§ 12.2. АНАЛИЗ МНОГОМЕРНЫХ СЛЕДЯЩИХ ИЗМЕРИТЕЛЕЙ

Известные на практике многомерные измерители обычно построены в виде многомерных следящих систем. В литературе существует целый ряд работ по следящим системам с множеством отслеживаемых величин (например, [54]). Однако специфика радиолокационных измерителей, о которой говорилось в гл. 6, заставляет пересмотреть под новым углом зрения вопросы анализа следящих систем в приложении к измерителям. Ряд результатов анализа, учитывающего возникающие особенности, приведен ниже.

12.2.1. Основные черты построения схем и составляющие ошибок измерения

В общем виде многомерный следящий измеритель параметров может быть представлен блок-схемой рис. 12.1. На ней отмечены два основных типа элементов — дискриминаторы и сглаживающие цепи с приводными устройствами.

Рис. 12.1. Многомерный измеритель: 1 — парциальные дискриминаторы; 2 — линейные цепи сглаживания; 3 — сумматоры.

Дискриминаторы, выходы которых пронумерованы от 1 до I, выделяют рассогласования между входными и выходными значениями того или иного параметра и являются нелинейными радиотехническими устройствами для обработки одного или нескольких входных сигналов. Особенностью парциальных дискриминаторов в многомерном измерителе является то, что на каждый из них поступают измеренные значения всех координат, а не только той, по которой выделяется сигнал ошибки. Это объясняется тем, что радиолокационные координаты закодированы в полезной компоненте входной смеси таким связанным образом, что при обработке сигнала узкоселективными

устройствами, близкими к оптимальным, нарушение сёлёкцйй по любому параметру делает невозможным выделение информации сразу по всем параметрам.

Сглаживающие цепи, осуществляющие накопление первичных данных, обычно построены из линейных элементов раздельно для всех I координат. Однако встречаются и сглаживающие цепи с перекрестными связями. Чаще всего эти связи реализованы в виде безынерционных устройств пересчета координат сразу на выходе дискриминатора, но могут встретиться и более сложные случаи. В общем плане имеется матрица сглаживающих цепей, изображенная на рис. 12.1. У матрицы I входов и I выходов, причем возможна связь между любыми еходом и выходом. Обычно матрица линейна, но может состоять и из инерционно-нелинейных элементов. Нелинейные цепи пока не получили широкого распространения на практике и в дальнейшем изучаться не будут.

Кроме дискриминаторов и сглаживающих цепей в измерителях иногда предусматривается введение через сумматоры дополнительных величин, предназначенных для компенсации заведомо известных компонент измеряемых параметров. Для того чтобы иметь перед собой наглядные примеры практической реализации совместных измерителей в части дискриминаторов, достаточно объединить совокупность схем, подобных изучавшимся в и относящихся к измерению разных координат. При этом необходимо предусмотреть селекцию во всех схемах по всем координатам, а в техническом плане — совместить возникающие одинаковые элементы.

Введем систему обозначений, подобную принятой при одномерном анализе, начав со случая одной входной смеси:

где совокупность измеряемых параметров (координат).

На выходе каждого дискриминатора образуется функция времени (обычно в виде электрического напряжения)

где текущие рассогласования

между к и измеренными значениями параметров так что

Зависимость в общем случае каждого из выходных напряжений дискриминатора от рассогласования по всем параметрам является чисто многомерным эффектом. Не стоит пояснять, что, как в одномерном случае, значения к определяют входные и выходные напряжения дискриминаторов лишь в статистическом плане, конкретные же реализации определяются входными флюктуационными возмущениями.

Количество входных смесей в общем случае может быть произвольным. Оно обычно не связано с числом измеряемых величин. В условиях нескольких смесей усложняется запись лишь входов дискриминаторов, т. е. рассматривается совокупность Все же остальные обозначения сохраняются неизменными так же, как и методика анализа измерителей.

Остановимся на классификации различных составляющих ошибок измерения. Эти составляющие в основном те же, что и в одномерном случае. Одной из составляющих являются флюктуационные ошибки за счет внутренних шумов приемника, естественных и организованных помех и флюктуаций отраженного радиолокационного сигнала. Особенность многомерного случая состоит в том, что подобные ошибки, выделяемые на выходах различных парциальных дискриминаторов, оказываются иногда коррелированными. Причиной этого является не столько общий для дискриминаторов источник возмущений (соответствующая компонента входной смеси), сколько наблюдающийся иногда сходный метод кодирования некоторых координат в сигнале. Глубокое понимание этого эффекта будет возможно лишь на основе результатов § 12.3.

В многомерных измерителях имеются также динамические ошибки за счет изменения самих измеряемых величин и флюктуационные и систематические ошибки, вносимые аппаратурой обработки сигналов. Однако мы будем рассматривать только флюктуационные и

динамические ошибки. В отношении характера флюктуационных возмущений, которые подчас удобно относить к несущественным случайно изменяющимся параметрам сигнала, ограничимся предположением, что все они меняются значительно быстрее измеряемых величин.

12.2.2. Характеристики дискриминаторов

В условиях быстрых случайных возмущений выходное напряжение каждого дискриминатора можно представить в виде двух частей: среднего значения

и белого шума с (двусторонней) спектральной плотностью

равной спектральной плотности на низких частотах флюктуационной компоненты функции Усреднение в (12.2.1), (12.2.2) производится по полному ансамблю флюктуаций, а величины при этом считаются «замороженными" в соответствии с предположением о медленности их изменения. Первой особенностью многомерного случая является наличие функциональной зависимости от всех рассогласований. На этом обстоятельстве мы еще остановимся ниже. Вторая особенность заключается в необходимости введения кроме (12.2.2) характеристик взаимной корреляционной связи флюктуационных составляющих, имеющихся на выходах различных парциальных дискриминаторов. Связь между выходными напряжениями характеризуется взаимной спектральной плотностью

Которая в зависимости характера связи может быть положительной, отрицательной или нулем. Последний случай наблюдается при отсутствии корреляционной связи рассматривае дых возмущений, отнюдь не означающем полную их независимость.

Итак, имеется квадратная симметричная матрица из характеристик флюктуационных возмущений, в которой всего независимых элементов. Статистически эквивалентной формой записи выходных напряжений дискриминатора является

где белые шумы с единичной спектральной плотностью, взаимная связь которых устанавливается соотношением

Функции назовем дискриминационными характеристиками, а флюктуационными характеристиками. Их находят путем анализа прохождения сигнала и шумов через дискриминатор при фиксированных рассогласованиях

Вид дискриминационных и флюктуационных характеристик в -мерном пространстве параметров весьма сложен. Мы остановимся прежде всего на качественном описании этих зависимостей в том частном случае, когда каждый выход дискриминатора в среднем определяется рассогласованием по параметру, а все прочие рассогласования оказывают влияние лишь при большой их величине, определяя некоторые масштабные множители. Одновременно будем считать отсутствующими корреляционные связи между шумами на выходах дискриминаторов, т. е. матрицу диагональной. В этих условиях дискриминационная характеристика при фиксированных описывается нечетной функцией того же вида, что и в одномерном случае. Значения всех прочих рассогласований сказываются в основном на масштабе

кривой. Масштаб максимален при и мало меняется при небольших При больших же значениях асимптотически стремится к нулю вне зависимости от значения Для случая двух параметров первая дискриминационная характеристика на плоскости наглядно представлена рис. 12.2.

Флюктуационная характеристика в тех же условиях при фиксированных описывается симметричной кривой того вида, который известен по одномерному случаю.

Рис. 12.2. Дискриминационная характеристика двумерного измерителя.

С ростом прочих рассогласований двугорбая структура рассматриваемых сечений сглаживается и при любых значениях переходит в гиперплоскость, параллельную координатной гиперплоскости Флюктуационная характеристика на плоскости построена на рис. 12.3.

Иллюстрация помогает уяснить ту закономерность, что увеличение рассогласования ведет к тому же изменению дискриминационной и флюктуационной характеристик, построенных в функции от что и уменьшение отношения сигнал/шум. Это и понятно, поскольку увеличение рассогласований по прочим

координатам ведет к энергетическим потерям, вполне эквивалентным уменьшению среднего уровня сигнала на входе.

Когда все рассогласования в рассматриваемом частном случае невелики, допустимо вместо общих зависимостей (12.2.4) пользоваться разложениями характеристик дискриминаторов

где

Рис. 12.3. Флюктуационная характеристика двумерного измерителя.

В условиях симметрии схемы обычно равны нулю. Величины называются крутизнами дискриминаторов. Коэффициенты показывают влияние прочих рассогласований, в некотором приближении сводящееся к уменьшению масштабного множителя. При исследовании

точности измерений в силу малости рассогласований часто достаточно пользоваться формулами

являющимися простым повторением одномерных (6.2.9).

Таким образом, в случае малых ошибок, когда справедливы линейные приближения, раздельный анализ измерителей отдельных параметров, приведенный в предыдущих главах, вполне допустим.

Примером многомерного измерителя, который удовлетворяет сформулированным условиям, является совместный измеритель дальности и скорости в когерентном радиолокаторе. Если интересоваться, например, дискриминатором дальности, то он содержит узкополосные фильтры (рис. 7.7, 7.13), настройка которых производится с выхода канала скорости. При малых ошибках измерения скорости частота сигнала находится в пределах частотной характеристики фильтра.

В ряде случаев описанные зависимости от несправедливы. Грубо говоря, возникающее отличие состоит в сдвиге нуля дискриминатора при наличии рассогласований по параметру Изменения зависимостей возникают и при больших рассогласованиях. Поскольку общее описание, даже качественное, здесь затруднено, остановимся лишь на случае малых рассогласований. Обобщением формул (12.2.5) явятся тогда

где

В условиях симметрии схем парциальных дискриминаторов исчезают и остаются более простые зависимости:

Коэффициент назовем крутизной дискриминатора по параметру. Величины характеризуют флюктуационные составляющие, не зависящие от рассогласований, а составляющие, пропорциональные Формулы (12.2.9) и (12.2.10) соответствуют следующему представлению выходного напряжения дискриминаторов:

где случайные функции, некоррелированные между собой; белые шумы, имеющие размерность измеряемых параметров с матрицей спектральных плотностей определяемой пересчетом матрицы с помощью матрицы крутизн дискриминаторов по формуле

Для доказательства формулы (12.2.12) достаточно умножить вектор представляющий шумы на выходе дискриминатора, на строку усреднить и, переходя к спектрам, использовать обозначение для спектральной матрицы вектора

Отсюда (12.2.12) получается двумя матричными умножениями. В дальнейшем будем называть матрицей эквивалентных спектральных плотностей многомерного дискриминатора.

Функции в (12.2.11) являются белыми шумами с взаимными спектральными плотностями

В дальнейшем мы не будем рассматривать влияние параметрических флюктуаций на точность измерения, концентрируя свое внимание на шумах Vа) Их уровень, естественно, определяется интенсивностью мешающих сигналов на входе, не несущих информации об измеряемых величинах. В основном для соблюдаются те же закономерности, что и в одномерном случае.

Для иллюстрации метода использования полученных соотношений рассмотрим достаточно простой пример дискриминатора для двух параметров с взаимосвязанным кодированием в сигнале.

Пусть сигнал имеет импульсную структуру с независимыми между периодами флюктуациями амплитуды и фазы Его прием ведется на фоне белого шума Импульсы имеют внутриимпульсную линейную частотную модуляцию Реализация принимаемой смеси сигнала с шумом в одном периоде имеет вид

где V — наклон ЛЧМ; х — задержка регулярной модуляции; допплеровский сдвиг частоты. Две последние величины и являются измеряемыми параметрами.

Схема совместного дискриминатора величин изображена на рис. 12.4. Сигнал подается на смеситель 1, где происходит свертывание спектра путем умножения на напряжение гетеродина 2

где измеренные значения параметров.

Одновременно производится перенос колебаний на частоту, близкую к промежуточной Далее производится полосовая фильтрация в фильтрах 3, 4, 5, из которых фильтр 5 точно настроен на а фильтры 3, 4 имеют расстройку на Результаты фильтрации детектируются в детекторах 6. В двух верхних каналах рис. 12.4 в элементах 7 производится стробирование; середина

стробимпульса совпадает с Разность двух образовавшихся напряжений, формируемая в элементе 9, является первым выходным напряжением совместного дискриминатора Это напряжение чувствительно к частотному сдвигу напряжения на выходе смесителя.

Рис. 12.4. Дискриминатор величин смеситель; 2 — управляемый гетеродин; 3, 4 — полосовые фильтры, настроенные на частоты полосовой фильтр, настроенный на частоту амплитудные детекторы; 7 — стробируемые усилители; 8 — временной дискриминатор; 9 — схема сравнения; 10 — генератор стробимпульсов.

В нижнем канале рис. 12.4 после детектора стоит временнбй дискриминатор 8. Его действие сводится к умножению на нечетную функцию нуль которой также совпадает с х, и последующему накоплению (интегрированию) сигналов.

Следовательно, образуется второе выходное напряжение чувствительное в первую очередь к временной задержке

Согласно приведенным выше результатам для определения матрицы ошибок измерения по единичному импульсу необходимо вычислить матрицу крутизн дискриминатора

где и матрицу средних квадратов флюктуационных компонент выходов

Аналогично (12.2.12) матрица равна

Переходя к расчету, для простоты предположим, что полосовые фильтры согласованы с амплитудной модуляцией, т. е. огибающая их импульсной реакции является обращением во времени функции амплитудные детекторы 6 квадратичные, а усилители 7 осуществляют ультраузкое стробирование. При некотором выборе общих коэффициентов усиления в каналах, которые не влияют на окончательные результаты, имеем:

где — средняя энергия посылки.

Из формулы (12.2.17) видно, что матрица крутизн недиагональна; рассогласование по х вызывает появление постоянной составляющей обоих выходных напряжений дискриминатора. Это обстоятельство легко объясняется. Действительно прогетеродинированное колебание несет информацию о временном сдвиге регулярной модуляции как в амплитудной огибающей, так и в частоте.

Интересно, что матрица 2 оказывается диагональной:

где спектральная плотность — отношение сигнал/шум в одном периоде (см. гл. С).

Примем теперь гауссовы аппроксимации для на

где константы; длительность импульса; — эквивалентная длительность полустробов временного дискриминатора.

После интегрирования согласно формулам (12.2.17) и (12.2.18) и проведения операций (12.2.16) над соотношениями (12.2.14) и (12.2.15) элементами матрицы будут величины:

где

Заметим, что матрица в отличие от не диагональна, что и является следствием взаимосвязи кодирования параметров.

Элементы (12.2.19) зависят от отношения сигнал/шум длительности импульса наклона и двух параметров собственно дискриминатора тип. Легко убедиться, что становится диагональной лишь при отсутствии частотной модуляции. Напомним, что согласно гл. 1 главные оси эллипсоида, представляющего сечение функции автокорреляции сигнала, ориентируются по осям координат Это и является наглядным выражением отсутствия взаимосвязи параметров временной задержки и частотного сдвига входного сигнала.

12.2.3. Точность измерения

При анализе работы многомерных следящих измерителей возникают те же задачи, что и в одномерном случае. В общем плане необходимо рассматривать нелинейную проблему. Это принципиально возможно на основе аппарата уравнений Фоккера — Планка, многомерное обобщение которого в литературе известно [20]. Если же уровень входных шумов невелик, при анализе точности допустима линеаризация измерителя, которую мы и

осуществим в предположении малости параметрический флюктуаций. Пусть матрица цепей сглаживания линейна, но не обязательно с постоянными параметрами, так что ее входные и выходные величины связаны матричным соотношением

где матрица импульсных реакций цепей сглаживания; вектор-столбец функций, вводимых для компенсаций известных составляющих Подставляя в (12.2.20) согласно (12.2.11) вместо вектор-столбец

и учитывая, что имеем уравнение

Если ввести матрицу импульсных реакций замкнутой системы, считая выходной величиной вектор то она определяется интегральным уравнением

Введем дополнительно импульсную реакцию системы считая выходными величинами рассогласования. Она удовлетворяет уравнению

Легко убедиться, что решение уравнения (12.2.22) выразится в виде

Согласно (12.2.25) текущая ошибка определяется совместным действием помех пропущенных через матрицу фильтров а также случайных изменений параметров и некомпенсированных регулярных измерений пропущенных через матрицу фильтров Первое слагаемое в (12.2.25) естественно назвать совокупностью (вектором) флюктуационных ошибок, а слагаемым присвоить названия векторов динамических ошибок.

Матрица вторых моментов полных ошибок измерения равна

где использовано свойство -корреляции помех введена корреляционная матрица случайной части параметров и обозначено Некоторые упрощения выражения (12.2.26) возможны при конкретизации вида сглаживающих цепей и характера изменения

Пусть, например, случайные компоненты параметров стационарны регулярные компоненты полностью компенсируются, а сглаживающие цепи имеют постоянные параметры, т. е. Преобразование Фурье от функций и (12.2.24) легко выражаются в этом случае

через матрицы крутизн дискриминатора и частотных характеристик сглаживающих цепей

в виде

Таким образом, вместо (12.2.26) можно получить

где спектральная матрица параметров.

Изучая первое слагаемое в (12.2.28), убеждаемся, что матрица моментов флюктуационных ошибок, вообще говоря, не может быть выражена через произведение матрицы спектральных плотностей и некоторой постоянной матрицы, характеризующей обобщенную эффективную полосу системы. Однако может встретиться случай, когда интересна лишь сумма диагональных членов этой матрицы, т. е. ее след. Тогда по (12.2.28)

где

а

— постоянная матрица, являющаяся многомерным обобщением эффективной полосы системы.

Некоторые более сложные виды цепей сглаживания будут изучены в последующих разделах, посвященных вопросам синтеза.