§ 6.3. ВОПРОСЫ СРЫВА СЛЕЖЕНИЯ

Мы провели анализ следящих измерителей при воздействии на них малых шумов и помех, когда ошибки измерения невелики и для характеристики дискриминатора справедливо линейное приближение, введенное в предыдущем параграфе. Однако при больших шумах и помехах ошибка измерения становится сравнимой с шириной линейного участка дискриминационной характеристики

или даже превышает ее. Это, во-первых, приводит к недостаточности линейного приближения при расчете точности как из-за нелинейности дискриминационной, так и из-за сложного вида флюктуационной характеристик. Во-вторых, при этом резко возрастает вероятность срыва слежения (сбоя), при котором рассогласование превышает ширину дискриминационной кривой и полезный сигнал вообще перестает действовать на дискриминатор.

Исследование нелинейных явлений в следящих измерителях, имеющих место при интенсивных помехах, составляет содержание настоящего параграфа. Оказывается, что подходящим математическим аппаратом для анализа в данном случае являются диффузионные и связанные с ними дифференциальные уравнения, получающиеся при изучении марковских случайных процессов. Поэтому для облегчения понимания проводимого анализа приведем в п. 6.3.1 некоторые сведения из теории марковских процессов и дифференциальных уравнений, описывающих их статистические свойства.

6.3.1. Марковские случайные процессы и связанные с ними дифференциальные уравнения

Аппарат марковских процессов имеет широкую область применений и в последнее время начинает широко использоваться в теоретической радиотехнике [20], являясь наилучшим средством исследования свойств нелинейных элементов радиотрактов, флюктуаций в ламповых генераторах,и т. п. Марковским называют случайный процесс для которого условная плотность вероятности удовлетворяет соотношению

т. е. зависит функционально лишь от значения процесса в один предшествующий момент времени. Условную плотность вероятности называют плотностью вероятности перехода из состояния в момент в состояние в момент Она имеет основное значение в теории марковских процессов, так

как через нее выражаются -мерные плотности вероятности:

где -одномерное распределение.

В общей теории доказывается [20], что при достаточно широких условиях функция подчиняется двум дифференциальным уравнениям в частных производных (уравнениям Фоккера — Планка — Колмогорова). Если дифференцирование проводится по конечным значениям то уравнение называется прямым и записывается в виде

если же дифференцируется по начальным значениям уравнение называется обратным и имеет вид

Функции и называют коэффициентами сноса и диффузии соответственно.

Способ нахождения этих коэффициентов вытекает из другого положения теории [20]. Пусть функция подчиняется обыкновенному дифференциальному уравнению

где функции широкого класса; флюктуационное воздействие с широким спектром, которое можно аппроксимировать белым шумом с единичной спектральной плотностью [функция корреляции равна ].

Тогда является марковским процессом, плотность вероятности перехода которого подчиняется уравнениям (6.3.3), (6.3.4) с коэффициентами

Углубленное математическое рассмотрение показывает наличие в коэффициенте сноса дополнительного слагаемого [20]. Однако, исходя из физического смысла процессов, происходящих в измерителях, которые нас ниже будут интересовать, это слагаемое не следует учитывать. Объяснением этого является уже отмечавшееся в § 6.2 обстоятельство, что дискриминатор имеет инерционность или запаздывание, не меньшее интервала корреляции того флюктуационного напряжения на его выходе, которое аппроксимируется белым шумом. В результате не происходит мгновенного возвращения по цепи обратной связи флюктуационных возмущений, которые могли коррелировать с флюктуациями в дискриминаторе и тем самым изменять коэффициент сноса.

Остается объяснить, как перейти к дифференциальному уравнению типа (6.3.5) от получающегося при анализе некоторых измерителей уравнения вида

где время корреляции случайной составляющей в мало то сравнению с эффективной постоянной времени системы. Как показано в (20], для этого следует взять в качестве функции

Уравнение (6.3.5) соответствует пропусканию белого шума через инерционное звено 1-го порядка, нелинейное и с переменным усилением. В дальнейшем мы убедимся, что именно (6.3.5) и связанные с ним уравнения могут быть использованы для исследования нелинейных явлений в "следящих измерителях простейшего вида.

Если динамическая система, находящаяся подвоздействием флюктуаций, имеет более сложный вид, то ее не удается описать с помощью марковского процесса 1-го

порядка, который рассматривался выше. Здесь удобно использовать понятие марковского процесса порядка. Введем векторный случайный процесс компонентами которого являются скалярные случайные процессы Пусть подчиняется системе уравнений

где векторная функция.

Тогда, если времена корреляции случайных составляющих в малы по сравнению с временным масштабом системы в целом, то плотность вероятности перехода процесса от значения в момент в момент подчиняется уравнению

где

В качестве компонент могут с равным успехом приниматься различные взаимосвязанные случайные процессы, случайный процесс и его производные до порядка включительно или значения одного и того же случайного процесса в различные моменты времени

где постоянные величины.

Если определить последним способом, то плотность вероятности перехода

может быть найдена решением уравнения (6.3.9). Это означает, что условная плотность вероятности значений процесса в некоторые моментов времени (и, следовательно, любого одного значения в один момент зависит функционально от значений процесса в предшествующих моментов времени. Такой процесс называется марковским порядка. Нелинейные явления в следящих измерителях, описываемых уравнениями порядка, ведут к необходимости исследования этих процессов и, соответственно, к решению уравнений вида (6.3.9). Учитывая, однако, что такие уравнения при обычно решить не удается, перейдем к более детальному изучению одномерных уравнений.

Решение (6.3.3) раскрывает эволюцию во времени плотности вероятности перехода, которая при начальном условии в виде -функции просто повторяет одномерную плотность вероятности.

В определенных условиях [20] (в первую очередь при независимости и от времени), в конце концов, устанавливается стационарное распределение, которое можно выразить через коэффициенты и приравнивая в (6.3.3) нулю:

где С — нормировочная константа, а интеграл берется неопределенный.

Не менее часты, однако, случаи, когда установившегося распределения не существует или нас интересует сам процесс установления. Тогда необходимо решать полное уравнение (6.3.3), что в общем случае является весьма сложной математической задачей. При этом обычно приходится задаваться так называемыми краевыми условиями.

Если после первого превышения некоторой величины у 1 дальнейшая реализация нас не интересует, то по аналогии с процессом диффузии говорят о наличии в точке «поглощающего экрана». С помощью математического условия

реализации хоть раз коснувшиеся экрана до момента автоматически выбрасываются из рассмотрения после этого момента времени.

Если после подхода к точке любая реализация немедленно возвращается обратно, то говорят о наличии «отражающего экрана». Математическим условием отражения является равенство

Решая уравнение (6.3.3) при этих условиях, можно найти, как изменяется со временем. Однако не всегда интересна полная структура плотности вероятности. Иногда удобно ограничиться более грубыми характеристиками, в качестве которых может рассматриваться в первую очередь дисперсия флюктуационной ошибки, при вычислении которой в отличие от случая § 6.2 должны учитываться нелинейные факторы. Принципиально не представляет, например, труда определить дисперсию стационарного распределения (6.3.10), если оно существует.

Могут быть интересны и вероятностные характеристики несколько иного типа, например среднее время пребывания реализации в заданной области при условии некоторого конкретного начального значения Для среднего времени пребывания как функции от начального условия по уравнению (6.3.4) может быть получено дифференциальное уравнение

для которого на границах области задаются условия

Физический смысл этих условий заключается в том, что реализация, находящаяся рядом с «поглощающим» экраном из-за чисто случайного характера возмущающих факторов немедленно пересечет его, а это эквивалентно нулевому среднему времени пребывания.