10.16.1. Оптимальная схема неследящего угломера с АМС

Рассмотрение мы начнем с метода АМС. При этом методе принимается пара сигналов вида (10.3.3), где определяются формулой (10.2.5). Функции корреляции этих сигналов даются выражением (10.3.7). Если интервал наблюдения сигналов есть то функционал распределения вероятностей этих сигналов имеет вид (10.3.8) [с учетом (10.3.10) и (10.3.11)] Чтобы этот функционал был полностью определен, нам необходимо найти матрицу обратно-корреляционных функций, решив для этого уравнения (10.3.10). Решение опять можно искать в виде (10.3.14), и для получим уравнение (10.3.15), которое (при одинаковых шумах) можно переписать в виде

В дальнейшем диаграммы будем считать одинаковыми и введем аппроксимацию, уже использовавшуюся в предыдущем параграфе:

где ширина диаграммы направленности по уровню половинной мощности.

Будем также предполагать, что Диграммы пересекаются на уровне половинной мощности. При этом (10.16.1) принимает следующий вид:

где суммарная принятая мощность.

Как видно из (10.16.3), функция от а зависеть не будет.

Составляем теперь уравнение максимального правдоподобия для измерения параметра а. Рассчитывая по формуле (10.3.11) легко убедиться, что Поэтому уравнение максимального правдоподобия принимает вид

Подставляя в (10.16.4) выражение (10.3.14), можно уравнение (10.16.4) преобразовать к довольно простому виду и разрешить его в явной форме.

Опуская простые выкладки, приведем окончательный результат

В это выражение мы должны подставить функцию найденную из уравнения (10.16.3).

Рассмотрим сначала случай быстрых флюктуаций сигнала, когда время корреляции флюктуаций значительно меньше Как легко видеть, уравнение (10.16.3) в этом случае тождественно уравнению (10.3.17), и для получим решение (10.3.18). Подставляя (10.3.18) в выражение (10.16.5), оптимальную операцию измерения можем представить в следующем виде:

где импульсная реакция оптимального фильтра определяется соотношением (10.3.23) [амплитудно-частотная характеристика фильтра дается формулой (10.3.25)]. Выражение (10.16.6) легко может быть преобразовано к действительной форме [аналогично переходу от (10.3.24) к (10.3.29)],

Полная блок-схема оптимального неследящего измерителя, использующего АМС, может быть представлена в виде, изображенном на рис. 10.42. Опишем кратко работу этой схемы. Сигналы с выходов антенн сначала гетеродинир ются (подразумевается, что гетеродинное напряжение имеет соответствующую амплитудную модуляцию), затем фильтруются оптимальными фильтрами с частотной характеристикой (10.3.25), детектируются квадратичными детекторами и вычитаются.

Рис. 10.42. Оптимальная схема неследящего измерителя с АМС при быстрых флюктуациях сигнала: 1 — оптимальные фильтры с частотной характеристикой ; 2 - квадратичные детекторы; 3 — интеграторы; 4 — делящее устройство; 5 — нелинейное устройство; 6 — сглаживающие цепи.

Разность интегрируется и поступает на вход делящего устройства (делимое). На второй вход делящего устройства (делитель) поступает проинтегрированный результат перемножения сигналов с выходов оптимальных фильтров (фазовое детектирование) Результат деления поступает на безынерционное устройство с нелинейной характеристикой (у — выходная, входная величины).

Выходной сигнал нелинейного элемента, умноженный на ширина диаграммы направленности), поступает на сглаживающие цепи. Оптимальные сглаживающие цепи, как было показано в § 6.6, представляют собой линейный фильтр с импульсной реакцией (6.6.53).

Рассмотрим вопрос о точности измерения углов в синтезированной схеме.

Прежде всего исследуем точность блока оценки. В об случае при наличии в схеме блока оценки уклонений от оптимальности его точность рассчитать весьма трудно. Однако для оптимальной схемы точность легко

может быть найдена. Можно показать, что операция, выполняемая блоком оценки, дает асимптотически эффективную оценку угловой координаты при больших значениях где полоса флюктуаций сигнала; время наблюдения. Дисперсия эффективной оценки, как известно, выражается формулой

где - функция правдоподобия.

Подставляя в (10.16.7) выражение (10.3.8), получаем

(подобные преобразования мы уже проделывали в § 10.3 при вычислении минимально возможной эквивалентной спектральной плотности, которая пропорциональна дисперсии эффективной оценки). Выражения (10.3.7), (10.3.14) и (10.3.18) подставим в (10.16.8), тогда

где отношение мощности сигнала к мощности шума в полосе флюктуаций сигнала; спектр флюктуаций сигнала.

Таким образом, дисперсия эффективной оценки падает с ростом А (обратно пропорциональная зависимость). Существенно отметить, что найденная дисперсия не зависит от угла а, т. е. точность измерения угловой координаты не зависит от положения цели в рассматриваемом секторе.

Исследованием выражения (10.16.9) мы заниматься не будем, так как оно с точностью до коэффициентов пропорциональности совпадает с выражением (10.6.5), подробно изученным в § 10.6. Укажем лишь на порядок ошибки: при получим

Докажем теперь асимптотическую эффективность оценки, выдаваемой блоком оценки. Как известно, оценка параметра близка к эффективной, если

т. е. если среднеквадратическое значение уклонений величины от ее среднего значения пренебрежимо мало (см. [8, 13]). Как легко показать, для совокупности нормальных сигналов типа (10.3.7) имеем

Подставляя в (10.16.11) выражения (10.3.7), (10.3.14) и (10.3.18) [вместо и используя аппроксимацию (10.16.2), получаем

Откуда

Отношение интегралов имеет порядок [при прямоугольной аппроксимации отношение равно

Таким образом, отношение (10.16.13) имеет порядок и стремится к при возрастании сравнению со временем корреляции флюктуаций). Отсюда следует, что при больших оценка максимума правдоподобия становится эффективной и операция обеспечивает измерение с минимально возможной ошибкой, даваемой формулой (10.16.9).

Ошибка угломера после сглаживания легко может быть найдена при любых линейных сглаживающих цепях. Действительно, в силу асимптотической эффективности оценки, выдаваемой блоком оценки, сигнал на выходе этого блока будет равен сумме истинного значения угловой координаты и белого шума со спектральной плотностью где длительность отрезка сигнала, обрабатываемого в блоке оценки. Величина как видно из (10.16.9), не зависит от и совпадает с величиной встречающейся при изучении следящих угломеров. Отсюда следует, что следящий и неследящий угломеры при идеальном построении радиотрактов и одинаковой структуре сглаживающих цепей (в случае следящего измерителя имеется в виду структура замкнутой системы) будут давать одинаковую точность измерения.

В работах [46, 47] уделялось также значительное внимание случаю медленно флюктуирующего сигнала. Для этого случая синтез измерителей, вообще говоря, не осуществлен. Однако можно ограничиться только синтезом устройства первичной обработки, выдающей оценку угловой координаты за малое время, когда эта координата измениться не успевает.

Для такого синтеза необходимо в выражение (10.16.5), дающее оценку максимального правдоподобия, подставить функцию рассчитанную в тех или иных предположениях о характере флюктуаций сигнала. Пусть за время наблюдения амплитуда и фаза сигнала измениться не успевают (за счет флюктуаций цели). Как показано в гл. 6, уравнение (10.16.3) имеет в этом случае решение

При этом (10.16.5) принимает вид

Блок-схема устройства, реализующего операцию (10.16.15), изображена на рис. 10.43. Она содержит фильтр с огибающей импульсной реакции

Эта схема отличается от предыдущей схемы тем, что основное накопление в блоке оценки происходит сразу после гетеродинирования.

Рис. 10.43. Оптимальная схема радиотракта неследящего измерителя с АМС при медленных флюктуациях сигнала: 1 — фильтр, низкочастотным эквивалентом которого является интегратор со сбросом; 2 — квадратичные детекторы; 3 — делящее устройство; 4 — нелинейный элемент.

Точность схемы рис. 10.43 рассчитать весьма трудно. Можно подсчитать, конечно, дисперсию эффективной оценки для рассматриваемого случая. Подставляя в (10.16.8) выражения (10.3.7), (10.3.14) и (10.16.14), а также используя аппроксимацию (10.16.2) для диаграмм направленности антенн, можно получить

весьма простое выражение для дисперсии эффективной оценки угловой координаты а:

где

- отношение полной энергии принятого сигнала (за время к спектральной плотности шума.

Однако легко убедиться, что оценка максимального правдоподобия в данном случае отличается от эффективной: отношение (10.16.3) в рассматриваемом случае оказывается постоянным и равным 0,36. Следовательно, можно лишь утверждать, что дисперсия ошибки схемы рис. 10.43 не может быть меньше

Чтобы найти точность этой схемы, необходимо непосредственно отыскивать математическое ожидание и дисперсию величины а, даваемой формулой (10.16.15). Мы не будем производить этих вычислений, отметим лишь, что при оценка а а с ростом она убывает пропорционально