12.3.2. Функция правдоподобия и ее аппроксимации

Как и в одномерной задаче, с целью изучения функции правдоподобия следует обратиться за аналогиями к случаю нескольких постоянных параметров. Тогда, по истечении некоторого интервала наблюдения, в пространстве параметров, размерность которого равна числу измеряемых величин при гауссовых шумах на входе может быть связана монотонной зависимостью с многомерной функцией автокорреляции полезной компоненты входной смеси (смесей) и некоторой многомерной случайной функцией, аргументами которой являются измеряемые величины.

Многомерная функция автокорреляции может быть введена не только для параметров в виде временных задержек и частотных сдвигов, как это обычно делается в литературе (см. гл. 1), но в ряде случаев и для угловых координат. Эта фуйкция в общем случае не равна произведению одномерных функций автокорреляции по всем I координатам, полученных в предположении известных остальных координат. Это объясняется

определенной взаимосвязью кодировок различных параметров, на которой мы еще остановимся ниже. Поэтому многомерный пик будет сплюснут по некоторым направлениям, определяемым характером взаимосвязи.

Если вершина многомерной автокорреляционной функции гладкая, т. е. эта функция имеет необходимые производные по X, то функция правдоподобия при малом уровне боковых выбросов функций автокорреляции и малом уровне помех окажется -мерным пиком приближенно гауссовой формы возле истинного сочетания значений параметров. Сплюснутость пика выразится в том, что сечения постоянного уровня представятся в виде гиперэллипсоидов, главные оси которых не будут совпадать с координатными осями. Как и в одномерном случае, увеличение времени наблюдения приводит к постепенному сужению пика и уменьшению разброса местоположения его вершины возле сочетания истинных значений параметров. При этом матрица моментов минимальных ошибок измерения постоянных параметров выражается через матрицу А средних значений вторых производных от в виде

Переход к изменяющимся параметрам в общем случае ведет к тем же математическим трудностям, что и в одномерной задаче. Пусть, однако, скорость изменения всех измеряемых параметров мала по сравнению со скоростью изменения параметров, отнесенных к разряду несущественных, а уровень помех невелик. Тогда снова можно выделить подынтервалы наблюдения, на которых измеряемые величины можно считать «замороженными», а несущественные параметры — изменяющимися так, что для них статистическая связь между значениями в началах и концах интервалов пренебрежимо мала.

В качестве дополнения к указанным условиям предположим, что измеряемые величины различны по своей физической природе и закодированы несходно. Четко сформулировать понятие «несходности» довольно трудно, так что попытаемся проиллюстрировать его на радиолокационных примерах. Одноименные координаты разных целей (т. е. временные задержки и сдвиги частот

близких по форме сигналов и т. п.) закодированы сходно и том смысле, что перестановка параметров в функции правдоподобия ведет к ситуации, по «правдоподобию» мало отличающейся от истинной. Разноименные координаты одной или разных целей закодированы несходно, их перестановка в функции правдоподобия недопустима. (Несходность, однако, еще не означает полной несвязанности при небольших отклонениях.)

При исходном кодировании параметров функция правдоподобия приобретает многопиковую структуру. Эти случаи далее из рассмотрения исключаются.

В указанных упрощенных условиях, вполне достаточных, например, для рассмотрения одновременного измерения нескольких координат одиночной цели, функция правдоподобия на указанном подынтервале наблюдения в -мерном пространстве параметров оказывается одиночным изолированным пиком. На всем интервале наблюдения она приближенно выразится через произведение функций правдоподобия на подынтервалах. Ее логарифм аналогично одномерному случаю может быть аппроксимирован квадратичной формой, являющейся усеченным многомерным рядом Тейлора, так что

где вектор-столбец, координаты которого по предположению близки к истинным значениям измеряемых параметров.

Как и в одномерном случае, полезны два конкретных разложения типа (12.3.6). Первое производится в точке многомерной оптимальной оценки параметров (к — сложный вектор-столбец рассмотренного типа). Обозначая

и вводя матричную запись с блочными вектор-столбцами и блочной квадратной матрицей где элемент-подматрица равна имеем вместо (12.3.6) соотношение

формально совпадающее с одномерным (6.6.3).

Второй тип разложения соответствует где - точка максимального значения и имеет вид

Здесь матрица А определяется через вторые производные в точке X и практически совпадает с матрицей А.

Соотношения (12.3.8) и (12.3.9) будут использованы для синтеза многомерного оптимального измерителя.