6.7.4. Некоторые виды негауссовых сигналов в белых шумах

До сих пор в примерах статистических свойств смесей сигналов с шумами мы почти всегда предполагали гауссово распределение помехи, что обычно не является ограничением. Поэтому в основном интересно изучить изменение обработки сигналов при негауосовой статистике полезной компоненты смесей. На примере одного вида сигналов, принимаемых на фоне белых шумов, мы покажем, что отклонение в распределении вероятностей, даже весьма значительное, не ведет к заметным схемным изменениям оптимальных дискриминаторов.

Остановимся на независимо флюктуирующих посылках сигнала, подобных тем, которые изучались в п. 6.7.3. Если фаза в каждой посылке распределена равномерно, то усреднение по фазе и амплитуде функционала правдоподобия сигнала на фоне нормального белого шума в одном периоде ведет к выражению

Разумно выявить максимально возможное число закономерностей в общем а затем рассмотреть

конкретные примеры. Разлагая в ряд Маклорена, сходящийся при любых х, имеем логарифм функции правдоподобия в виде

где

Согласно (6.7.96) логарифм функции правдоподобия является монотонно неубывающей целой функцией от квадрата огибающей сигнала на выходе согласованного фильтра. Если уровень входного сигнала мал, то в разложении (6.7.96) достаточно ограничиться двумя первыми членами, и оптимальный приемник, а следовательно, и дискриминатор совпадают с таковыми для случая гауссова сигнала. Это обстоятельство имеет силу и в более широких условиях и интуитивно понятно в свете того, что при слабом сигнале смесь его с шумом приближенно нормальна при любых свойствах сигнала. К сожалению, подобных общих заключений при больших уровнях сигнала сделать не удается.

Обратимся к операции дискриминатора. Согласно (6.7.96)

Таким образом, операция дискриминатора при произвольном сигнале состоит в воспроизведении операций "гауссова" дискриминатора, образующего согласно п. 6.7.3 величину и гауссова обнаружителя, образующего величину Согласно рис. 6.35 выходной сигнал "гауссового" дискриминатора умножаете на положительную функцию от конкретно зависящую от статистических свойств сигнала. В результате образуется схема дискриминатора для этого сигнала. Поскольку

характеристики точности в общем случае исследовать не удается, рассмотрим некоторые примеры.

а) Случай нефлюктуирующего сигнала, когда

Тогда согласно (6.7.95)

и операция дискриминатора примет вид

Рис. 6.55 Оптимальный дискриминатор для "негауссового" сигнала: 1 — «гауссов» дискриминатор; 2 — оптимальный приемник, образующий ; 3 - нелинейный безынерционный преобразователь; 4 — умножитель.

Функция

является в данном случае монотонно убывающей. При малых сигналах, как уже доказывалось в общем виде, она стремится к константе. При больших сигналах, как легко видеть из (6.7.99),

Операция оптимального приемника в этих условиях сводится к линейному детектированию сигнала на выходе согласованного фильтра.

Если же обратиться к трактовке оптимальных операций дискриминатора, то легко убедиться, что вместо оконечных идеальных перемножителей (фазовых детекторов), содержащихся в «гауссовом» дискриминаторе, здесь должны быть взяты перемпожители с ограничением подводимого сигнала, не несущего информации о рассогласовании. Большинство используемых на практике фазовых детекторов обладает именно таким свойством (см. гл. 2, т. I). Физическим объяснением необходимости некоторого ограничения выбросов входной смеси по сравнению со случаем гауссова дискриминатора служит то обстоятельство, что сигнал не флюктуирует, и значительные выбросы могут образоваться лишь за счет шумов, подавляющих в отдельные моменты полезный сигнал.

Характеристика точности измерения может быть легко получена лишь при высоком уровне сигнала, когда

где отношение сигнал/шум.

Согласно (6.7.100) К монотонно зависит от отношения сигнал/шум и усредненных по периоду квадратов производных модулирующих функций по измеряемой величине. С подобными зависимостями мы уже встречались выше (п.п. 6.7.2, 6.7.3).

б) Случай пегауссового распределения, имеющего практическое значение и представляемого в виде композиции нескольких релеевских распределений для амплитуды Е:

Здесь — вес отдельного распределения

Функционал правдоподобия согласно равен

а операция дискриминатора выражается фэрмулой

где предполагается независимость от . Коэффициент в (6.7.103) при с изменением меняется мало, причем члены рядов с малыми играют превалирующую роль, если для всех распределений в (6.7.101) имеют один и тот же порядок. Иными словами, дискриминатор должен быть рассчитан в основном на сигналы, принадлежащие распределению с наименьшим