6.5.2. Применение теории решений к задачам измерений

В гл. 3 была приведена сводка общих положений теории решений. Здесь будут повторены некоторые положения, имеющие прямое отношение к задачам измерения. Напомним, что объектом оптимальной обработки (вынесения решения) является смесь сигналов с шумами на входе, статистические сведения о которой задаются функцией правдоподобия

где — вся совокупность наблюденных значений смеси, совокупность измеряемых величин.

В том случае, когда наблюдается одна смесь в моменты под у следует понимать вектор-столбец

Если при этом, например, подчиняется нормальному распределению, то функция правдоподобия запись!

Вается в виде соотношения (1.3.2), которое легко обобщается на случай многих входных смесей:

Здесь введена матричная запись, знак означает транспонирование;

— блочный вектор-столбец выборочных значений с элементами в виде простых столбцов составленных из значений всех смесей в момент времени; а — аналогичный вектор-столбец средних значений; сложная корреляционная матрица с элементами-подматрицами состоящими из значений функции взаимной корреляции смесей в моменты соответственно; матрица, обратная

При всем этом матрицы могут зависеть от параметров X входных смесей.

Для непрерывных реализаций как указывалось выше, удобно перейти к функционалам плотности вероятностей Иногда к функциональному пределу удобнее перейти уже в конце анализа, при трактовке получаемых операций.

На основании наблюденной реализации радиолокационное устройство выбирает решение к из возможной совокупности решений. В задачах измерения пространство решений ("оценок") по структуре подобно пространству возможных значений измеряемых величин, что станет очевидным несколько ниже. Поскольку функционально не зависит от X (хотя статистически и зависит от X

через статистическая природа наблюдаемой смеси (смесей) ведет к возможности случайных ошибок. Для оценки значимости ("цены") допускаемых ошибок решения вводится функция потерь зависящая от параметров сигнала, заключенного в смеси, и принимаемых оценок. Чем больше соответствует истине принятое решение, тем меньше значение Качество устройства определяют средним по всем реализациям у значением функции потерь

называемым функцией условного риска, поскольку эта функция определяется при условии заданного значения k. Как следует из § 6.1, измеряемые параметры сигнала тоже разумно считать случайными величинами и задать для них априорное распределение Тогда вводится еще функция среднего риска

являющаяся усреднением условного риска по априорному распределению параметров. Оптимальную операцию оценки находят из условия минимума среднего или условного риска при произвольно выбранной функции потерь. Радиотехническая трактовка операций оптимальной оценки раскрывает структуру оптимального радиолокационного измерителя.

Если априорное распределение задано, и оптимальный измеритель находится минимизацией среднего риска то оценка называется байесовой. В ином случае приходится отыскивать так называемую минимаксную оценку. Она минимизирует (по всем правилам оценки) максимальное по всем возможным значениям параметра значение условного риска. Случаи, когда не задано никаких ограничений на значение параметра, весьма редки, и обычно следует искать минимаксную оценку при некоторых ограничениях, статистических и нестатистических.

В основном далее попользуются байесйвы методы синтеза, однако в § 6.9 некоторое внимание будет уделено и минимаксным методам.

Свойства теории статистических решений таковы, что в «ее можно ввести некоторые априорные предположения о структуре синтезируемого устройства, начав синтез с некоторой точки схемы. Однако можно и не вводить никаких предположений, рассматривая в качестве входной величины сигнал на выходе антенного устройства или даже электромагнитное поле в его раокрыве [52]. Очевидно, последние случаи наиболее интересны и в наибольшей степени характеризуют достоинства теории решений. Хронологически, однако, раньше были предложены такие решения проблемы измерения, когда ряд элементов схемы измерителя предполагался заданным, а теория решений применялась для частичного синтеза.

Так, в 50-х годах был развит метод синтеза оптимальных измерителей на базе ветви теории статистических решений — теории оценок [10, 11]. Предполагалось, что измеряемый параметр движения цели, закодированный во входном сигнале, неизменен о течение некоторого времени наблюдения. Исходя из полных статистических сведений о смеси сигнала с помехами находилась оптимальная схема для определения неизвестного параметра за это фиксированное время. Такая методика полностью применима, например, для пеленгаторов, определяющих угловое положение за небольшой интервал времени.

Если же обратиться к общему случаю измерения изменяющихся координат, то теория оценок, предполагающая неизменность параметров во времени, строго говоря, не может быть применена. Это не исключает, однако, некоторых компромиссных решений проблемы, заключающихся в том, что мы задаемся общей идеей построения измерителя в том виде, который известен на практике, считая сглаживающие цепи линейными. При этом постулируется, что дискриминатор должен выдавать оценку текущего рассогласования между истинным и измеренным значениями отслеживаемого параметра на отрезках времени, в течение которых эти рассогласования почти не меняются. В таком плане удалось использовать идеи и методы теории оценок для синтеза дискриминаторов в измерителях интересующего нас класса.

В отношении частичного синтеза сглаживающих цепей в предположении линейности дискриминатора не измеряемой величине применяется теория оптимальной линейной фильтрации, но с новой идейной основой. Оказалось, что при аддитивной смеси измеряемой величины и помехи с гауссовыми распределениями каждой из них винеровские фильтры являются абсолютно оптимальными, т. е. не существует класса операторов, выполняющих эту задачу успешнее. К сожалению, сформулированные условия настолько ограничительны, что на практике в чистом виде почти не встречаются. Поэтому ясно, что теория фильтрации должна быть как-то адаптирована для нелинейных задач.

Следовательно, все изложенные методы частичного синтеза, даже проведенного на базе теории решений, оставляли сомнение в правильности выбора общей идеи построения измерителей. Желателен полный синтез, исходящий лишь из статистических сведений о сигналах и параметрах. В предположениях марковских и гауссовых параметров эту задачу удалось решить в работах [16— 18, 25, 60]. К этим результатам мы перейдем несколько ниже.

Здесь же сделаем ряд замечаний, одновременно показывающих и перспективность аппарата теории решений и его ограничения, которые, наверняка, будут преодолены при дальнейшем развитии теории.

Существенным ограничением теории решений является необходимость наличия достаточного количества статистических сведений о сигнале и параметре. Это обстоятельство привело некоторых авторов к пессимистическому заключению, что теория решений просто переносит неопределенность при синтезе со структуры схемы на статистические свойства входных сигналов. Однако в защиту теории решений можно повторить все аргументы § 6.1 по вопросу статистического характера измерений. На практике какие-то статистические сведения или физические соображения о них всегда имеются. Для дальнейшего укрепления позиций теории решений актуально всесторонне исследовать критичность синтезируемых схем по отношению к закладываемой в них статистике и найти классы оптимальных операций, обеспечивающие для заданного класса статистик качества, которые ниже оптимальных не более, чем на заданное количество.

Интересны также вопросы оптимизации при ограниченных статистических сведениях.

С вопросом априоризма в статистических сведениях связаны еще классы помех на входе измерителя. В ряде случаев, особенно где возможны организованные помехи, нельзя решить заранее, каковы будут точные статистические характеристики входных сигналов. Поэтому разумно рассматривать построение оптимального измерителя, в первую очередь его дискриминатора, с двух сторон.

1) Более прост синтез оптимального измерителя в расчете на те помехи, которые присутствуют всегда (например, внутренние шумы) или с высокой вероятностью (например, хаотические отражения) и влияние которых с помощью рационального выбора вида сигнала и построения схемы можно ослабить. Здесь можно полагать статистические сведения о смеси сигнала с помехами полностью заданными, считая, возможно, неизвестными несколько параметров помехи.

2) Несколько сложнее защита от помех, которые могут появиться лишь с малой вероятностью или с вероятностью, которую невозможно оценить. К помехам такого рода отнесем и те, защиту от которых при заданных характеристиках радиолокационной системы не могут обеспечить даже оптимальные методы построения приемника, но в принципе такая защита все же может быть найдена на пути изменения других параметров системы обработки сигналов (например, общего построения устройств вторичной обработки при наличии активной помехи). Неразумно синтезировать оптимальный приемник (измеритель) в предположении наличия всех подобных помех. Это удалило бы нас от оптимума для случая смеси сигнала с помехами первой группы, не говоря уже о необычайном усложнении приемника. Поэтому наиболее целесообразным является синтез автоматов для индикации помех второй группы с целью резкого изменения параметров системы обработки сигналов по команде, выдаваемой автоматом.

Видоизмененный вариант также следует синтезировать, по возможности основываясь на статистических сведениях о данном виде помех. На этом пути получено пока немного результатов, если иметь в виду сложные виды помех.

Изменение параметров приемника в процессе работы в принципе уже является самонастройкой схемы измерителя в соответствии с характером принятого сигнала. В настоящее время проблемам анализа и синтеза автоматических систем с самонастройкой (правда, несколько иного типа) уделяется самое широкое внимание [3]. Однако в наших приложениях, поскольку мы интересуемся проблемой измерения при полном задании статистических сведений, оптимальные схемы получаются без априорного привлечения идей самонастройки.

Иногда схемы оптимальных измерителей содержат элементы самонастройки, в иных случаях их нет, однако метод синтеза всегда гарантирует абсолютную оптимальность схемы при сохранении неизменными исходных данных. Если в распределении вероятностей смеси начать считать неизвестным какой-либо дополнительный параметр, но задать для него свое распределение вероятностей, то принцип синтеза и качество работы схемы не изменится от того, будем ли мы трактовать измерение дополнительного параметра как самонастройку или нет. Таким образом, априорное введение идей самонастройки скорее всего окажется полезным при неполном знании или изменении статистических свойств смеси сигнала, помех и параметра.

К измерителям возможен также теоретико-игровой подход. В настоящее время теорию решений иногда включают в теорию статистических игр, рассматривая ее как тот частный случай, когда «игра» ведется против «неразумного противника», поведение которого в статистическом смысле известно заранее. Если же противник разумен и старается изменить вид помехи так, чтобы привести к наибольшей ошибке измерения, и имеется возможность изменять характеристики измерителя для постоянного сохранения его оптимальности, то наблюдается невырожденная теоретико-игровая ситуация, которая весьма интересна для практических приложений. К сожалению, в этом направлении сделаны лишь первые шаги.

Все сказанное говорит о том, что аппарат теории решений вполне современен и в настоящее время является мощным средством решения проблемы синтеза радиолокационных измерителей.