§ 13.3. СТАТИСТИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ РАЗРЕШЕНИЯ

Рассмотрим второй (из перечисленных во введении) подход к задаче оптимального разрешения целей, при котором оптимальной по разрешающей способности считается система, наилучшим образом выполняющая ту или иную функцию радиолокатора при наличии многих достаточно близко расположенных целей.

Выясним общие свойства оптимальной обработки принятого сигнала в многоцелевых системах, не конкретизируя решений, принимаемых относительно совокупности целей. Это можно сделать, используя понятие о минимальной достаточной статистике и достаточном приемнике (см. § 3.7 т. I).

Если априорные сведения о числе и о положении целей отсутствуют, то минимальной достаточной статистикой для любых решений, принимаемых о совокупности целей, является совокупность значений отношений правдоподобия для всех возможных ситуаций где (число целей) пробегает значения от 1 до а параметры целей пробегают все возможные априори значения. В соответствии с этим достаточным является приёмник, на выходе которого образуется указанная совокупность. Располагая выходными сигналами достаточного приемника, можно оптимальным образом при нимать любые решения о совокупности целей. Вид дальнейших преобразований этих сигналов и то, какая часть из них используется, зависят от наличия априорных сведений, характера принимаемых решений и используемых решающих правил.

Каждое из отношений правдоподобия представляет собой отношение вероятности приема реализации у при наличии сигналов с параметрами к вероятности приема той же реализации при отсутствии

сигналов. Вместо отношений правдоподобия можно рассматривать функции правдоподобия, однако в этом случае возникают некоторые формальные трудности, связанные с переходом от дискретных реализаций к непрерывным.

Рассмотрим операции, связанные с формированием отношения правдоподобия для быстрых и медленных флюктуаций отраженного сигнала, считая сигналы и помеху статистически независимыми гауссовыми случайными процессами. При этом, чтобы иметь возможность сравнивать результаты синтеза с результатами оптимального разделения сигналов, мы обобщим полученные в главах выражения для отношений правдоподобия на многомерный случай.

Рассмотрение многомерного случая производится точно так же, как одномерного. Пусть в многомерной области заданы помеха с функцией корреляции и сигнал с функцией корреляции причем и сигнал и помеха — гауссовы случайные процессы. Рассмотрим набор точек Отношение правдоподобия для значений равно

где и элементы матриц, обратных корреляционным матрицам помехи и сигнала с помехой, соответственно.

Переходя к пределу при и стремящихся к нулю расстояниях между точками, можно заменить суммы интегралами и, пользуясь многомерными аналогами формул (1.4.1), (1.4.2), (1.4.12), (1.4.13), (4.2.4) и (4.2.5), записать отношение правдоподобия для реализации в виде

где определяются уравнениями:

Переменные в этих формулах — многомерные векторы.

Конкретизируем полученные соотношения для случая, когда сигнал представляет собой сумму статистически независимых сигналов с функциями корреляции вида (13.2.1). Радиус корреляции флюктуаций сигналов считается большим по сравнению с размерами области (случай медленных флюктуаций). Когда

решения уравнений (13.3.3) и (13.3.4) представимы, как нетрудно убедиться, в виде

где

а матрицы обратны по отношению к матрицам

соответственно, причем по-прежнему определяется формулой (13.2.10).

Подставляя (13.3.7) и (13.3.8) в (13.3.2), получаем

где

В § 1.4 т. I было показано, что для произвольной матрицы имеет место соотношение

где параметр.

Пользуясь этой формулой и учитывая свойства матрицы можно переписать (13.3.10) в виде

Рассмотрим операции, связанные с формированием логарифма отношения правдоподобия. Первое слагаемое можно с учетом (13.3.9) и (13.3.11) преобразовать следующим образом:

Функция от в скобках под интегралом совпадает [см. п. 13.2.1] с оптимальным опорным сигналом обеспечивающим максимум отношения мощности рассматриваемого сигнала к сумме мощностей помехи и всех других сигналов, рассматриваемых как мешающие.

Как отмечалось в § 13.2, при больших отношениях сигнал/помеха для всех целей этот опорный сигнал совпадает с тем, который обеспечивает полное подавление мешающих сигналов.

Таким образом, преобразования, связанные с получением отношения правдоподобия, включают в себя операции, обеспечивающие частичное, а при больших энергиях практически полное разделение сигналов, гипотеза о наличии которых проверяется.

Рис. 13.4. Блок-схема оптимальной обработки сигнала при медленных флюктуациях: 1 — умножитель; 2 — интегратор по области ; 3 - сумматор.

Кроме того, эти преобразования включают в себя умножение на опорные сигналы оптимальные для выделения сигнала из помехи, и интегрирование. Результаты обоих видов корреляционной обработки с одинаковыми индексами перемножаются и суммируются. Соответствующая блок-схема показана на рис. 13.4.

Рассмотрим аналогичным образом случай быстрых флюктуаций, причем будем считать, что флюктуации являются быстрыми по одной переменной — времени. Чтобы выделить эту координату, при рассмотрении будем везде писать вместо одной переменной две

переменные Функция корреляции сигнала запишется в этом случае в виде

Предположим также, что спектр флюктуаций помехи значительно шире спектра флюктуаций сигнала, и заменим помеху белым шумом, т. е. положим

и что периодическая функция времени при всех причем величину периода общего для всех будем считать малой по сравнению с временем корреляции флюктуаций сигнала. Решения уравнений (13.3.3) и (13.3.4) будем по-прежнему искать в виде (13.3.7) и (13.3.8), но будем считать зависящими от Все эти допущения и последующий вывод полностью аналогичны использованным в гл. при рассмотрении сигналов, зависящих только от времени.

Подставляя (13.3.7) в (13.3.3) и приравнивая почленно слагаемые в правой и левой частях уравнения, при сделанных допущениях получаем

где

Поскольку считается эффективная ширина спектра флюктуаций) при всех можно, пренебрегая краевыми эффектами, решить уравнение (13.3.14) преобразованием Фурье. Матрица спектров является обратной по отношению к матрице где

спектральная плотность, соответствующая нормированная так, что Аналогичным образом отыскивается

Подставляя результаты обратного преобразования Фурье от в (13.3.7), (13.3.8) и (13.3.2), получаем

где

Как видно из полученных формул, в случае быстрых флюктуаций операциям того же вида, что и при медленных флюктуациях, должны подвергаться отдельные спектральные составляющие сигнала, полученного в результате корреляционной обработки. Оптимальная обработка получается здесь более сложной, чем в случае одной цели, потому что нельзя, вообще говоря, представить в виде произведения некоторых частотных характеристик фильтров:

При большом отношении сигнал/помеха имеет место равенство в полосе частот где отношение спектральных плотностей сигнала и помехи велико.

Эта полоса частот расширяется с увеличением отношения сигнал/помеха. По аналогии с результатами, полученными для одного сигнала (гл. 4, 7, 9, 10), можно ожидать, что расширение полосы с ростом отношения сигнал/помеха, после того как эта полоса превысила ширину спектра флюктуаций сигнала, и форма частотной характеристики не сказываются существенным образом на характеристиках качества системы. Поэтому мы заменим на где -частотная характеристика фильтра с полосой, не намного превышающей ширину спектра флюктуации При этом можно, преобразовав выражение для так же, как это делалось при рассмотрении одного сигнала,

представить блок-схему обработки в виде, показанном на рис. 13.5.

Выше рассматривались оптимальные преобразования сигнала в достаточном приемнике, связанные с формированием отношения правдоподобия для любой предполагаемой совокупности целей. Если на число и положения целей наложены ограничения, оптимальная обработка существенно упрощается.

Рис. 13.5. Блок-схема квазиоптимальной обработки сигнала при быстрых флюктуациях: 1 — умножитель: 2 — интегратор по области 3 — фильтр с частотной характеристикой ; 4 - сумматор; 5 — интегратор за время наблюдения.

Простейшим примером такого рода является случай, когда параметры целей известны и решение принимается только для цели. Отношение правдоподобия для этой задачи равно отношению

Пользуясь свойством (13.2.13) обратных матриц, преобразования сигнала, связанные с формированием можно записать в виде (при медленных флюктуациях)

В этом случае преобразования сигнала обеспечивают выделение полезного сигнала при частичном (а при больших отношениях сигнал/помеха — полном) подавлении мешающих сигналов. Решение задачи обнаружения

цели на фоне целей и помех было проведено в [43] для выявления потенциальных возможностей повышения разрешающей способности.

Кроме упомянутой работы [43] известен еще ряд работ, в которых ставится и решается задача статистического синтеза оптимальных систем разрешения. В книге [44] под оптимальным разрешением понимается обнаружение совокупности целей, производимое посредством сравнения с порогом результатов оценки по максимуму правдоподобия амплитуд сигналов от этих целей. Рассматривается случай регулярных сигналов и белого шума. Операции, связанные с оценкой амплитуд, совпадают с получающимися в задаче полного разделения сигналов.

В работе [64] предложена другая постановка задачи, приводящая, однако, при определенных условиях к тем же результатам. Считается, что наилучшей по разрешающей способности является система, обеспечивающая наилучшую оценку отражающей поверхности (уровня отраженного сигнала) как функции координат. В качестве функции потерь используется

где сигнал, соответствующий истинному рельефу отражающей поверхности; сигнал, соответствующий оценочному рельефу.

Минимизация среднего риска обеспечивается выбором такого при котором минимально, причем черта здесь означает усреднение с помощью апостериорного распределения Предполагается, что сигнал представляет собой суперпозицию сигналов от точечных целей

где амплитудные множители (сигнал рассматривается как регулярный).

При этом задача сводится к нахождению Подставляя (13.3.19) с формулу для дифференцируя по и приравнивая производную нулю, имеем

где элемент матрицы, обратной

Подставляя (13.3.20) в исходную формулу для получаем, что надо выбирать из условия

Если априорные сведения о положении целей отсутствуют, то При этом рассматриваемый метод оценки рельефа отражающей поверхности совпадает с классическим методом наименьших квадратов. Легко видеть, что преобразование (13.3.20) обеспечивает полное подавление всех сигналов, за исключением того, амплитуда которого оценивается. Нетрудно убедиться, что эта обработка совпадает с рассмотренной в § 13.2, когда т. е. когда помеха представляет собой «белый шум» по всем измерениям.

Таким образом, проведенное рассмотрение преобразований сигнала в оптимальных с различных точек зрения многоцелевых системах показало, что эти преобразования всегда включают в себя полное или частичное разделение сигналов от целей, наличие которых предполагается. В некоторых вариантах постановки задачи перекрестная обработка сигналов исчерпывается этими операциями разделения и дальнейшие преобразования разделенных сигналов получаются такими, как если бы каждый из сигналов был единственным (ср. гл. 4 т. I).

Однако во многих случаях это не так, и для них представляется интересным сравнить характеристики качества оптимальной системы и системы, в которой разделенные сигналы обрабатываются порознь.

Дело в том, что практическое использование оптимальных систем, в которых сигнал обрабатывается в соответствии с формулами (13.3.10) и (13.3.16), возможно, по-видимому лишь при наличии достаточно жестких ограничений (заданных в виде априорного распределения) на число целей и их положение. Так получается, например, при одновременном сопровождении нескольких целей, число и первоначальные положения которых достаточно точно известны, или при обнаружении группы из известного числа целей, находящихся в заданных точках. При отсутствии априорных сведений оптимальная система получается чрезвычайно сложной и представляется разумным использовать в этом случае систему с полным подавлением заданных мешающих сигналов и последующей обработкой того же вида, как для одного сигнала.

В соответствии со сказанным целесообразно принять следующий порядок дальнейшего рассмотрения. В § 13.4 и § 13.5 будут рассмотрены задачи оптимального обнаружения и измерения координат заданной совокупности целей. В § 13.6 будут рассмотрены и сравнены с оптимальными упрощенные системы обнаружения и измерения, использующие принцип полного разделения сигналов.