6.5.4. Теория оптимальной линейной фильтрации

Фильтрацией называется непрерывное воспроизведение («измерение», «нахождение оценки») некоторой переменной величины, являющейся параметром наблюдаемого случайного процесса.

Теория оптимальной фильтрации уже имеет известную историю и заложена фундаментальными трудами Колмогорова и Винера по линейной фильтрации [7]. Первоначально эта теория никак не была связана с теорией решений и основывалась на следующих постулатах:

1) параметр и помеха являются аддитивно смешанными стационарными случайными процессами, имеющими различные функции корреляции. Реализация смеси задана на интервале, начинающемся с бесконечно удаленного вплоть до текущего момента;

2) искомая оптимальная система должна выполнять над смесью линейную операцию;

3) система должна быть физически реализуемой, т. е. ее импульсная реакция должна обращаться в нуль для отрицательных

4) критерием оптимальности является минимум среднеквадратической ошибки воспроизведения параметра или какого-либо линейного функционала от параметра — производной, интеграла, некоторого упрежденного значения параметра и т. п.

При выполнении этих требований можно убедиться, что импульсная реакция оптимального винеровокого фильгра для воспроизведения непосредственно самого параметра удовлетворяет следующему интегральному уравнению (уравнению Винера — Хопфа):

где автокорреляционная функция смеси — перекрестная функция корреляции смеси и параметра.

Если попытаться сразу применить к (6.5.17) преобразование Фурье, то легко найти частотную характеристику оптимального фильтра, но он будет принадлежать к классу нереализуемых в реальном времени фильтров. Под последними мы понимаем фильтры, импульсная реакция которых не равна нулю при отрицательных временных аргументах. Если речь идет о фильтрации с непосредственной выдачей результата, то это обстоятельство эквивалентно появлению отклика до приложения возмущения и противоречит принципу причинности. Для нахождения физически реализуемых фильтров математикам пришлось применить гораздо более тонкие методы теории функций комплексного переменного. В итоге решение равнения имеет вид

где

— специальное разложение (факторизация) на сомножители с нулями и полюсами соответственно в верхней и нижней полуплоскостях комплексной переменной . Такое разложение всегда выполнимо, например, при дробнорациональной функции с вещественными коэффициентами. (На практике аппроксимация спектральных плотностей такими функциями всегда возможна.) Операция в (6.5.18) означает взятие того слагаемого выражения в скобках, которое имеет полюсы в верхней полуплоскости комплексной переменной . Аналитически эта операция может быть выражена также в виде двух интегралов.

При дальнейшем развитии теории линейной фильтрации удалось ослабить постулаты 1 и 4. Так, были рассмотрены некоторые виды нестационарного параметра, конечный интервал реализации и иные критерии оптимальности.

В частности, получено, что импульсная реакция винеровского фильтра в более общих случаях определяется интегральным уравнением

где имеют прежний смысл, но из-за нестационарности входной смеси зависят от двух переменных.

Важно подчеркнуть, что класс операторов, в котором отыскивался наилучший, оставался во всех случаях заданным.

Несмотря на указанные ограничения, теория линейной фильтрации имеет большое методологическое значение, а в целом ряде практических случаев дает явное аналитическое выражение для импульсных реакций различных фильтров [7]. При спектральных плотностях в виде дробнорациональных функций со эти фильтры принадлежат к системам с постоянными параметрами и

выполняются в виде набора RC- и LRС-цепочек и линейных безынерционных усилителей.

После привлечения теории решений было показано, что при аддитивной смеси гауссовых измеряемых величин и помех с гауссовыми распределениями винеровские фильтры являются оптимальными абсолютно, т. е. не существует класса операторов, выполняющих эту задачу успешнее [5].

Отметим еще два важных результата. Из [61] следует, что для аддитивной смеси процессов с гауссовыми распределениями оптимальные фильтры-экстраполяторы дают лишь небольшой выигрыш по сравнению с винеровскими, правильно рассчитанными на функции корреляции негауссовых компонент. Далее, в [62] показано, то при аддитивной смеси гауссовой помехи с сигналом, для которого известна только функция корреляции, винеровский фильтр оптимален в минимаксном смысле, т. е. обеспечивает наименьшую среднеквадратическую ошибку для наихудших видов сигналов с заданной функцией корреляций. Тем самым винеровские фильтры при аддитивных смесях обладают оптимальными свойствами весьма универсального характера. Фильтры, но свойствам близкие к винеровским, будут выявлены и в задаче нелинейной фильтрации сугубо неаддитивных смесей, в связи с чем в § 6.8 будет продолжено их рассмотрение.

По тому же пути отыскания оператора из заданного класса пошли некоторые авторы и при решении задач нелинейной фильтрации [15]. Однако, поскольку каждый вправе выбирать произвольные классы нелинейных операторов, такой путь оставляет неудовлетворенность: всегда можно предполагать наличие еще лучшего решения.