6.2.3. Точность измерения при отсутствии параметрических флюктуаций

На основе введенных характеристик дискриминатора рассчитаем ошибки измерения. Пусть параметрические флюктуации пренебрежимо малы. Изучим тот важный и достаточно общий случай, когда сглаживающие цепи линейны, но не обязательно с постоянными параметрами, так что их вход и выход связаны соотношением

где импульсная реакция сглаживающих цепей; вводимая в измеритель величина (рис. 6.1), не обязательно в точности совпадающая с априорным средним значением параметра рассматриваемого как случайный процесс.

Подставляя в (6.2.13) согласно (6.2.10) величину

и учитывая, что имеем уравнение

Введем импульсную реакцию замкнутой системы, считая выходной величиной. Функция определяется интегральным уравнением

Дополнительно введем импульсную реакцию системы считая выходной величиной рассогласование Функция удовлетворяет уравнению

Непосредственной] подстановкой выражения (6.2.13) в (6.2.14) с использованием (6.2.15), (6.2.16) нетрудно убедиться, что решение уравнения (6.2.14) имеет вид

где прибавлена и вычтена функция

Согласно (6.2.17) текущая ошибка определяется совместным действием помехи пропущенной через фильтр с импульсной реакцией случайных изменений параметра и нескомпенсированных регулярных изменений параметра пропущенных через фильтр с импульсной реакцией Первое слагаемое

естественно назвать флюктуационной ошибкой, слагаемым присвоим наименование динамических ошибок. Заметим, однако, что при статистическом подходе к измеряемым величинам введение последнего термина несколько условно, поскольку имеет случайный характер в той же мере, что и

Счйтая измеряемый параметр случайным процессам, а флюктуации быстрыми, по (6.2.17) можно легко подсчи тать средний квадрат полной ошибки измерения:

Здесь использовано свойство -корреляции помехи, введена функция корреляции случайной части измеряемого параметра и обозначено

Согласно (6.2.18) при произвольной импульсной реакции сглаживающих цепей дисперсия флюктуационной ошибки пропорциональна эквивалентной спектральной плотности (6.2.11).

Дальнейшие упрощения выражений для отдельных составляющих выражения (6.2.18) возможны при конкретизации вида сглаживающих цепей и характера изменения

а) Предположим стационарность случайной части параметра полную компенсацию его регулярной части и постоянство параметров сглаживающих цепей. Преобразования Фурье от функций по (6.2.15), (6.2.16) в этом случае легко выражаются через крутизну дискриминатора и частотную характеристику сглаживающих цепей

в виде

Окончательно вместо (6.2.18) можно получить

где спектральная плотность случайной части параметра — эффективная полоса пропускания замкнутого измерителя:

Более последовательно было бы определить эффективную полосу нормированным соотношением

Однако поскольку из-за большого усиления в петле обычно то нет никакой разницы между (6.2.21) и (6.2.22).

Как следует из (6.2.20), дисперсии флюктуационной и динамической ошибок в рассматриваемом случае не зависят от времени, причем первая выражается простой и широко известной формулой

б) Рассмотрим пример, когда сглаживающие цепи постоянны, а случайная часть параметра выражается полиномом относительно времени со случайными множителями

Флюктуационная ошибка выражается по-прежнему формулой (6.2.23), а средний квадрат динамической ошибки — по (6.2.18) имеет вид:

где

дается формулой (6.2.19).

При увеличении времени измерения (6.2.26) переходит в

Отсюда следует, что режим со строго конечной величиной дисперсии установившейся динамической ошибки существует лишь при наличии в числителе множителя в степени, не меньшей степени полинома (6.2.24), отображающего поведение параметра. Числитель согласно (6.2.19) определяется в свою очередь знаменателем передаточной функции сглаживающих цепей. Последние при наличии множителя называются астатическими порядка. Астатизм достигается с помощью цепей, по свойствам близким к идеальным интеграторам. Так, сглаживающая цепь в виде одиночного интегратора обеспечивает астатизм первого порядка:

а при двойном интеграторе с коррекцией имеем астатизм второго порядка:

В общем виде средний квадрат динамической ошибки в установившемся режиме окончательно имеет вид

Рассмотрим детальнее ряд простых примеров.

1. Сглаживающая цепь имеет вид идеального интегратора (6.2.28). Эффективная полоса пропускания замкнутого измерителя здесь равна

Для случая стационарного параметра со спектральной плотностью где а — дисперсия, имеем средний квадрат динамической ошибки

При параметре в виде полинома (6.2.24) установление ошибки наблюдается лишь при . При ошибка а при

Ошибка по положению (т. е. за счет постоянного члена случайной величины) равна нулю, а ошибка по ускорению или по более высоким производным (в случае наличия в законе изменения параметра соответствующих членов) неограниченно растет.

2. Сглаживающая цепь имеет вид RC-цепочки:

Эффективная полоса и динамическая ошибка при стационарном параметре с приведенной выше спектральной плотностью имеют вид:

Если обратиться к случаю параметра в виде полинома, то легко убедиться, что установление ошибки имеет место лишь при постоянном параметре и дисперсия ее равна Однако в случае большого коэффициента усиления и большой постоянной времени цепи

сглаживания при имеем в течение достаточно протяженного интервала времени

т. е. замкнутая система имеет приближенно те же свойства, что и в случае идеального интегратора с коэффициентом усиления

Все изложенное показывает, что при отсутстрии параметрических флюктуаций анализ точности, измерителей достаточно прост и приводит к результатам, широко известным из классической теории автоматического регулирования.