9.5.2. Оптимальные сглаживающие цепи для случайно изменяющейся скорости

Линейные сглаживающие цепи с постоянными параметрами в некоторых случаях, проанализированных в гл. 6, являются оптимальными, т. е. обеспечивают при применении соответствующего дискриминатора минимум ошибки измерения. Это имеет место в случаях, когда скорость представляет собой либо стационарный случайный процесс, либо случайный процесс со стационарными приращениями.

Скорость является стационарным случайным процессом, например, в случае измерения путевой скорости допплеровским счислителем пути. При стационарных случайных качаниях летящего объекта относительно горизонтальной линии полета, небольших стационарных, изменениях собственной скорости и достаточно однородном рельефе местности измеряемые компоненты путевой скорости так же, как и отраженный сигнал, могут считаться стационарными процессами.

Метод нахождения как оптимального фильтра, так и ошибок измерения, получающихся при его применении, изложен в § 6.8 для произвольного вида спектральной плотности измеряемого параметра. Рассмотрим частный

случай спектральной плотности скорости вида (9.5.11), при которой частотная характеристика оптимального фильтра сглаживания при большом времени наблюдения согласно (6.8.11) имеет вид

где дисперсия; - время корреляции процесса изменения скорости; — крутизна оптимального дискриминатора. Дисперсия полной ошибки измерения скорости согласно (6.8.13) равна

Учитывая, что в (9.5.28) подразумевается применение оптимального частотного дискриминатора, и считая, что его эквивалентная спектральная плотность определяется выражением (9.3.11), имеем

откуда

При весьма малых отношениях сигнал/шум величина равна априорной дисперсии изменения скорости, при больших же отношениях сигнал/шум

Зависимость среднеквадратической ошибки измерения скорости от отношения сигнал/шум покажем на примере.

Полагая , при больших шумах получаем при малых шумах получаем ; а зависимость от построена на рис. 9.16.

Рис. 9.16. Зависимость среднеквадратической ошибки измерения скорости от отношения сигнал/шум А для примера оптимального измерителя в случае, когда скорость — стационарный процесс.

Надо заметить, что полученные значения ошибки измерения скорости соответствуют оптимальной системе, коэффициент усиления разомкнутой петли которой должен быть равен

и принимает различные значения при изменении отношения сигнал/шум График зависимости от для приведенного примера построен на рис. 9.17.

На том же рисунке показаны кривые зависимости коэффициента усиления от определяемой действием системы АРУ при трех значениях Из рассмотрения этих

кривых можно заключить, что удовлетворительное воспроизведение нужного закона изменения усиления с помощью АРУ достигается для значений при

В большинстве случаев предположение о стационарном случайном изменении скорости не выполняется.

Рис. 9.17. Зависимость коэффициента усиления разомкнутой петли от отношения сигнал/шум для примера оптимального измерителя в случае, когда скорость — стационарный процесс: ---- оптимальное усиление; ---- усиление при применении АРУ.

Так, во многих случаях радиолокационная цель может в любой момент начать маневр и в дальнейшем не вернуться к прошлому направлению движения, за счет чего радиальная составляющая скорости изменится. Однако достаточно часто изменения скорости можно считать процессом со стационарными приращениями. В частности, если изменения тяги двигателя, а следовательно, и ускорения цели стационарны, то скорость нестационарна, но имеет стационарную первую производную, т. е. может быть отнесена к процессам со стационарными приращениями.

Если идеализировать процесс изменения ускорения, считая его белым шумом со спектральной плотностью

то скорость представляет собой винеровский процесс. При большом времени наблюдения оптимальным сглаживающим фильтром согласно (6.8.28) является интегратор с коэффициентом усиления, равным где — крутизна дискриминатора. Коэффициент усиления разомкнутой петли при этом определяется как и должен быть различным при разных отношениях сигнал/шум Так, для оптимального дискриминатора в тех же условиях, что и в предыдущем случае,

Величина дисперсии ошибки измерителя оказывается равной

где

Зависимость (9.5.35) изображена на рис. 9.18. Пунктирная кривая на этом рисунке показывает, что нужная зависимость достаточно хорошо воспроизводится с помощью системы АРУ.

Для того чтобы проиллюстрировать величины ошибок измерения скорости в случае, когда ускорения можно считать белым шумом, приведем следующий пример. Допустим, что длина волны радиолокатора см, а полоса

Рис. 9.18. Зависимость от отношения сигнал/шум в случае, когда скорость — процесс со стационарной 1-й производной: - оптимальное изменение усиления; изменение усиления за счет АРУ.

флюктуаций сигнала гц. Ошибки измерений скорости при большом отношении сигнал/шум и при различных среднеквадратических значениях скорости, развиваемой за 1 сек, сведены в табл. 9.2. В ней приведены также соответствующие ошибки измерения частоты и значения эффективной полосы следящего измерителя, рассчитанные по (9.5.2).

Таблица 9.2 (см. скан)

Ускорения цели не всегда можно предполагать некоррелированными. Однако, если ускорение конечно, а его производная приближенно стационарна и быстро изменяется, то скорость можно считать двойным интегралом от белого шума с некоторой спектральной плотностью При большом времени наблюдения согласно (6.8.37) оптимальным сглаживающим фильтром является двойной интегратор с коррекцией. Коэффициент усиления разомкнутой петли оказывается равным

и при том же оптимальном частотном дискриминаторе так же зависит от отношения сигнал/шум как и в случае некоррелированных ускорений. Постоянная времени корректирующей цепи определяется как

и, наконец, дисперсия ошибки измерения скорости согласно (6.8.33) равна

Зависимость отношения от (где — дисперсия при полученная из (9.5.38), построена на рис. 9.19. Она справедлива при изменении с изменением в соответствии с приведенными выше формулами. В случае фиксированного выбора система перестает быть оптимальной.

Рис. 9.19. Зависимость дисперсии ошибки измерения скорости от отношения сигнал/шум в случае, когда скорость — процесс со стационарной 2-й производной.

Для иллюстрации возможностей оптимальной системы измерения скорости в случае, если производная от ускорения является белым шумом, обратимся опять к примеру радиолокатора, у которого см, а полоса принимаемого сигнала . Задаваясь величинами среднеквадратического значения ускорения, развиваемого за 1 сек, и вычисляя среднеквадратическую ошибку измерения скорости при получаем результаты, представленные в табл. 9.3. В этой же таблице, как и в предыдущем примере, приведены значения ошибки измерения частоты и эффективная полоса следящего измерителя, рассчитанная по формуле (9.5.4).

Из таблицы видно, что зависимость ошибки измерения от динамических свойств цели, характеризуемых коэффициентом в данном случае весьма слаба.

Таблица 9.3 (см. скан)