6.7.2. Гауссовы когерентные сигналы в гауссовых шумах

Вначале рассмотрим тот простой случай, когда носитель параметра — единственный сигнал, принимаемый на фоне нормального белого шума

Здесь несущая частота; случайные амплитудная и фазовая модуляции, распределенные соответственно по релеевскому и равномерному закону, так что являются стационарными нормальными независимыми случайными процессами с функцией корреляции Далее, - регулярные модуляции, зависящие от измеряемой величины в (6.7.17) введен комплексный коэффициент модуляции

отражающий сразу обе функции и . Функция корреляции смеси согласно гл. 1 имеет вид

где

Согласно формуле (6.5.1) для построения функционала правдоподобия нормального процесса необходимо найти функцию обратную корреляционной, т. е. удовлетворяющую уравнению

где интегрирование проводится на элементарном интервале о котором шла речь в § 6.6.

Подобно тому, как это делалось в гл. отыскиваем в виде

откуда для вспомогательной функции находим уравнение

В качестве первого примера решения уравнения (6.7.22) рассмотрим сигнал без амплитудной модуляции, когда Тогда ввиду того, что интервал интегрирования превышает интервал корреляции флюктуаций сигнала, определяемый функцией можно полагать пределы интегрирования в (6.7.22) бесконечными и отыскивать решение в виде Метод преобразований Фурье в этих условиях дает

Здесь в качестве условия нормиров положено так что функцию корреляции флюктуаций сигнала необходимо нормировать в виде

где средняя мощность сигнала.

Далее, преобразование Фурье от нормированный спектр флюктуаций, связанный с шириной этого спектра соотношением

Наконец, введенная в (6.7.23) величина является отношением сигнал/шум, встречающимся ранее в теории оптимального приема когерентного флюктуирующего сигнала.

Другим интересным примером решения уравнения (6.7.22), по существу сводящемуся к первому, является случай быстрой амплитудной модуляции. Если ограничиться видами модуляции с постоянным периодом то это эквивалентно условию большого превышения интервала корреляции сигнала над периодом Иначе говоря, множество соседних посылок флюктуирует дружно. Тогда можно разбить интеграл в (6.7.22) на сумму интегралов по отдельным периодам, вынося постоянные в периоде множители

При интегрировании по отдельным периодам учтем условие нормировки

являющееся обобщением прежней нормировки на случай наличия модуляции. Переходя затем в (6.7.26) к интегралу в исходных пределах, в качестве решения уравнения (6.7.22) снова имеем соотношение (6.7.23).

Перейдем теперь к выражению (1.4.5) для производной от логарифма функции правдоподобия нормального процесса взятой по произвольному параметру Используя (6.7.21) и (6.7.23) и считая

А независящим от X, имеем

Чтобы осуществить переход к операции дискриминатора, согласно соотношению (6.6.36) необходимо представить (6.7.28) в виде однократного интеграла по интервалу наблюдения. Для этого достаточно допустить, что существует такая функция для которой

или, в частотном представлении, что выполняется соотношение

где преобразование Фурье от

Подстановка соотношения (6.7.29) в (6.7.28) дает возможность перейти к операции дискриминатора:

Рис. 6.29. Оптимальный дискриминатор для флюктуирующего когерентного сигнала (низкочастотный вариант): 1 — квадратурные смесители; 2 — укгилюгели с переменным, усилением; 3 — линейные низкочастотные фильтры; 4 — перемножители; 5 — сумматор; 6 — фазовращатель на

Операция, представленная соотношением (6.7.31), иллюстрируется рис. 6.29. Входной сигнал поступает на два квадратурных смесителя, в одном из которых умножается на синусоидальное колебание ожидаемой частоты модулированной по фазе законом фазовой (частотной) модуляции со значением параметра, равным измеренному, а во втором смесителе — на

косинусоидальное колебание ожидаемой частоты с той же модуляцией. Далее происходит умножение выходных сигналов смесителей на функции, отражающие ожидаемый вид амплитудной модуляции, производной от амплитудной модуляции и производной от фазовой модуляции по параметру К (см. рис. 6.29) все при том же измеренном значении Проводится фильтрация полученных сигналов в низкочастотных линейных фильтрах с импульсной реакцией удовлетворяющей соотношению (6.7.29) или (6.7.30). Далее полученные сигналы взаимно перемножаются в перемножительных устройствах, после чего все выходные сигналы поступают на сумматор, завершающий схему дискриминатора.

Хотя приведенная схема сложна, можно легко объяснить работу всех ее элементов. Входные смесители и умножители являются элементами так называемой корреляционной обработки, под которой обычно понимают умножение на сигнал ожидаемого вида с последующим накоплением того или иного типа. Наличие синусноко-синусных каналов объясняется флюктуациями фазы сигнала, делающими невозможным предсказать ее конкретное значение. В любом случае сигнал коррелирует (полностью или частично) с гетеродинными сигналами, находящимися в квадратурном сдвиге друг относительно друга, что и позволяет сформировать выходной сигнал устройства.

В соответствующей схеме оптимального приемника было бы достаточно далее иметь лишь элементы умножения на функцию амплитудной модуляции, в случае импульсного сигнала технически выполняемые в виде стробируемых каскадов. В схеме же дискриминатора дополнительно необходимо использовать производные по параметру от амплитудной и фазовой (частотной) модуляции, взятые при измеренном значении параметра Полезный сигнал появляется на выходе усилителей с законом усиления в виде производных лишь в том случае, когда имеется рассогласование между измеренным и истинным значениями К. При этом величина сигнала на выходе этих усилителей по знаку и величине соответствует разности если эта разность невелика.

Далее по схеме следуют линейные фильтры, импульсная реакция которых определяется спектром флюктуаций сигнала и отношением сигнал/шум. Они осуществляют накопление на интервалах времени, которые при низком уровне сигнала равны интервалу корреляции, а при увеличении сигнала несколько уменьшаются. Перемножение сигналов, несущих информацию о рассогласовании на сигналы, несущие лишь информацию об амплитуде сигнала, производится, чтобы подчеркнуть выбросы сигнала и максимально отсеять шумы. Оконечное сложение помогает скомпенсировать фазовые флюктуации, и объединяет эффекты, вызываемые отклонениями от в каналах, чувствительных соответственно к амплитудной и фазовой модуляции.

Физическая реализуемость операций (6.7.31), неочевидная ввиду бесконечных верхних пределов интегрирования, поясняется так же, как и в п. 6.7.1. Дело в том, что на оптимальный фильтр накладывается лишь условие (6.7.30) относительно квадрата модуля его частотной характеристики, фазовая же характеристика может выбираться произвольной, если, конечно, при этом не возникает запаздывания, сравнимого с интервалом изменения Поэтому первым способом нахождения является факторизация функции т. е. ее разложение на сомножители, имеющие нули и полюсы соответственно в верхней и нижней полуплоскостях комплексной переменной со. Тогда один из сомножителей даст искомую физически реализуемую частотную характеристику. При дробно-рациональной спектральной плотности флюктуаций сигнала такая возможность, как указывалось в § 6.5, всегда существует.

Вторым способом является непосредственное определение оригинала Фурье от функции что даст физически нереализуемую импульсную реакцию, и введение далее согласно методу п. 6.7.1 временного запаздывания на интервал, сравнимый с длительностью этой реакции. По-видимому, можно предложить и иные способы. Все они эквивалентны по результатам и дают фильтры с приблизительно одинаковой полосой пропускания.

Приведенная «низкочастотная» интерпретация операций дискриминатора не является единственно возможной.

Рис. 6.30. Оптимальный дискриминатор для флюктуирующего когерентного сигнала (высокочастотный вариант) : 1 - квадратурные смесители; 2 — усилители с переменным усилением; 3 — линенные полосовые фильтры; 4 — перемножители; 5 — сумматор; 6 — фазовращатель на

Другим возможным вариантом является перенос операций фильтрации на некоторую промежуточную частоту, позволяющий уменьшить число каналов при обработке (см. гл. 4 т. I):

Обработка согласно (6.7.32) должна вестись по схеме рис. 6.30. На входе схемы устанавливаются два смесителя, на которые подаются гетеродинные напряжения с квадратурным сдвигом фазы и ожидаемой фазовой модуляцией. Ввиду несовпадения средней частоты

гетеродинных сигналов с несущей частотой одновременно со "свертыванием" фазовой (частотной) модуляции смесители осуществляют перенос спектра сигнала на промежуточную частоту Далее сигналы подаются на усилители с переменным усилением. Законы изменения усиления в них равны соответственно определяются видом регулярной модуляции сигнала. Смесители совместно с управляемыми усилителями осуществляют корреляционную обработку. По схеме рис. 6.30 происходит объединение выходов усилителей в два канала. Обработка в обоих каналах ведется одинаковыми полосовыми фильтрами, настроенными на промежуточную частоту и являющимися высокочастотными эквивалентами низкочастотных оптимальных фильтров. Естественно, что частотный сдвиг гетеродинного напряжения, как и номинал промежуточной частоты, которому этот сдвиг равен, является произвольным и никак не вытекает из теории. При переходе к (6.7.32) преследовалась цель практического удобства выполнения операций, причем подразумевалось то обстоятельство, что после смешения в дальнейшей фильтрации не участвует «зеркальный» сигнал.

В результате полосовой фильтрации в канале, связанном с усилителями, закон усиления которых определяется производными от модулирующих функций, образуется напряжение, по амплитуде пропорциональное текущему рассогласованию а по фазе соответствующее знаку этой разности. На выходе другого фильтра напряжение мало зависит от и образует как бы опорный сигнал, перемножение с которым разностного сигнала, осуществляемое в фазовом детекторе, завершает операции дискриминатора. В итоге формируется низкочастотное напряжение в среднем пропорциональное при малых значениях этой величины.

Перейдем к характеристике точности дискриминатора. Ввиду стационарности флюктуаций сигнала точность характеризуется постоянной величиной В самом общем случае нормального случайного процесса дифференцированием логарифма функции правдоподобия и усреднением можно показать, что выражается

непосредственно через функцию корреляции сигнала и ей обратную в виде

где пределы при постоянном можно устремить в силу указанных ранее причин.

Подставляя в (6.7.33) функции и из (6.7.19) и (6.7.21), получаем

Соотношение (6.7.34) справедливо в весьма общем случае. Если же на функцию X) наложены некоторые ограничения, то справедлива удобная формула, имеющая более скромные границы применимости:

где

Естественно, что при периодической модуляции предельные переходы в (6.7.34) и (6.7.36) заменяются усреднением по одному периоду модуляции.

Обсудим формулу (6.7.35). Она содержит два сомножителя, первый из которых целиком определяется видом регулярной модуляции, а другой только видом спектральной плотности флюктуаций сигнала и отношением сигнал/шум А. Иначе говоря, определяется видом кодировки X в сигнале, а энергетическими свойствами последнего. Поэтому детальное обсуждение можно отложить до последующих глав. Для же полезно указать предельные значения. При очень больших А имеем

при очень малых А

где постоянная, значение которой заключено между единицей (при быстроспадающем спектре (при медленноспадающем спектре).

Таким образом, монотонно зависит от отношения сигнал/шум А и пропорционально ширине спектра флюктуаций сигнала

Предположенное выше условие неизменности функции корреляции в пределах периода модуляции не всегда соблюдается на практике. Отдельные периоды могут быть коррелированы слабо. Сферу применимости развиваемых методов можно значительно расширить, если предполагать, что модуляция носит импульсный характер при достаточно высокой скважности, так что вместо берется

где комплексный закон модуляции в отдельном периоде.

Корреляцию флюктуаций сигнала, разделенных периодом повторения, будем считать произвольной, но в пределах длительности каждой импульсной посылки (или пачки) будет полагать функцию корреляции и ей обратную функцию постоянными, так что, например,

Как и ранее, остается в силе условие, в соответствии с которым на интервале корреляции сигнала измеряемый параметр не меняется. Функция корреляции смеси сигнала с шумом имеет вид

Функцию обратную к функции корреляции на интервале А, включающем много периодов повторения и интервалов корреляции сигнала, находим в виде

Это дает уравнение для

Учитывая условие большой скважности, можно произвести интегрирование по после чего разумно дискретизировать уравнение (6.7.43), т. е. искать его решение в дискретных точках, совпадающих с моментами действия импульсов, так как только в этих точках оно будет сказываться на виде

окончательного решения (6.7.42). Это дает дискретный аналог уравнения (6.7.22):

где предполагается, что энергия посылок от времени не зависит и выполняется условие (6.7.27). Устремляя пределы суммирования в (6.7.44) к бесконечности и отыскивая решение в виде легко разрешить (6.7.44) методом дискретного преобразования Фурье:

Здесь

— отношение сигнал/шум, аналогичное и переходящее в при поскольку при этом

- безразмерная частота, связанная с обычной частотой и периодом повторения соотношением

далее,

— дискретные изображения Фурье функции корреляции и обратной функции, а

— нормированный дискретный спектр.

Произведем разложение аналогично в (6.7.29):

где некоторая функция дискретного аргумента с изображением Фурье

Тогда, рассматривая для простоты случай, когда отношение сигнал/шум не зависит от параметра Я, имеем дискретный аналог соотношения (6.7.31):

Обработка сигнала согласно (6.7.50) явно распадается на внутрипериодную и межпериодную части. Енутрипериодная обработка полностью повторяет первую корреляционную часть обработки на рис. 6.29. Далее вместо НЧ фильтров должны следовать интеграторы со сбросом, накапливающие сигналы внутри каждого периода. Результаты накопления в дискретной форме сглаживаются дискретными линейными фильтрами, осуществляющими накопление на интервале флюктуаций сигнала. Технически схему, начиная с этих фильтров, можно представить себе в виде специализированной цифровой электронной машины. Дальнейшая обработка, состоящая в перемножении результатов фильтрации и сложении друг с другом, в точности повторяет операции рис. 6.29.

Как и ранее, допустим перенос операций (6.7.49) на промежуточную частоту. Это ведет к соотношению, аналогичному (6.7.32):

где огибающая импульсной реакции в дискретные моменты удовлетворяет условию (6.7.48), а в остальные моменты внутри периода произвольна. Блок-схема, описывающая соотношение (6.7.51), просто повторяет схему рис. 6.30.

Укажем, что хотя операции (6.7.50), (6.7.51) и разбиваются на внутри- и межпериодные, межпериодная обработка указанного вида не может быть перенесена на выход дискриминатора, поскольку фазовое детектирование (перемножение) на выходе является операцией, сугубо нелинейной по отношению к

Для характеристики точности измерения К в тех же условиях, что и в случае (6.7.35), имеем выражение

где множитель имеет прежнее значение (6.7.36), а равно

Как и множитель из (6.7.37), монотонно зависит от отношения сигнал/шум В том крайнем случае, когда корреляционная связь между посылками очень велика, область значений где функция заметно отличается от нуля, значительно меньше интервала Поэтому, учитывая соотношение (6.7.46), а также то, что и устремляя к бесконечности пределы интегрирования в (6.7.53), замечаем, что это соотношение переходит в (6.7.37). Другой крайний случай полного отсутствия корреляции будет подробно рассмотрен в следующем пункте.

Выше рассматривался случай одной входной смеси сигнала с шумом Попытаемся обобщить предыдущие результаты на случай многих входных смесей каждая из которых может содержать целый ряд компонент в общем случае с различными видами модуляции и корреляционными свойствами. Примером подобной совокупности смесей являются выходы многоэлементной антенной системы, в каждом из которых заключены сигналы, отраженные от множе ства целей и излученные помеховыми источниками.

При этом несущие частоты у всех компонент смеси, могут быть различными. Вводится некоторая средняя частота а фазовые модуляции X) содержат линейно нарастающие во времени члены вида отражающие различия частот отдельных компонент

Пусть 1-я смесь имеет вид

Введем сложную околодиагональную матрицу коэффициентов модуляции диагональным элементом которой является столбец где Дополнительно введем сложный столбец элементом-подстолбцом которого является столбец из комплексных элементов

отражающих случайные модуляции. Тогда вся совокупность смесей (6.8.62) может быть представлена в матричной форме

где простые вектор-столбцы порядка составленные из значений функции Корреляционную матрицу всего набора смесей (6.7.55) получаем в виде

где

— сложная матрица-функция порядка с элементами подматрицами причем является функцией взаимной корреляции стационарных случайных процессов и Матрица в (6.7.56) является матрицей спектральных плотностей белых шумов, не обязательно диагональной, так как белые шумы в каналах могут быть взаимосвязанными. Функционал правдоподобия

всей совокупности смеси имеет вид, аналогичный таковому в одномерном случае:

где — матрица, обратная , т. е. удовлетворяющая уравнению

Будем искать в виде, являющемся многомерным обобщением (6.7.21):

Тогда из соотношений (6.7.56), (6.7.58) и (6.7.59) приходим к следующему интегрально-матричному уравнению для матрицы-функции структурно подобной

Здесь сложная матрица, характер зависимости которой от определяется видом регулярной модуляции всех компонент смеси, причем не только амплитудной, но и фазовой (частотной) модуляции. Сопоставление уравнений (6.7.60) и (6.7.21) показывает полнейшую их аналогию, откуда вытекают те же случаи решений, что и в одномерном варианте.

Полагая, в частности, законы модуляции всех отдельных компонент смеси быстро меняющимися, можно усреднить по времени под знаком интеграла, введя постоянную матрицу

Тогда преобразование Фурье выразится в виде

где преобразование Фурье матрицы-функции

В предположении, что энергетические характеристики сигналов не зависят от X, операцию дискриминатора можно записать в следующем виде, обобщающем формулу (6.7.32):

Здесь коэффициент пропорциональности; результат корреляционной обработки смеси с целью выделения из нее компоненты сигнала, а огибающие импульсных реакций и выбираются физически реализуемыми согласно правилам, указанным выше, и так, чтобы выполнялось

где элемент сложной матрицы определяемой соотношением (6.7.62).

Примеры оптимальной обработки нескольких входных сигналов будут приведены в последующих главах, и ввиду сложности общего случая (6.7.63) описание схемы дискриминатора мы здесь опускаем.

Для величины в самом общем случае совокупности нормальных процессов с корреляционной

матрицей и ей обратной имеет место формула, аналогичная (6.7.33):

где означает след матрицы.

В рассматриваемом случае эта формула с учетом соотношений (6.7.56) и (6.7.59) ведет к выражению, обобщающему (6.7.34):

где

— матрицы, структурно подобные матрице Если существуют пределы

то с учетом (6.7.62) соотношение (6.7.66) упрощается

Рассмотрим простой пример. Пусть каждая смесь содержит лишь по одной сигнальной компоненте с мощностью причем эти компоненты полностью

коррелированы, а белые шумы независимы, так что элементы матриц имеют вид

где единые ширина спектра флюктуаций сигналов и спектральная плотность белых шумов.

В, этом простом случае удобно ввести вектор-столбец в результате чего можно выразить матрицу спектральных плотностей сигналов в виде

Матрицы здесь диагональные. При этом состоит из элементов поскольку в силу (6.7.70) необходимо полагать, что для всех видов регулярной модуляции выполняется нормировка

а диагональные элементы содержат элементы

Отыскивая в этих условиях матрицу в виде имеем

где

Окончательно по формуле (6.7.69) с учетом соотношений (6.7.71) получим

Здесь

а множитель

повторяет из соотношения (6.7.37) с заменой отношения сигнал/шум на величину К, даваемую формулой (6.7.72).

Согласно (6.7.73) и (6.7.74) общий вид величины К остается тем же, что и в случае одной входной смеси, но во множителе определяемом кодировкой в регулярных модуляциях смеси, произведено взвешенное усреднение аналогичных коэффициентов для отдельных смесей с учетом мощностей сигналов, а в множителе появляется новое отношение сигнал/шум,

которое ввиду полной корреляции полезных сигналов в отдельных смесях пропорционально отношению суммарной мощности этих сигналов к спектральной плотности шума в одном канале. Это свидетельствует о том, что потенциальная точность не зависит от того, на сколько каналов с одинаковыми уровнями шумов будет разделена полная мощность сигнала, если считать последнюю постоянной. С таким же успехом могут быть рассмотрены и более сложные примеры.

Обратная матрица может быть эффективно найдена также при импульсных сигналах. Случай некоррелированных импульсов мы рассмотрим в п. 6.7.3.

Представление входных смесей в виде (6.7.54) имее? широкую область применения. В частности, в качестве отдельных компонент могут рассматриваться коррелированные немодулированные помехи, которых мы касались в п. 6.7.1. Если же коррелированные помехи имеют сложный вид модуляции, который нельзя представить в виде (6.7.54) (например, пассивные помехи), то нахождение матриц-функций обратных функциям корреляции, усложняется. Здесь могут помочь методы, развитые в гл. 4 применительно к задачам обнаружения.

Все приведенные в настоящем пункте результаты на многочисленных примерах будут проиллюстрированы в последующих главах.