§ 6.6. МЕТОДЫ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНЫХ ИЗМЕРИТЕЛЕЙ ПРИ ГАУССОВОЙ СТАТИСТИКЕ ПАРАМЕТРА. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ТОЧНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЯ

6.6.1. Свойства функции правдоподобия и ее аппроксимации

На время предположим, что измеряемый параметр X постоянен. Тогда в случае гауссовых шумов, как

показано в [4, 12], функция правдоподобия одного параметра монотонно зависит от суммы функции автокорреляции полезной компоненты смеси и некоторой случайной функции, причем обе функции имеют аргументом измеряемый параметр. Для иллюстрации рассмотрим функцию правдоподобия временной задержки регулярного сигнала принимаемого на фоне белого шума со спектральной плотностью Функция правдоподобия имеет здесь вид

где наблюдаемая реализация; временная задержка; -константа, не зависящая от

После подстановки в (6.6.1) вида реализации

где истинное (неизвестное) значение задержки, можно выделить члены, явно зависящие от

Первое слагаемое под знаком экспоненты — автокорреляционная функция по параметру зависящая от разности второе — шумовое возмущение, реализации которого «сигналоподобны» и стационарны относительно [4]. Аналогичные зависимости имеют место и в более сложных случаях [12]. При гауссовых входных шумах автокорреляционная функция оказывается в

показателе экспоненты. Экспонента подчеркивает вершину пика функции автокорреляции и делает круче спады. Это и ведет к приближенно гауссовой кривой функции правдоподобия в условиях гладкой вершины функции автокорреляции, малого уровня ее боковых выбросов, о которых говорилось в гл. 1, и малого уровня помех (рис. 6.10).

По мере увеличения времени наблюдения среднее значение показателя экспоненты увеличивается. В итоге пик суживается, а разброс его местоположения относительно истинного значения уменьшается. Это объясняется тем, что характеризует усредненный по всем наблюдениям результат, в котором случайные возмущения в некоторой степени компенсируют друг друга.

Рис. 6.10. Функция правдоподобия постоянного параметра и ее аппроксимации: X — значение оптимальной оценки; максимально правдоподобное значение; истинное значение параметра; 1 — истинная зависимость; 2 — гауссова аппроксимация.

Если обратиться теперь к случаю параметра, изменяющегося во времени по произвольному закону, то в общем случае о виде функции правдоподобия можно будет сказать лишь немногое.

Вообще говоря, эта функция будет многомерной, а при переходе к непрерывному наблюдению — функционалом, и должна рассматриваться в пространстве значений параметра, имеющих место в отдельные моменты наблюдения. Вновь производимые замеры, при

постоянном параметре формировавшие сужающийся пик, будут при переменном параметре давать результаты, зависящие как от конкретно выпавшего значения флюктуационного возмущения, так и от закона изменения параметра.

Иногда возможно, правда, выбором нового параметра, являющегося функцией (функционалом) от старого параметра (например, скорости, амплитуды Фурье-гармоники и т. п. прийти к случаю постоянного параметра. Однако такие случаи являются скорее исключениями и основой для анализа служить не могут.

Между тем, в некоторых предположениях, оговоренных ниже, найденный при постоянном измеряемом параметре вид функции правдоподобия позволяет качественно определить вид этой функции при переменном параметре и на этой основе найти удовлетворительную форму ее приближенного представления.

На практике обычно наиболее интересны случаи достаточно качественной работы измерителей, когда шумы не слишком велики конечно, и не слишком малы, иначе задача оптимизации теряет свою остроту). При этом условии ошибки измерения будут малы и апостериорное распределение будет узким по сравнению с априорным.

Часто скорость изменения измеряемого параметра очень мала по сравнению с быстротой изменения всех других случайных переменных в наблюдаемой смеси, которые не подлежат измерению и по которым осуществимо усреднение при нахождении явного вида функции правдоподобия (далее мы будем их называть несущественными параметрами).

Выберем отрезки времени, значительно большие интервала статистической связи наиболее медленных из несущественных параметров входного сигнала но значительно меньшие интервала изменения При выполнении указанных условий логарифм функции правдоподобия как функция замороженного на этих отрезках значения параметра возле основного пика может быть аппроксимирован тогда своим квадратическим разложением относительно любой точки, заведомо близкой к значению измеряемой величины. В отличие от случая постоянного параметра пик функции правдоподобия в каждом подынтервале имеет конечную ширину, случайно зависящую от и закодированной функции

Вид функции правдоподобия на подынтервалах иллюстрируется рис. 6.11.

Рис. 6.11. Функция правдоподобия переменного параметра на плоскости измеряемый параметр — время.

Многомерная функция правдоподобия на всем интервале наблюдения при этом аппроксимируется произведением функций правдоподобия, полученных на отдельных подынтервалах, из-за статистической независимости флюктуаций несущественных параметров. Учитывая все сказанное и придерживаясь пока случаев дискретных выборок, можем записать основную многомерную аппроксимацию в виде

где — произвольная функция, рассматриваемая в моменты наблюдения и по предположению близкая к истинному значению изменяющегося параметра.

Аппроксимацию типа (6.6.2) используют в теории оценок [см. формулу (6.5.13)] для нахождения операций образования оценки и доказательства асимптотической эффективности оценок максимального правдоподобия. При этом доказана асимптотическая сходимость квадратического разложения к его истинному значению.

Распространение такого разложения на случай переменного параметра, вообще говоря, следовало бы строго обосновать. Однако в настоящее время достаточно удовлетворительного прямого решения этой задачи не существует. Поэтому мы отложим обоснование применяемого представления функции правдоподобия до исследования точности получаемых оптимальных схем. При этом исследовании будет показано, что точность измерителей, синтезируемых с помощью указанного разложения функции правдоподобия, практически совпадает с максимально возможной (потенциальной) точностью, что и доказывает справедливость этого разложения.

В дальнейшем нам понадобятся два конкретных разложения типа (6.6.2). Первое проводится в точке оптимальной оценки параметра (смысл оптимальности будет пояснен ниже). Обозначая

и вводя матричную запись с вектор-столбцами

и квадратной матрицей имеем вместо (6.6.2)

Второе разложение проводится в точке максимального значения и имеет вид

Точка текущего положения максимума правдоподобия в общем случае не совпадает с точкой оптимальной оценки Действительно, согласно § 6.5 последняя является точкой максимума апостериорной вероятности, вычисляемой на основании всего интервала наблюдения, так что и соотносятся как результат мгновенного замера и выходная сглаженная величина.

Член с первой производной в (6.6.4) отброшен как равный нулю, а матрица А определена через производные в точке к:

Соотношения (6.6.3) и (6.6.4) будут ниже использоваться при синтезе основных схем оптимальных измерителей. Для наглядности на рис. 6.10 дается одномерная иллюстрация этих разложений.

Предположим, что мы все же захотели более тонко учесть структуру функции правдоподобия. Она выражается в наличии сторонних выбросов, определяемых как боковыми выбросами функции автокорреляции сигнала (см. гл. I), так и чисто шумовыми выбросами, которые в силу свойств функции правдоподобия по структуре "сигналоподобны". Поскольку экспонента всегда подчеркивает максимумы и подавляет минимумы функции, являющейся ее аргументом, то и для этих пиков можно предложить гауссову аппроксимацию. Боковые выбросы функции автокорреляции сигнала жестко связаны по положению с основным пиком.

для них можно предложить две локальные аппроксимации, аналогичные (6.6.3) и (6.6.4):

Здесь известное смещение середины выброса от центра основного пика; по-прежнему оценочное значение измеренное положение максимума;

а матрицы состоят из значений вторых производных от взятых для соотношений (6.6.6) и (6.6.7) соответственно в точках Свойства величин могут быть исследованы для каждого конкретного вида совершенно так же, как и свойства величин из (6.6.3) и (6.6.4).

Если же обратиться к анализу сторонних шумовых выбросов, то для них подходит, по-видимому, лишь аппроксимация (6.6.7), но свойства функций будут здесь иными. Выражение (6.6.6) неприменимо, так как положение шумовых выбросов не связано с истинным значением

Аппроксимации (6.6.6) и (6.6.7) будут использованы ниже для углубленного изучения структуры оптимальных измерителей.