Главная > Вопросы статистической теории радиолокации. Том 2
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
842
843
844
845
846
847
848
849
850
851
852
853
854
855
856
857
858
859
860
861
862
863
864
865
866
867
868
869
870
871
872
873
874
875
876
877
878
879
880
881
882
883
884
885
886
887
888
889
890
891
892
893
894
895
896
897
898
899
900
901
902
903
904
905
906
907
908
909
910
911
912
913
914
915
916
917
918
919
920
921
922
923
924
925
926
927
928
929
930
931
932
933
934
935
936
937
938
939
940
941
942
943
944
945
946
947
948
949
950
951
952
953
954
955
956
957
958
959
960
961
962
963
964
965
966
967
968
969
970
971
972
973
974
975
976
977
978
979
980
981
982
983
984
985
986
987
988
989
990
991
992
993
994
995
996
997
998
999
1000
1001
1002
1003
1004
1005
1006
1007
1008
1009
1010
1011
1012
1013
1014
1015
1016
1017
1018
1019
1020
1021
1022
1023
1024
1025
1026
1027
1028
1029
1030
1031
1032
1033
1034
1035
1036
1037
1038
1039
1040
1041
1042
1043
1044
1045
1046
1047
1048
1049
1050
1051
1052
1053
1054
1055
1056
1057
1058
1059
1060
1061
1062
1063
1064
1065
1066
1067
1068
1069
1070
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

13.5.2. Оценки максимального правдоподобия многомерных параметров и их асимптотическая эффективность. Общие свойства оптимального дискриминатора

Предположим, что в поле зрения радиолокатора попадает целей. Тогда сигнал, принимаемый

радиолокатором, может быть записан в виде

где нормальный белый шум со спектральной плотностью — нормальный случайный процесс с функцией корреляции, зависящей от неизвестного параметра

Здесь средняя мощность; коэффициент корреляции флюктуаций; комплексный закон модуляции сигнала:

Индекс в этих выражениях учитывает возможную зависимость и от других параметров, кроме Будем полагать, что периодические (с периодом функции и что интервал корреляции флюктуаций [эффективная ширина функции много больше периода Вместе с тем этот интервал будем считать много меньшим времени в течение которого параметр постоянен:

Дополнительно предположим, что различные отраженные сигналы статистически независимы, поэтому функции взаимной корреляции их флюктуаций равны:

где символ Кронекера.

Сформулированные предположения обычны и естественны. Новым элементом здесь является условие независимости флюктуаций различных целей, что практически всегда выполнено.

Введем обозначение

где функции корреляции модуляций сигналов, отраженных от различных целей. Эти функции с теми или иными небольшими видоизменениями, определяемыми существом вопроса, в связи с которым они вводились в рассмотрение, фигурировали и раньше. Так, например, в гл. были введены функции Со являющиеся частным случаем функций (13.5.6), когда сигналы от различных целей отличаются задержками и допплеровскими частотными сдвигами. Функции корреляции сигналов вводились уже в § 13.2 настоящей главы [см. (13.2.10)]. Но для наших дальнейших целей наиболее подходящим является определение (13.5.6). Отметим, что, как правило, от индекса не зависит. Будем считать функции нормированными так, что

Перейдем к вычислению оценок максимального правдоподобия параметров и изучению их свойств. Здесь нам в первую очередь необходимо получить выражение для функционала правдоподобия параметров которое для более общего случая было найдено в § 13.3. Повторим кратко расчеты этого параграфа применительно к рассматриваемому нами случаю.

Функция корреляции сигнала равна

Функцию ищем в виде

где неизвестные функции, которые мы считаем медленно изменяющимися по сравнению с

Подставляя выражения (13.5.7) и (13.5.8) в интегральное уравнение для функции

и учитывая быстропеременность функций по сравнению с можно для функций получить систему интегральных уравнений

В случае быстрофлюктуирующего сигнала, когда эффективная длительность пиков функций значительно меньше времени можно считать, что и для преобразований Фурье функций получить систему уравнений

где преобразования Фурье функций и соответственно

Эта система уравнений легко разрешается. Полагая

переписываем систему (13.5.10) в виде

откуда

Таким образом, принципиально функция найдена. Правда, обращение матрицы в выражении (13.5.11) есть задача сама по себе весьма трудная.

Зная функцию мы имеем возможность изучить свойства оценок максимального правдоподобия параметров Система уравнений максимального правдоподобия имеет вид

Обозначим через совокупность значений параметров, относительно которых известно, что они близки к истинным значениям параметров. В частности, это могут быть истинные значения параметров. Учитывая, что при достаточно большом времени наблюдения решения уравнений (13.5.12) будут достаточно близкими к мы можем уравнения (13.5.12) заменить статистически эквивалентными уравнениями

Для изучения свойств решений этих уравнений первостепенное значение имеет матрица

Будем считать истинными значениями параметров. Найдем среднее значение и дисперсию этой матрицы (понимая под средним значением матрицы матрицу, составленную из средних значений элементов, а под дисперсией матрицы — матрицу, составленную из дисперсий ее элементов). Заметим при этом, что матрица

где матрица дисперсий и взаимных корреляций совместно-эффективных оценок (13.5.2).

Незначительно обобщая результаты гл. настоящей книги), мы можем написать следующее выражение

Отсюда после элементарных преобразований получим

Подставляя в (13.5.14) выражения для и вводя обозначения

легко получить следующее:

Здесь мы воспользовались, во-первых, быстропеременностью функций по сравнению с что позволило под знаками интегралов усреднить выражения с функциями во-вторых, мы использовали то, что функции практически сразу обращаются в при выходе за пределы интервала что позволило интегралы по промежутку от функций заменить интегралами по промежутку

Весьма существенна асимптотическая зависимость от времени имеющая вид

Для нахождения дисперсии воспользуемся соотношением

(соотношение такого типа мы выводили и использовали в гл. 10 настоящей книги). Точное вычисление этого интеграла достаточно громоздко. Для нашей задачи точного знания величины и не требуется, необходимо лишь знать асимптотическую зависимость этой величины от Легко видеть, что вычисляемый интеграл

есть сумма с конечными коэффициентами интегралов типа

и их производных по до второго порядка включительно. Коэффициенты при этих интегралах суть временные средние значения выражений, содержащих быстропеременные функции Далее можно заметить, что имеют место равенства

Отсюда следует, что

Последнее соотношение показывает, что при больших величина по вероятности стремится к своему среднему значению и может быть заменена им. Таким образом, при больших матрица Теперь мы можем разрешить уравнение (13.5.12). Используя (13.5.13), получаем

где элементы матрицы (13.5.2). Отсюда

Из этих равенств и вытекает, по определению, совместная эффективность оценок максимального правдоподобия, имеющая место при быстрофлюктуирующем сигнале и достаточно большом времени наблюдения.

Отметим теперь, что все изложенные результаты легко обобщаются на случай, когда наблюдается не скалярный, а векторный сигнал. С таким случаем мы сталкиваемся, когда радиолокатор имеет многоэлементную антенну. В этом случае мы наблюдаем несколько сигналов, имеющихся на выходах различных элементов антенны. Перечислим кратко те очевидные видоизменения, которые приобретут изложенные выше результаты при рассмотрении этого более общего случая. Сигналы,

принимаемые различными элементами антенны, запишутся в виде

где сигнал от цели на выходе элемента антенны.

Функции корреляции сигналов запишутся в

где комплексная модуляция сигнала, отраженного от цели и принятого элементом антенны. Функция корреляции всего сигнала (13.5.18) будет иметь вид

(мы считаем шумы независимыми). Функция будет теперь равна

где функции будут точно такими же, как и в случае скалярного сигнала, только под нужно теперь понимать

Далее, соотношения (13.5.14) и (13.5.14) заменятся на

(под опять понимаем истинные значения параметров Выражения (13.5.19) и (13.5.20) получаются обобщением результатов гл. 10. Этим фактически и ограничиваются те изменения, которые повлечет за собой векторный характер принимаемого сигнала.

Мы доказали асимптотическую эффективность оценок максимального правдоподобия. На этой основе можно находить системы оптимального разрешения в случае параметров целей не меняющихся во времени. В случае медленно изменяющихся параметров когда интервалы приблизительного постоянства этих параметров велики по сравнению с временами корреляции флюктуаций сигналов, полученные результаты позволяют найти операции оптимального дискриминатора. Действительно, пусть выходная величина канала некоторого измерителя есть Если эта величина близка к истинному значению измеряемого параметра в каждый данный момент времени, то, полагая в получаем

где оценка максимального правдоподобия, полученная за время

Учитывая доказанную выше несмещенность оценки замечаем, что среднее значение равно рассогласованию между истинным значением параметра и выходной величиной измерителя. Если теперь представить в виде

то представляет собой величину, в среднем равную текущему рассогласованию между истинным и измеренным

значениями параметра Учитывая весьма большую инерционность цепей сглаживания, для можно записать статистически эквивалентное выражение

где истинное рассогласование по измеряемой координате; белый шум. То обстоятельство, что дисперсия величины минимальна, свидетельствует о минимальности спектральной плотности шума

Таким образом, в оговоренных выше условиях при любых сглаживающих цепях измерителя оптимальную обработку высокочастотного сигнала осуществляет дискриминатор, образующий совокупность величин Качество его работы характеризуется матрицей спектральных плотностей » причем

Для того чтобы связать с эквивалентным представлением (13.5.23), заметим, что шумы коррелированы, вообще говоря, между собой. Их функции взаимной корреляции имеют вид

Задача синтеза сглаживающих цепей измерителей координат близко расположенных целей должна решаться отдельно. В случае быстрых флюктуаций она имеет меньшее отношение к вопросам разрешения. Заметим, что трудности, связанные с обращением матрицы в выражении (13.5.11), позволяют получить обозримые результаты лишь для случая двух целей. Но измерительные режимы работы радиолокационных устройств происходят обычно при большом отношении сигнал/шум. Поэтому при рассмотрении измерителей координат многих целей вполне естественно и оправдано предположение о большом отношении сигнал/шум. Это предположение, как мы увидим ниже, позволяет получить достаточно простые и физически понятные результаты без ограничения на количество наблюдаемых целей. Случай произвольного отношения сигнал/шум мы рассмотрим на примере двухцелевой задачи.

1
Оглавление
email@scask.ru