6.3.2. Постановка задачи о срыве слежения

Выше уже указывалось, что помехи высокой интенсивности приводят к тому, что линейное приближение

для дискриминационной характеристики становится несправедливым. Рассогласование часто заходит в нелинейную область и может достигать таких величин, при которых полезный сигнал уже не влияет на дискриминатор. При этом происходит срыв слежения. Указанная нелинейность характеристики дискриминатора не является каким-то несовершенством, присущим некоторым конкретным схемам. Далее будет показано, что подобный же вид имеют характеристики оптимальных дискриминаторов. Это обстоятельство повышает ценность исследований нелинейных режимов работы измерителей и, в частности, вопросов срыва слежения.

При нелинейной характеристике дискриминатора процесс, представляющий собой результат измерения, в ряде условий имеет дисперсию, нарастающую во времени. Дело в том, что вероятность выхода из линейного участка всегда отлична от нуля, так что при продолжительном измерении сбой обязательно наступит. При этом измеритель практически становится незамкнутым накопителем шумов, а рассогласование претерпевает случайные изменения, никак не связанные с параметром полезного сигнала. То обстоятельство, что на некотором отрезке времени реализация может быть подобна реализации процесса в линейной системе, не меняет существа дела, ибо нас интересует весь ансамбль реализаций, в том числе те, в которых нелинейные свойства системы уже проявились. Так как с течением времени вероятность сбоя возрастает, то ясно, что дисперсия процесса увеличивается. Она, однако, не является единственно возможной грубой характеристикой. Можно применять и иные виды вероятностных характеристик, причем разумный их выбор зависит от типа и способа использования измерителя.

Прежде чем рассматривать подобные характеристики применительно к явлению срыва слежения, мы сделаем следующие замечания. Из изложенного вытекает, что при соблюдении некоторых условий нелинейные явления в измерителях, в том числе явление срыва слежения, могут изучаться с помощью решения диффузионных уравнений (и уравнений, с ними связанных). В результате и находятся различные статистические характеристики сбоя. Использование диффузионных уравнений основано в данном случае на практической безынерционности

дискриминатора по сравнению со сглаживающими цепями, ибо только при соблюдении этого условия и при применении сглаживающих цепей первого порядка для рассогласования получается уравнение вида (6.3.5), где - белый шум.

В случае малого уровня шумов или помех сформулированное условие не во всех случаях достаточно хорошо выполняется. Однако с ростом помехи, не зависящей от измеряемого параметра (внутренние шумы, помехи и т. д.), масштаб дискриминационной характеристики а сильно уменьшается и коэффициент передачи дискриминатора падает. При этом инерционность замкнутой петли растет. Такая зависимость на примерах будет поясняться в последующих главах. С точки же зрения вопросов сбоя наиболее интересен именно высокий уровень помех. Таким образом, условия применимости диффузионных уравнений заведомо выполняются там, где ввиду нелинейности задачи наиболее целесообразно использовать этот математический аппарат.

Перейдем к статистическим характеристикам, которые целесообразно находить из решения диффузионных уравнений применительно к вопросам сбоя. Предположим, прежде всего, что измеритель является единственным средством селекции и сопровождения сигнала, какие-либо автоматические средства перехода на поиск при нарушении сопровождения отсутствуют, а конечный эффект работы радиолокатора зависит от наличия сопровождения в каждый данный момент времени. Тогда, если отсутствуют какие-либо ограничения на выходные значения измеряемой координаты, естественно в качестве характеристики сбоя принять плотность вероятности рассогласования, которая как функция времени должна находиться из решения диффузионного уравнения без граничных условий.

Чаще, однако, в цепях сглаживания и управления существуют ограничители того или иного типа. При этом явление срыва слежения приводит к следующему. В процессе слежения в некоторый момент времени под воздействием какого-то большого флюктуационного выброса рассогласование становится больше ширины дискриминационной кривой и слежение нарушается. Далее

в течение некоторого случайного интервала времени рассогласование случайно изменяется под воздействием только помехи. При этом, однако, оно остается конечным за счет ограничения и поэтому под воздействием флюктуационных выбросов обратного знака рано или поздно уменьшается до величины, при которой слежение снова возобновляется. Этот процесс далее повторяется, и по прошествии некоторого времени установления его можно считать стационарным. Поэтому если момекты измерения отслеживаемой величины достаточно удалены от начала слежения (время наблюдения велико) и если нас интересует точность измерения при наличии срывов слежения, то в качестве характеристики целесообразно принять дисперсию измерения при Она может быть найдена исходя из стационарного распределения (6.3.10) при идеализации явления ограничения в виде «отражающего экрана» [граничные условия берутся в виде (6.3.12)]. Как показано ниже, с ростом интенсивности помехи эта установившаяся дисперсия нарастает, причем имеет место пороговый эффект, соответствующий резкому увеличению ошибок за счет сбоев при превышении помехой некоторого критического уровня.

В случае, если время наблюдения выходной величины измерителя мало, описанный подход к исследованию явлений сбоя неприемлем. Особый интерес приобретают при этом характеристики первого сбоя после начала слежения, в особенности если учесть, что сбой измерителя одного параметра сигнала обычно приводит к пропаданию сигнала и в измерителях других его параметров. Для того чтобы охарактеризовать первый сбой, мы примем следующее определение. Под сбоем в момент будем понимать превышение величиной рассогласования между истинным и измеренным значениями параметра некоторых фиксированных уровней при условии, что в начальный момент рассогласование было достаточно малым [в пределах ] и до момента всегда находилось в этом интервале. При сглаживающих цепях первого порядка это ведет к краевой задаче для в виде (6.3.3), где на границах задаются условия поглощающих экранов.

Экраны считаются расположенными на границах селектируемой дискриминатором области, сразу за

«скатами» дискриминационной характеристики (рис. 6.5). Эти границы определяются полосой фильтров в частотных дискриминаторах, длительностью стробов во временных импульсных дискриминаторах, шириной диаграммы направленности в угловых дискриминаторах и т. д. Следует заметить, что в выборе координат экранов существует некоторый произвол.

Рис. 6.5. Дискриминационная характеристика и ее аппроксимации: 1 — истинная зависимость: 2 — синусоидальная аппроксимация; 3 — линейная аппроксимация.

Как бы ни выбирались эти координаты, вероятны реализации рассогласования, которые после пересечения экрана почти сразу пересекут его в обратном направлении, и сбоя по существу не будет. Ясно, что подобные явления не учитываются при применении приведенного выше определения сбоя. Поэтому описываемый подход к анализу явлений сбоя приводит лишь к приближенным решениям, позволяющим, однако, выяснить некоторые качественные закономерности.

Непосредственным решением диффузионного уравнения (6.3.3) при граничных условиях (6.3.11) можно найти плотность вероятности рассогласования, по которой легко вычислить вероятность отсутствия сбоя до момента Целесообразнее, однако, пользоваться упрощенной характеристикой сбоя — средним временем до сбоя Этот параметр находится решением уравнения (6.3.13), вытекающего из диффузионного уравнения. Среднее

время до сбоя уменьшается с ростом интенсивности помехи. Так же как и для дисперсии установившегося распределения, здесь существует пороговый эффект, выражающийся в том, что при уменьшении интенсивности помехи и связанной с ней дисперсии ошибки линеаризованной системы при некоторых значениях этих величин начинается резкий рост среднего времени до сбоя. Это дает возможность отыскивать критические значения интенсивностей помех, при которых происходит сбой (в указанном выше смысле).

Непосредственные решения диффузионных уравнений для интересующей нас задачи в условиях высокого уровня помех приведены в работах [21, 22, 23, 24]. Учитывая, однако, целесообразность применения для анализа сбоя критериев установившейся дисперсии и среднего времени до сбоя, приведем решение двух других задач, отмеченных выше. При этом мы рассмотрим общие закономерности, приложения же получаемых решений будут приведены в последующих главах, посвященных исследованию измерителей конкретных параметров радиолокационных сигналов.