений и отсчета когда одновременно Легко убедиться, что в этих условиях

Тем самым, в предельном случае импульсная реакция зависит лишь от разности аргументов и совпадает с реакцией некоторого звена первого порядка с эффективной постоянной времени

Отыскивая по (6.8.8) решение уравнения (6.6.54) в виде имеем функцию

с преобразованием Фурье

Таким образом, цепью сглаживания однопетлевого варианта должна являться цепь как раз с той постоянной времени, которая соответствует инерционному звену, сформировавшему параметр из белого шума. Умножая на коэффициент передачи оптимального дискриминатора К, замечаем, что полный коэффициент усиления в петле оптимального измерителя меняется как

Наконец, дисперсий, результирующей ошибки измерения параметра согласно (6.8.7) равна

Входящая в соотношения (6.8.7) — (6.8.13) величина фактически является эквивалентным отношением сигнал/шум в измерителе, поскольку она равна отношению максимального значения спектральной плотности параметра к эквивалентной спектральной плотности дискриминатора Монотонный характер зависимости предельной ошибки в (6.8.13) от не требует пояснений. Более интересна зависимость полного коэффициента усиления в петле от Физически взаимосвязь объясняется оптимальным подбором полосы пропускания системы

При больших шумах выгодно суживать полосу вплоть до согласованной для максимального подавления шумов в ущерб отслеживанию резких изменений параметра. При малых [шумах полезнее использовать полосу пропускания, расширенную в раз, в пределах которой уровень спектральной плотности параметра превышает уровень шумов.

Особо важное значение для приложений имеет случай большого времени наблюдения, когда процесс измерения «устанавливается» и его характеристики перестают зависеть от начальных условий измерения. Для нахождения предельных значений при большом времени наблюдения в общем случае значительно более удобен метод факторизации, приведенный

в § 6.5. Применительно к данному случаю проводится факторизация функции

а окончательный результат записывается в виде

При этом фильтр сглаживания эквивалентной однопетлевой системы имеет частотную характеристику

которая находится из уравнения (6.6.54) методом преобразований Фурье.

Установившаяся ошибка измерения в пределе постоянна и выражается простой формулой, основанной на теории интегралов Фурье:

Особенно удобен метод факторизации при дробно-рациональной спектральной плотности параметра вида (6.8.2). Обращаясь в качестве примера опять к простейшему случаю, описываемому соотношениями (6.8.5), имеем конкретно

Тогда по (6.8.16)

и, наконец, частотная характеристика фильтра равна

что совпадает с изображением Фурье (6.8.8). Увеличение степеней полиномов в (6.8.2) приводит к усложнению процедуры факторизации, заключающемуся в нахождении корней алгебраических уравнений высокого порядка. В принципе это те же уравнения, что и при произвольном времени наблюдения, предельный случай все же резко упрощает дальнейшие выкладки, освобождая от необходимости учета краевых условий.