13.5.2. Оценки максимального правдоподобия многомерных параметров и их асимптотическая эффективность. Общие свойства оптимального дискриминатора

Предположим, что в поле зрения радиолокатора попадает целей. Тогда сигнал, принимаемый

радиолокатором, может быть записан в виде

где нормальный белый шум со спектральной плотностью — нормальный случайный процесс с функцией корреляции, зависящей от неизвестного параметра

Здесь средняя мощность; — коэффициент корреляции флюктуаций; комплексный закон модуляции сигнала:

Индекс в этих выражениях учитывает возможную зависимость и от других параметров, кроме Будем полагать, что периодические (с периодом функции и что интервал корреляции флюктуаций [эффективная ширина функции много больше периода Вместе с тем этот интервал будем считать много меньшим времени в течение которого параметр постоянен:

Дополнительно предположим, что различные отраженные сигналы статистически независимы, поэтому функции взаимной корреляции их флюктуаций равны:

где символ Кронекера.

Сформулированные предположения обычны и естественны. Новым элементом здесь является условие независимости флюктуаций различных целей, что практически всегда выполнено.

Введем обозначение

где функции корреляции модуляций сигналов, отраженных от различных целей. Эти функции с теми или иными небольшими видоизменениями, определяемыми существом вопроса, в связи с которым они вводились в рассмотрение, фигурировали и раньше. Так, например, в гл. были введены функции Со являющиеся частным случаем функций (13.5.6), когда сигналы от различных целей отличаются задержками и допплеровскими частотными сдвигами. Функции корреляции сигналов вводились уже в § 13.2 настоящей главы [см. (13.2.10)]. Но для наших дальнейших целей наиболее подходящим является определение (13.5.6). Отметим, что, как правило, от индекса не зависит. Будем считать функции нормированными так, что

Перейдем к вычислению оценок максимального правдоподобия параметров и изучению их свойств. Здесь нам в первую очередь необходимо получить выражение для функционала правдоподобия параметров которое для более общего случая было найдено в § 13.3. Повторим кратко расчеты этого параграфа применительно к рассматриваемому нами случаю.

Функция корреляции сигнала равна

Функцию ищем в виде

где неизвестные функции, которые мы считаем медленно изменяющимися по сравнению с

Подставляя выражения (13.5.7) и (13.5.8) в интегральное уравнение для функции

и учитывая быстропеременность функций по сравнению с можно для функций получить систему интегральных уравнений

В случае быстрофлюктуирующего сигнала, когда эффективная длительность пиков функций значительно меньше времени можно считать, что и для преобразований Фурье функций получить систему уравнений

где преобразования Фурье функций и соответственно

Эта система уравнений легко разрешается. Полагая

переписываем систему (13.5.10) в виде

откуда

Таким образом, принципиально функция найдена. Правда, обращение матрицы в выражении (13.5.11) есть задача сама по себе весьма трудная.

Зная функцию мы имеем возможность изучить свойства оценок максимального правдоподобия параметров Система уравнений максимального правдоподобия имеет вид

Обозначим через совокупность значений параметров, относительно которых известно, что они близки к истинным значениям параметров. В частности, это могут быть истинные значения параметров. Учитывая, что при достаточно большом времени наблюдения решения уравнений (13.5.12) будут достаточно близкими к мы можем уравнения (13.5.12) заменить статистически эквивалентными уравнениями

Для изучения свойств решений этих уравнений первостепенное значение имеет матрица

Будем считать истинными значениями параметров. Найдем среднее значение и дисперсию этой матрицы (понимая под средним значением матрицы матрицу, составленную из средних значений элементов, а под дисперсией матрицы — матрицу, составленную из дисперсий ее элементов). Заметим при этом, что матрица

где матрица дисперсий и взаимных корреляций совместно-эффективных оценок (13.5.2).

Незначительно обобщая результаты гл. настоящей книги), мы можем написать следующее выражение

Отсюда после элементарных преобразований получим

Подставляя в (13.5.14) выражения для и вводя обозначения

легко получить следующее:

Здесь мы воспользовались, во-первых, быстропеременностью функций по сравнению с что позволило под знаками интегралов усреднить выражения с функциями во-вторых, мы использовали то, что функции практически сразу обращаются в при выходе за пределы интервала что позволило интегралы по промежутку от функций заменить интегралами по промежутку

Весьма существенна асимптотическая зависимость от времени имеющая вид

Для нахождения дисперсии воспользуемся соотношением

(соотношение такого типа мы выводили и использовали в гл. 10 настоящей книги). Точное вычисление этого интеграла достаточно громоздко. Для нашей задачи точного знания величины и не требуется, необходимо лишь знать асимптотическую зависимость этой величины от Легко видеть, что вычисляемый интеграл

есть сумма с конечными коэффициентами интегралов типа

и их производных по до второго порядка включительно. Коэффициенты при этих интегралах суть временные средние значения выражений, содержащих быстропеременные функции Далее можно заметить, что имеют место равенства

Отсюда следует, что

Последнее соотношение показывает, что при больших величина по вероятности стремится к своему среднему значению и может быть заменена им. Таким образом, при больших матрица Теперь мы можем разрешить уравнение (13.5.12). Используя (13.5.13), получаем

где элементы матрицы (13.5.2). Отсюда

Из этих равенств и вытекает, по определению, совместная эффективность оценок максимального правдоподобия, имеющая место при быстрофлюктуирующем сигнале и достаточно большом времени наблюдения.

Отметим теперь, что все изложенные результаты легко обобщаются на случай, когда наблюдается не скалярный, а векторный сигнал. С таким случаем мы сталкиваемся, когда радиолокатор имеет многоэлементную антенну. В этом случае мы наблюдаем несколько сигналов, имеющихся на выходах различных элементов антенны. Перечислим кратко те очевидные видоизменения, которые приобретут изложенные выше результаты при рассмотрении этого более общего случая. Сигналы,

принимаемые различными элементами антенны, запишутся в виде

где сигнал от цели на выходе элемента антенны.

Функции корреляции сигналов запишутся в

где комплексная модуляция сигнала, отраженного от цели и принятого элементом антенны. Функция корреляции всего сигнала (13.5.18) будет иметь вид

(мы считаем шумы независимыми). Функция будет теперь равна

где функции будут точно такими же, как и в случае скалярного сигнала, только под нужно теперь понимать

Далее, соотношения (13.5.14) и (13.5.14) заменятся на

(под опять понимаем истинные значения параметров Выражения (13.5.19) и (13.5.20) получаются обобщением результатов гл. 10. Этим фактически и ограничиваются те изменения, которые повлечет за собой векторный характер принимаемого сигнала.

Мы доказали асимптотическую эффективность оценок максимального правдоподобия. На этой основе можно находить системы оптимального разрешения в случае параметров целей не меняющихся во времени. В случае медленно изменяющихся параметров когда интервалы приблизительного постоянства этих параметров велики по сравнению с временами корреляции флюктуаций сигналов, полученные результаты позволяют найти операции оптимального дискриминатора. Действительно, пусть выходная величина канала некоторого измерителя есть Если эта величина близка к истинному значению измеряемого параметра в каждый данный момент времени, то, полагая в получаем

где оценка максимального правдоподобия, полученная за время

Учитывая доказанную выше несмещенность оценки замечаем, что среднее значение равно рассогласованию между истинным значением параметра и выходной величиной измерителя. Если теперь представить в виде

то представляет собой величину, в среднем равную текущему рассогласованию между истинным и измеренным

значениями параметра Учитывая весьма большую инерционность цепей сглаживания, для можно записать статистически эквивалентное выражение

где истинное рассогласование по измеряемой координате; белый шум. То обстоятельство, что дисперсия величины минимальна, свидетельствует о минимальности спектральной плотности шума

Таким образом, в оговоренных выше условиях при любых сглаживающих цепях измерителя оптимальную обработку высокочастотного сигнала осуществляет дискриминатор, образующий совокупность величин Качество его работы характеризуется матрицей спектральных плотностей » причем

Для того чтобы связать с эквивалентным представлением (13.5.23), заметим, что шумы коррелированы, вообще говоря, между собой. Их функции взаимной корреляции имеют вид

Задача синтеза сглаживающих цепей измерителей координат близко расположенных целей должна решаться отдельно. В случае быстрых флюктуаций она имеет меньшее отношение к вопросам разрешения. Заметим, что трудности, связанные с обращением матрицы в выражении (13.5.11), позволяют получить обозримые результаты лишь для случая двух целей. Но измерительные режимы работы радиолокационных устройств происходят обычно при большом отношении сигнал/шум. Поэтому при рассмотрении измерителей координат многих целей вполне естественно и оправдано предположение о большом отношении сигнал/шум. Это предположение, как мы увидим ниже, позволяет получить достаточно простые и физически понятные результаты без ограничения на количество наблюдаемых целей. Случай произвольного отношения сигнал/шум мы рассмотрим на примере двухцелевой задачи.