§ 6.9. СИНТЕЗ ИЗМЕРИТЕЛЕЙ ПРИ МАРКОВСКОМ ПАРАМЕТРЕ И ПРИ ОГРАНИЧЕННОМ ЗНАНИИ СТАТИСТИКИ ПАРАМЕТРОВ

В § 6.6-6.8 рассматриваются вопросы синтеза радиолокационных измерителей при гауссовом распределении, измеряемой величины Этот случай весьма интересен, но не всеобъемлющ. Поэтому привлекают внимание результаты, полученные при иных предположениях о статистике а также при ограниченном знании статистики. В классе полностью заданных априорных распределений кроме гауссова случая в литературе рассматривался случай синтеза при марковских параметрах, которого мы касались в § 6.5. При ограниченных априорных знаниях исследования крайне малочисленны (см., например, [62]). Ниже даны некоторые результаты по синтезу измерителей при марковском параметре и ограниченном знании статистики параметра, обобщающие и пополняющие известные работы. Результаты решения с ограниченной статистикой далеки до завершения и могут служить лишь основой для дальнейших исследований.

6.9.1. Оптимальный измеритель Марковского параметра

Переходя к синтезу измерителя марковского параметра, можно было бы составить его априорное распределение для всех моментов наблюдения и, умножив на гауссову аппроксимацию функции правдоподобия (6.6.3), найти условное математическое ожидание. Более удобными, однако, будут методы, основанные на результатах п. 6.5.6.

Начнем со случая дискретного наблюдения (или некогерентного импульсного сигнала), когда допустимо пользоваться соотношением (6.5.24). В предположении малой апостериорной неточности аппроксимируем апостериорную плотность вероятности значения в момент гауссовой кривой

где апостериорная дисперсия в момент; точка максимума апостериорной вероятности, согласно результатам п. 6.5.3 и 6.5.6 совпадающая с текущей оптимальной оценкой.

Гауссову аппроксимацию возьмем и для функции правдоподобия

где аналогично (6.6.4) произведено разложение в текущей точке максимального правдоподобия а

— дисперсия ошибки замера.

Наконец, будем считать параметр марковским процессом диффузионного типа, для которого на небольших временных интервалах функция перехода выражается гауссовой кривой

где определяется через коэффициенты сноса и диффузии в виде

и имеют физический смысл систематического смещения и дисперсии случайного изменения параметра за интервал между соседними замерами. Ввиду малой апостериорной неточности функции и мало меняются в пределах ширины апостериорного пика, так что можно полагать и

Существенным отличием от случая гауссова параметра является то, что гауссово приближение для функции перехода справедливо лишь при малых интервалах между моментами уточнения значений и что дисперсия и среднее значение даже в гауссовом приближении зависят от конкретного значения измеряемой величины. Подставляя в этих условиях (6.9.1), (6.9.2) и (6.9.4) в (6.5.24), производя интегрирование и приравнивая коэффициенты при различных степенях в логарифмах правой и левой частей, получаем

Как показывает (6.9.6), оценка образуется весовым сложением оценки, упрежденной на шаг с помощью слагаемого а и результата вновь произведенного замера Веса определяются для первого слагаемого априорной дисперсией в момент, увеличенной на дисперсию ожидаемого изменения параметра, а для второго слагаемого — дисперсией замера. Согласно (9.6.7) сумма этих весов определяет дисперсию апостериорного распределения на шаге. Мы намеренно не делали различия между дисперсией, вычисляемой согласно (6.9.6), (6.9.7) и истинной апостериорной

дисперсией, ибо при оптимальной процедуре измерения они с высокой точностью совпадают. При этом можно полагать з где истинное значение параметра.

Осталось лишь пояснить появление перед выражением для дисперсии измерения на предыдущем шаге множителя где

— частная производная от экстраполированного к моменту значения параметра по значению параметра в момент. Множитель этот нужен потому, что систематическое изменение параметра зависит от X, и в зависимости от своего значения внутри пика апостериорной вероятности параметр получит разное среднее приращение за интервал экстраполяции. Изменение дисперсии упрежденного значения пропорционально дисперсии на предыдущем шаге. Дисперсия возрастает, если большей координате соответствует (алгебраически) большая скорость, ибо это ведет ко все возрастающему рассеянию и наоборот. Формально мы пересчитываем приращение в приращение с помощью частной производной (6.9.8).

Теперь аналогично (6.6.3) произведем разложение функции правдоподобия в упрежденной на шаг точке оценки проведения замера никакого более удачного приближения к значению параметра не существует]:

Здесь

— выходной сигнал оптимального дискриминатора, а

снова дисперсия замера, практически совпадающая с (6.9.3). Подставляя (6.9.1), (6.9.4), (6.9.5) и (6.9.9) в (6.5.24) и производя выкладки, имеем

где дается соотношением (6.9.7). Алгоритм образования оценки в данном случае еще проще: к упрежденному значению добавляется выходной сигнал дискриминатора с весом, равным текущей апостериорной дисперсии. Чем точнее сглаженные данные, тем меньше используется новая информация в среднем пропорциональная текущему рассогласованию.

В обоих рассмотренных случаях схемы образования оценки просты и обладают тем удобным качеством, что на очередном шаге кроме результата нового единичного замера необходимо знать лишь две величины, хранимые в памяти с предыдущего замера: прежний сглаженный результат и его дисперсию. На каждом шаге операции измерения проводятся по единообразным рекуррентным формулам. Это является следствием предположения, что измеряемый параметр является марковским процессом первого порядка.

Рассмотрим, как изменяются приведенные выше соотношения при переходе к непрерывному наблюдению. Вспоминая определение выходного сигнала оптимального «непрерывного дискриминатора (6.6.26), с учетом (6.9.4) можем переписать (6.9.12) в виде

откуда после перехода к пределу при

Учитывая соотношение (6.9.4) и то, что можно аналогично преобразовать и (6.9.7):

Первые слагаемые в (6.9.13) и (6.9.14) являются априорно известными компонентами скорости изменения соответственно параметра и дисперсии его случайной составляющей. Вторые слагаемые здесь отражают влияние на оценку и ее дисперсию вновь приходящих данных. Заметим, что в (6.9.14) первое слагаемое всегда положительно, а второе — отрицательно.

Рис. 6.42. Замкнутый оптимальный измеритель для марковского параметра: 1 — дискриминатор; 2 — блок точности; 3, 7, 9 — умножители; 4, 12 — сумматоры; 5, 10, 11 — нелинейные преобразователи; 6, 13 — интеграторы; 8 — квадратор.

Режим с постоянной (или близкой к постоянной) дисперсией наступает при приближенном равенстве двух этих слагаемых, ибо третье слагаемое обычно влияет мало. Тогда вновь приходящие данные приблизительно компенсируют уменьшение точности за счет изменения параметра.

Совокупность соотношений (6.9.13) и (6.9.14) моделируется блок-схемой рис. 6.42. Входная реализация подается на дискриминатор 1 и блок точности 2, функции которых уже пояснялись. Сглаживание производится довольно сложными цепями, в которых можно выделить две основные группы элементов (разделены пунктиром).

Первая группа сглаживает оценку и состоит из умножителя 3, сумматора 4, нелинейного преобразователя 5 с характеристикой и интегратора 6, непосредственно осуществляющего накопление. Вторая группа сглаживает

Меру апостериорной дисперсии и состоит из умножителей 7, 9, квадратора 8, нелинейных преобразователей 10, 11 с характеристиками сумматора 12 и интегратора 13. Вторая группа выполняет вспомогательную роль управления коэффициентом усиления в 3 при сглаживании оценки. Измеренное значение подается на 1 и 2 для поддержания селекции.

Рис. 6.43. Незамкнутый оптимальный измеритель для марковского параметра: 1 — блок оценки; 2 — вычитающее устройство; 3, 4, 8, 10 — умножители; 5, 13 — сумматоры; 6, 11, 12 — нелинейные преобразователи; 7, 14 — интеграторы; 9 — квадратор.

Как видим, в отличие от гауссового параметра, цепи сглаживания нелинейны, но общая идея сглаживания в замкнутой петле здесь сохраняется.

Переход к непрерывному случаю в соотношении (6.9.6) приведет к уравнению

Операции, определяемые (6.9.13) и (6.9.15), можно осуществить блок-схемой рис. 6.43. Нелинейный блок оценки 1 выдает оценку максимального правдоподобия Дальнейшие цепи снова распадаются на две группы. Первая, предназначенная для сглаживания оценки, состоит из вычитающего устройства 2, двух умножителей 3, 4, сумматора 5, нелинейного преобразователя 6 и интегратора 7. Блок 3 регулирует усиление в петле

сглаживания с учетом текущей неравноточности замеров, беря с большим весом отрезки реализации с высоким уровнем сигнала. Блок 4, как и в схеме рис. 6.42, уменьшает усиление по мере увеличения результирующей точности. Во всем прочем эта группа элементов, как и вторая группа, сглаживающая апостериорную дисперсию, повторяет часть схемы рис. 6.42. Важно лишь отметить, что замыкание измерителя по блоку оценки не производится. Это снова позволяет называть такой вариант измерителя незамкнутым.

Сопоставляя (6.9.15) и (6.9.14) с (6.5.35) и учитывая, что согласно определениям с интересом убеждаемся в совпадении этих уравнений. Хотя мы и не пользовались диффузионными уравнениями, уравнения для характеристик апостериорного распределения при непрерывном наблюдении получились те же, что и в работах Стратоновича (16, 17], в силу использования тех же аппроксимаций.

Можно было бы продолжитъ здесь исследование и рассмотреть параметр в виде марковского процесса порядка. Однако это ведет к проблеме, настолько сходной с измерением нескольких марковских параметров, что лучше отложить ее исследование до гл. 12.