6.8.2. Параметр — случайный процесс со стационарными приращениями

В инженерной практике в ряде случаев нельзя даже приближенно считать измеряемую величину стационарной, однако можно полагать стационарной некоторую производную от параметра. Так, если ускорение объекта меняется хаотически и стационарно, то координата его является случайным процессом со стационарной второй производной. Такого типа случайные процессы включают в класс процессов со стационарными приращениями [59].

Математически процесс со стационарными приращениями порядка определяется как процесс статистические характеристики разности которого

не зависят от времени. Формально можно отождествлять такой процесс с процессом со стационарной производной. К этому классу относятся стационарные процессы и процессы, получающиеся из них применением интегродифференциальных операторов с постоянными коэффициентами. Функция корреляции процесса со стационарными приращениями легко выражается

через функцию корреляции стационарной производной в виде

Эта связь со стационарным процессом позволяет ввести понятие спектральной плотности процесса со стационарными приращениями, определив ее согласно формуле

Для нахождения функции из уравнения (6.5.53) при произвольном времени наблюдения в принципе можно было бы воспользоваться методом приведения к дифференциальному уравнению с особой правой частью, совершенно аналогичным изложенному в п. 6.8.1, если спектральная плотность процесса является дробно-рациональной функцией т. е. может быть представлена в виде (6.8.2). Мы выберем несколько иной путь изложения. На двух важных и очень наглядных примерах поясним способ сведения уравнения (6.6.53) к дифференциальным уравнениям несколько иного типа, с помощью последних эти частные задачи эффективно решим, а затем изложим общий метод получения предельных операторов, т. е. фильтров сглаживания при большом времени наблюдения.

Начнем с простейшего примера параметра в виде винеровского процесса, т. е. интеграла от белого шума. Функция корреляции этого процесса равна

где является спектральной плотностью исходного белого шума.

Подставляя (6.8.21) в уравнение (6.6.53) для имеем

а последовательное дифференцирование по х дает

Решение уравнения (6.8.24), удовлетворяющее одновременно условиям (6.8.22) и (6.8.23), имеет вид

Отсюда согласно (6.8.25) и (6.6.43)

Последнее выражение показывает, что при малых временах наблюдения дисперсия ошибки измерения равна дисперсии априорного распределений а с ростом стремится к установившемуся значению монотонно зависящему от интенсивности белого шума, из которого формируется параметр, и эквивалентной спектральной плотности оптимального дискриминатора Процесс установления происходит тем быстрее, чем больше произведение

Функция при больших также имеет предельное значение

соответствующее -цепочке с постоянной времени что следует из вида частотной характеристики

Импульсная реакция разомкнутой петли определяется уравнением (6.6.54) и при с даваемой формулой (6.8.25), равна

т. е. вообще не зависит от Согласно (6.8.28) сглаживание состоит в усилении сигнала на выходе дискриминатора усилителем с коэффициентом усиления, меняющимся по закону (6.8.28), и в последующем интегрировании. Ввиду априорно известной непрерывности параметра и нулевой начальной ошибки измерения сигнал на выходе дискриминатора при передается с малым, но нарастающим усилением. Нарастание объясняется постепенным увеличением дисперсии При сглаживание переходит в постоянное усиление и интегрирование.

Интересно заметить, что сглаживающая цепь с одним интегратором весьма часто используется на практике. Теоретическое рассмотрение показывает, что без учета переходного режима такой сглаживающий фильтр оптимален для параметра в виде первого интеграла от белого шума. Величина полного коэффициента усиления в разомкнутой петле здесь зависит от интенсивности параметра а также от статистики входной смеси сигнала с шумом (через Этот результат согласно п. 6.8.1 является естественным.

Рассмотрим теперь процесс в виде второго интеграла от белого шума, функция корреляции которого равна

При

Последовательно дифференцируя по х уравнение (6.6.53), в которое подставлено значение из (6.8.29), имеет дифференциальное уравнение

с четырьмя интегро-дифференциальными дополнительными условиями:

где

Окончательно имеем решение в виде

Дисперсия ошибки измерения равна

В частности, при большом и малом времени измерения

Как следует из (6.8.33), при малом времени наблюдения дисперсия ошибки измерения, как и в. предыдущем примере, возрастает как априорная дисперсия параметра из (6.8.29). Дело в том, что в первые моменты инерционные элементы сглаживания еще не накопили сигнал, который свидетельствовал бы о Появившейся ошибке измерения. При большом времени наблюдения дисперсия ошибки стремится, как и ранее, к установившемуся значению, монотонно зависящему от спектральной плотности белого шума, из которого был сформирован параметр, и от эквивалентной спектральной плотности дискриминатора

Интересно отметить, что при большом времени наблюдения стремится к

т. е. описывает цепь с постоянными параметрами и частотной характеристикой

В обоих приведенных примерах, несмотря на нестационарность параметра, операторы сглаживания аналогично п. 6. 8.1 относятся к цепям с постоянными параметрами.

Физическое пояснение этого состоит том, что при измерении процесса со стационарными приращениями устанавливается динамическое равновесие между эффектом возрастания неопределенности значения параметра за счет его случайных изменений и эффектом уточнения его значения за счет поступления новых данных. Эти взаимно противоположные эффекты (вытекают из соотношений (6.5.35) и будут еще затронуты в § 6.9.

Интересно, что пропускание смеси процесса со стационарной первой или второй производной с белым шумом через цепь с дробно-рациональной частотной характеристикой типа (6.8.27) или (6.8.35), в которой степень полинома числителя меньше степени полинома знаменателя на единицу, обеспечивает минимально необходимую разность степеней этих полиномов для сглаживания белого шума и одновременно дает на выходе случайный процесс со стационарной производной, т. е. процесс, сходный по свойствам с измеряемой величиной. Особенно наглядно это проявляется для системы первого порядка, на выходе которой образуется случайный процесс со спектральной плотностью в точности равной спектральной плотности отслеживаемой величины.

Естественно предположить, что для любых процессов со стационарными производными существуют предельные операторы сглаживания, относящиеся к цепям с постоянными параметрами. Поэтому обобщим алгоритм нахождения предельных операторов, основанный на факторизации, на параметры в виде случайных процессов со стационарными приращениями. Подставим в уравнение (6.6.53) функцию корреляции выраженную согласно (6.8.19), устремим в этом выражении и будем искать решение в виде Тогда, применяя к обеим частям уравнения преобразование Фурье и используя соотношение (6.8.20), можно убедиться, что решение уравнения (6.6.53) в этом случае выражается той же формулой (6.8.16), что и для стационарных процессов. Импульсная реакция сглаживающего фильтра однопетлевой схемы определяется через преобразование Фурье с помощью соотношения (6.8.17), а предельная ошибка измерения дается формулой (6.8.18).

Следует лишь оговорить, что факторизация (6.8.15) в данном случае основана на представлении множителя вида в знаменателе спектральной плотности в виде где формально считается полюсом в верхней полуплоскости, а — в нижней полуплоскости комплексной переменной .

В целях иллюстрации метода факторизации снова рассмотрим параметр в виде первого и второго интегралов от белого шума. В первом случае спектральная

плотмость параметра согласно (6.8.19) должна быть определена как При этом

и в соответствии с (6.8.16) — (6.8.18) имеем

т. е. результаты, уже проанализированные нами выше [см. (6.8.26) -(6.8.28)].

Для второго примера имеем и факторизацию

где снова Отсюда окончательно имеем результат, совпадающий с (6.8.35). Наиболее интересное обстоятельство выявляется, когда по формулам (6.8.17) и (6.8.35) мы находим фильтр сглаживания в однопетлевой системе. Оказывается, что

т. е. фильтр представляет собой идеальный двойной интегратор с корректирующей -цепочкой с постоянной времени (рис. 6.37). Фильтре частотной характеристикой типа (6.8.37) является, пожалуй, наиболее распространенным на практике, однако выявленные здесь условия его оптимальности отнюдь не являются универсальными. Напомним, что эти условия требуют наличия у параметра первой производной по

времени и хаотически меняющейся стационарной второй производной, которую можно аппроксимировать белым шумом.

Аналогичным образом можно получить решение уравнений (6.6.53), (6.6.54) и для параметра в виде интеграла любого порядка от белого шума.

Рис. 6.37. Блок-схема сглаживающих цепей для параметра со стационарными приращениями. 1 — усилители с большим коэффициентом усиления.

В частности, для третьего порядка имеем

Учет все более высокого порядка сглаженности параметра как следует из (6.8.36) — (6.8.38), ведет ко все большему усложнению сглаживающих цепей. В общем случае они содержат интеграторов и цепи коррекции порядка, параметры которых зависят от величины Коэффициент усиления разомкнутой петли с учетом крутизны дискриминатора во всех случаях пропорционален что качественно совпадает со случаем стационарного параметра и диктуется теми же причинами.

Все синтезированные фильтры обеспечивают замкнутой системе устойчивость. В частности, в системе второго порядка согласно (6.8.36) обеспечивается режим устойчивости, близкий к граничному между

апериодическим и колебательным режимами. Это общее обстоятельство характерно для всех оптимальных фильтров, заведомо дающих ограниченную реакцию на возмущения. Оно удобно тем, что вопрос об устойчивости при синтезе снова возникает лишь тогда, когда появляется необходимость отойти в измерителе от оптимальных в статистическом смысле характеристик.

Приведем, наконец, выражение для дисперсии установившейся ошибки измерения параметра в виде интеграла от белого шума интенсивности

Легко убедиться, что в частных случаях из (6.8.39) вытекают соответствующие формулы, приведенные выше. Как следует из формулы (6.8.39), потенциальная среднеквадратическая ошибка с ростом сглаженности параметра все меньше зависит от интенсивности параметра берется в степени как полная ошибка близка по значению к флюктуационной своей составляющей. Однако для обеспечения этого результата должна быть правильно подобрана полоса пропускания замкнутой системы с помощью выбора соответствующего коэффициента усиления.