§ 13.2. СИНТЕЗ СИСТЕМЫ ОПТИМАЛЬНОГО РАЗДЕЛЕНИЯ СИГНАЛОВ

13.2.1. Решение задачи в общем виде

В соответствии со введенной выше классификацией при синтезе системы оптимального разделения сигналов критерий оптимальности формулируется непосредственно для отклика системы, который должен быть малым

для мешающих по отношению к данному каналу сигналов и большим для полезного (выделяемого) сигнала. Оптимум получается в результате компромисса между этими двумя требованиями. В качестве примеров критериев оптимальности систем разделения сигналов можно указать критерий максимума отношения выходной мощности полезного сигнала к суммарной мощности помехи и мешающих сигналов; критерий минимакса отклика на мешающие сигналы при заданной величине отклика на выделяемый сигнал; критерий максимума отношения сигнал/помеха при полном подавлении мешающих сигналов, наличие которых предполагается возможным, и т. п.

Проведем сначала синтез оптимальной системы в соответствии с последним из перечисленных критериев. Основным преимуществом этого критерия является независимость синтезируемых операций над принятым сигналом от соотношения интенсивностей полезного и мешающего сигналов, которое в реальных условиях обычно неизвестно. В дальнейшем мы рассмотрим результаты синтеза, основанного на критерии безусловного максимума отношения сигнал/(помеха + мешающие сигналы), и покажем, что при больших по сравнению с единицей отношениях сигнал/помеха результаты синтеза, основанного на применении обоих критериев, совпадают между собой и, во многих случаях, с результатами, получаемыми методами теории статистических решений. Существенное различие этих результатов имеет место лишь при весьма больших перекрытиях разрешаемых сигналов, когда для принятия каких-либо достоверных решений относительно отдельных целей из наблюдаемой совокупности требуется столь большое увеличение мощности полезного сигнала по сравнению со случаем отсутствия мешающих сигналов, что для многих типичных радиолокационных задач это эквивалентно невозможности разрешения при данных параметрах сигнала (ширине спектра модуляции, размерах раскрыва, времени наблюдения).

При решении задачи синтеза будем считать систему разделения сигналов линейной (что весьма естественно, поскольку мы хотим подавлять сумму мешающих сигналов с неизвестными коэффициентами) и ограничимся рассмотрением таких времен разделения сигналов, на которых флюктуационные изменения этих сигналов являются пренебрежимо малыми.

Это ограничение не является существенным, поскольку разделение сигналов по параметрам модуляции, зависящим от дальностей и угловых координат, целесообразно осуществлять в каждом периоде модуляции, который обычно мал по сравнению с временем корреляции флюктуаций.

Перейдем к решению поставленной задачи при наложенных ограничениях. Математически эту задачу можно сформулировать следующим образом. Пусть в многомерной области задана система случайных сигналов вида где параметр, принимающий значения в области независимые случайные комплексные коэффициенты, не зависящие от Для каждого из сигналов введем функцию корреляции

Функции предполагаются комплексными и такими, что

при всех Выделим среди введенных сигналов полезный сигнал и сигналы подлежащие подавлению (мешающие сигналы). Пусть в той же области задана помеха с функцией корреляции Требуется найти такой опорный сигнал чтобы отношение сигнал/помеха

было максимальным при условии

где область изменения параметров мешающих целей, сигналы которых требуется подавить.

Очевидно, без нарушения общности можно считать

Выполнение этого условия обеспечивается выбором постоянного множителя при При этом задача сводится к минимизации квадратичного функционала

при условиях (13.2.3) и (13.2.4). Чтобы решить эту задачу, не переходя к рассмотрению вещественной и мнимой частей следует добавить к (13.2.3) и (13.2.4) комплексно сопряженные условия.

Рассмотрим случай, когда состоит из дискретных точек . В соответствии с известным методом Лагранжа задача минимизации функционала при рассматриваемых дополнительных условиях эквивалентна задаче нахождения абсолютного минимума функционала

где определяются из условий (13.2.3), (13.2.4) и сопряженных им соответственно.

Приравнивая нулю первые вариации (13.2.6) по и находим и

Умножая обе части (13.2.7) на функцию определяемую уравнением

и интегрируя по получаем

Подставляя это выражение в (13.2.3), (13.2.4), легко видеть, что коэффициенты есть элементы первой строки (с нулевым индексом) матрицы, обратной матрице причем

Очевидно представляет собой обобщенный аналог функции автокорреляции зондирующего сигнала. Подставляя (13.2.9) в (13.2.2), получаем отношение сигнал/помеха при оптимальном разделении сигналов

Если полезный и мешающие сигналы различаются настолько сильно, что при то

Отношение

характеризует проигрыш в отношении сигнал/помеха, являющийся платой за разделение. Можно разделить в принципе сколь угодно близкие сигналы, если только имеется достаточный запас мощности полезного сигнала.

Легко убедиться, что проигрыш увеличивается (точнее не уменьшается) при увеличении числа сигналов, которые требуется подавить. Пусть к рассматриваемой совокупности добавлен один сигнал. В соответствии

со свойством элементов обратных матриц, уже использованным в гл. 4 т. I [см. (4.9.20)], имеем

где индекс вверху означает порядок матрицы. Из (13.2.13) получаем

так как как и эрмитовская матрица.

Из (13.2.14) следует, что ибо в силу положительной определенности функций

Выше мы не затрагивали вопроса о выборе параметров подавляемых сигналов. В тех случаях, когда параметры имеющихся целей известны точно, либо задано априорное распределение для этих параметров, естественно приравнять параметрам мешающих целей либо воспользоваться принципом наименьшего риска в той или иной форме. В случае отсутствия априорных данных, встречающемся наиболее часто, естественно воспользоваться минимаксным принципом, придавая параметрам подавляемых сигналов те значения, при

которых эти сигналы представляют наибольшую опасность для выполнения радиолокатором его функций.

В частности, можно совмещать подавляемые сигналы с координатами побочных максимумов функции неопределенности При этом из-за того, что в опорном сигнале будут присутствовать сигналы с параметрами появятся дополнительные побочные максимумы возле, каждой точки Эти максимумы отклика будут иметь величину порядка квадрата исходных максимумов. Если получающееся ослабление побочных максимумов будет признано недостаточным, можно повторить всю процедуру, совмещая и с основными, и с дополнительными максимумами и т. д.

В некоторых случаях описанная процедура приводит к полной ликвидации побочных максимумов отклика. Так получается, в частности, для фазо-кодовой манипуляции [см. п. 13.2.2].

Для ряда задач представляется более оправданным рассмотрение континуума параметров подавляемых сигналов, т. е. случая, когда область введенная в связи с формулой (13.2.3), не предполагается состоящей из дискретных точек. Этот случай получается из рассмотренного предельным переходом при стремлении расстояний между точками к нулю, а числа точек к бесконечности. В результате соотношение (13.2.9) заменяется на

причем определяются уравнением

Можно несколько упростить эти формулы. Определяя из (13.2.16) при получаем

Подставив это выражение в (13.2.16) при имеем

Проигрыш в отношении сигнал/помеха по-прежнему определяется формулой (13.2.12), куда вместо следует подставлять определяемое из (13.2.17). В результате имеем

Таким образом, решение задачи разделения сигналов для рассматриваемого случая сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма первого рода (13.2.18).

В некоторых случаях проигрыш в отношении сигнал/помеха, связанный с полным подавлением выбранных мешающих сигналов, может оказаться недопустимо большим и даже бесконечным. В этих случаях целесообразно использовать частичное подавление сигналов. Соответствующие операции проще всего находятся из условия максимума отношения мощности полезного сигнала к сумме мощностей помехи и выбранных мешающих сигналов при заданных интенспвностях мешающих сигналов на входе системы.

Мы приведем здесь лишь результат решения задачи в такой постановке, поскольку метод решения не отличается от рассмотренного. Опорный сигнал в этом случае по-прежнему записывается в виде (13.2.9), но матрица заменяется на обратную к где энергия сигнала.

Формула для отношения сигнал/помеха с учетом всех мешающих сигналов имеет вид

В § 13.3 будет показано, что оптимальная обработка сигнала при использовании такого критерия совпадает с оптимальной обработкой в задаче обнаружения выделяемого сигнала на фоне помехи и мешающих сигналов.

Легко видеть, что при больших значениях отношения сигнал/помеха для всех рассматриваемых сигналов на входе системы операции частичного и полного подавления сигналов, а также отношения сигнал/помеха на выходе совпадают. В качестве подтверждающего примера рассмотрим простейший случай одной мешающей цели.

Рис. 13.1. Зависимость проигрыша в отношении сигнал/помеха при замене частичного разделения сигналов полным.

В этом случае из формул (13.2.11) и (13.2.20) получим: при полном подавлении мешающего сигнала

при частичном подавлении мешающего сигнала

где отношение сигнал/помеха для полезного и мешающего сигналов без подавления;

На рис. 13.1 приведена зависимость отношения величин (13.2.22) и (13.2.21) от при различных характеризующая проигрыш в отношении сигнал/помеха за счет использования полного разделения вместо частичного. Задаваясь допустимым значением проигрыша можно найти у. при котором проигрыш начинает превышать допустимый

Введя плотность интенсивности мешающих сигналов и перейдя к пределу при и интервале между сигналами, стремящемся к нулю, можно получить соответствующие формулы для континуума мешающих целей. При этом задача совпадает с той, которая рассматривалась в § 4.11 т. 1 в связи с селекцией сигнала на фоне пассивных помех.