12.4.2. Гауссовы когерентные сигналы

Как и в § 6.7, для общности рассматриваем случай, когда каждое из входных напряжений имеет вид

т. е. состоит из целой совокупности различно модулированных компонент с разными корреляционными свойствами, зависящих в данном случае от нескольких параметров белых шумов

Весь набор функций (12.4.9) можно представить в виде

где сложная околодиагональная матрица коэффициентов модуляции диагональным элементом которой является столбец

где сложный вектор-столбец, элементом-подстолбцом которого является набор

отражающий случайные модуляции, простые вектор-столбцы порядка составленные из входных реализаций и шумов Корреляционная матрица всего набора смесей (12.4.9) равна

где сложная матрица-функция порядка с элементами-подматрицами причем является функцией взаимной корреляции случайных процессов полагаемых стационарными. Матрица в (12.4.11) является матрицей спектральных плотностей белых шумов, как и в п. 12.4.1, и не обязательно диагональной.

Матрица обратная к (12.4.11), которая необходима для построения функционала правдоподобия, как и в § 6.7, ищется в виде

откуда для вспомогательной матрицы-функции структурно подобной имеем интегральное уравнение

где матрица, определяемая видом регулярных модуляций и энергетическими свойствами сигналов.

Полагая модуляции всех отдельных компонент смесей быстро меняющимися, можно усреднить по времени под знаком интеграла, введя постоянную матрицу

Тогда преобразование Фурье от выразится в виде

где спектральная матрица флюктуаций всей совокупности полезных сигналов [т. е. преобразование Фурье от Таким образом,

где

— результат корреляционной обработки смеси с целью выделения из нее 6-й компоненты сигнала и с одновременным переносом колебаний на промежуточную частоту Огибающие импульсных реакций выбираются физически реализуемыми и такими, чтобы выполнялось равенство

где — элемент сложной матрицы определяемой соотношением (12.4.15).

Операщ/я дискриминатора в случае, когда обобщенные отношения сигнал/шум не зависят от к выражается формулой, полученной дифференцированием (12.4.10) по

Примеры оптимальной обработки нескольких входных сигналов уже приводились в предыдущих главах, поэтому ввиду чрезмерной общности случая (12.4.18) схему дискриминаторов разумно приводить лишь при изучении конкретных примеров.

Для элемента матрицы в самом общем случае совокупности нормальных процессов с корреляционной матрицей и ей обратной имеет место формула, аналогичная (6.7.65):

В рассматриваемом случае это дает

где

— матрицы, структурно подобные матрице Если существуют постоянные пределы

то с учетом (12.4.15) соотношение (12.4.20) упрощается

Для того простого примера, когда а мощность сигнала есть так что имеем

где

Достаточным (но не необходимым) условием диагональности матрицы К является здесь наличие у каждого сигнала только амплитудной или только фазовой модуляции, зависящих не более, чем от одного параметра. Но эта диагональность может наблюдаться в среднем и в ряде других случаев.

Совершенно в том же плане может быть рассмотрен случай слабо коррелированных посылок когерентного

импульсного сигнала (см. § 6.7). В дальнейшем мы остановимся только на предельном случае некогерентных независимо флюктуирующих гауссовых посылок.