6.6.2. Оптимальный следящий измеритель при гауссовой статистике измеряемого параметра

Теперь, когда подготовлено математическое описание функции правдоподобия, необходимо задаться конкретным видом многомерного распределения вероятностей измеряемого параметра.

Ниже вплоть до § 6.9 мы будем интересоваться гауссовым распределением, что кроме математического удобства объясняется и рядом других причин.

Во-первых, в значительном числе важных приложении случайный характер изменения определяется только случайностью значений некоторых начальных условий. Последние от воли человека не зависят и при

множестве возмущающих факторов могут считаться нормально распределенными, что ведет к нормальному или близкому к нему распределению

Во-вторых, изменение во времени самого параметра часто происходит под воздействием большого числа независимых случайных возмущений, что тоже приводит к нормальному распределению вероятностей. Наконец, статистика параметра может быть известна неполностью, и может быть задана лишь функцией корреляции. Как мы убедимся в § 6.9, при таких ограниченных знаниях предположение о нормальном распределении обеспечивает наилучшие результаты по сравнению с любыми возможными распределениями с данной функцией корреляции.

Итак, пусть априорное распределение имеет следующий вид:

где корреляционная матрица случайной составляющей обратная ей матрица [на интервале вектор-столбец среднего значения.

Обратимся к соотношению (6.5.42) физически реализуемого оператора фильтрации.

Первым методом нахождения оптимального измерителя является непосредственное интегрирование. Подставляя (6.6.3) и (6.6.8) в (6.5.42) и обозначая

проводя под знаком интеграла преобразование переменных и отбрасывая независящие от множители, имеем уравнение

Отсюда после группировки членов, пользуясь симметрией матрицы V, получаем

где обозначено

Вводя матрицу матрице на интервале вместо (6.6.10) согласно [8] имеем уравнение

Дифференцирование в и подстановка значения из (6.6.11) дает далее

Отсюда, прибавляя и вычитая из элемент матрицы А, учитывая, что где I — единичная матрица, и раскрывая значения х, окончательно имеем

Другой метод нахождения оптимального измерителя основан на непосредственном изучении выражения для апостериорной вероятности Этот метод в данном случае даже более удобен, хотя в общем случае и не всегда применим. После умножения априорного распределения (6.6.8) на аппроксимацию функции правдоподобия (6.6.3) приведем логарифм образовавшейся функции к виду

где скаляр вектор и матрица не зависят от

текущего аргумента Определяя коэффициенты при различных степенях X, легко убедиться, что

где С — матрица, обратная

В то же время из самого вида выражения (6.6.14) следует, что имеет смысл той точки симметрии (в многомерном пространстве) апостериорного распределения, о которой шла речь в § 6.5. Естественно, что она и должна соответствовать оптимальной оценке Тогда из соотношения (6.6.16), рассматриваемого в последний момент наблюдения снова вытекает выражение (6.6.13), определяющее оптимальный измеритель.

Соотношение (6.6.13) связывает значение оценки в последний момент наблюдения с оценками во все предыдущие моменты и в сущности является нелинейным уравнением относительно величин Эта нелинейность обусловлена тем, что значения оценки X входят в уравнение не только непосредственно, но и через коэффициент разложения функции правдоподобия Если отвлечься от этой зависимости, то оптимальный оператор линеен по отношению к вектору Матрица линейного преобразования С согласно (6.6.15) удовлетворяет уравнению

или в развернутом виде

где согласно принципу использования лишь предыдущих данных предполагается, что при

Соотношение (6.6.13) при дискретном наблюдении дает алгоритм построения динамической системы, моделирующей процесс непрерывного решения (6.5.42) с использованием прежних результатов оценки и вновь

приходящих данных. Вся предыстория выборки у отображается сделанными в более ранние моменты оценками параметра: для образования новых оценок нет нужды вновь обращаться к прежним значениям выборки. Такое свойство операторов обработки технически очень удобно.

Некоторое упрощение выражений (6.6.13) и (6.6.18) можно произвести, если учесть, что при медленных изменениях матрица А диагональна, т. е. состоит из элементов

Рис. 6.12. Элементарные интервалы наблюдения: огибающая реализации

Действительно, интервалы статистической связи всех несущественных параметров входной смеси много меньше времени приближенного постоянства интервала корреляции параметра Как это иллюстрируется рис. 6.12, каждый момент наблюдения соответствует своему замороженному значению параметра Первое дифференцирование логарифма функции правдоподобия по фактически производится лишь на подынтервале возле Второе дифференцирование по которое образует матрицу А, дает результат, отличный от нуля лишь при совпадающих индексах Если учесть это обстоятельство, выражения (6.6.13) и (6.6.18) перепишутся в виде

Вообще говоря, как следует из анализа, аналогичного приведенному в [8], диагональность матрицы А

одновременно свидетельствует о что диагональные элементы этой матрицы с некоторым приближением могут быть заменены на свои средние значения Однако далее будет показано, что это несколько снижает точность измерения, так что столь далеко идущее упрощение нецелесообразно.

Непосредственной подстановкой нетрудно убедиться, что (6.6.19) может быть приведено к более простому виду

где треугольная матрица при определяется уравнением

Установим смысл величины Для этого представим эту величину разложением в ряд Тейлора в окрестности точки совпадающей с истинным значением параметра входной смеси. Очевидно, что

где матрица и отличаются от только тем, что значения их элементов как функций параметра берутся не в точке , а в точке, совпадающей с истинным значением параметра Поскольку по предположению близки, то свойства с одной стороны, с другой стороны, практически совпадают. Величины в формуле (6.6.23) не зависят от значений оценки и так как согласно определению

то легко убедиться, что имеют нулевые (по ансамблю входного сигнала средние значения. Иными словами, дискретный случайный процесс имеющий место даже при точном совпадении оценки с истинным значением является чисто флюктуационным возмущением.

Вторая составляющая величины представленной в виде (6.6.23), оказывается пропорциональной текущему рассогласованию между истинным и оценочным значениями параметра. Коэффициент пропорциональности является случайной величиной с некоторым положительным средним значением. Таким образом, согласно (6.6.23) величина является мерой рассогласования между истинным и оценочным значениями параметра. При малых эта мера в среднем линейна. В общем случае существенны и члены с более высокими степенями так что величина может быть представлена разложением в ряд Тейлора по степеням со случайными коэффициентами, зависящими только от реализации входного сигнала. Описанные свойства качественно совпадают со свойствами выходных сигналов известных на практике устройств выделения сигнала ошибки — дискриминаторов (см. § 6.2).

Перейдем теперь к выяснению смысла величины являющейся текущим значением второй производной от логарифма функции правдоподобия. Если параметр к зафиксировать, то среднее значение этой производной, взятой в точке истинного значения будет полностью характеризовать точность измерения параметра. Как уже указывалось, из-за близости и к значения вторых производных в двух этих точках практически совпадают. Тогда можно заключить, что значение характеризует текущую точность единичного замера параметра в момент наблюдения.

Из теории оценок, а также метода наименьших квадратов известно, что при неодинаковых ошибках отдельных измерений результаты этих измерений должны использоваться для вычисления окончательного результата с весовыми множителями, обратно пропорциональными дисперсиям отдельных независимых замеров, считающихся известными. Наш анализ показал, что учет перавпоточности должен производиться и в

рассматриваемом случае оптимального измерителя, причем мерой неравноточиости, обратно пропорциональной дисперсии, здесь служит текущее значение образуемое в самой схеме измерителя.

Получив соотношения (6.6.19) и (6.6.21) и исследовав смысл величин можно было бы перейти к интерпретации указанных соотношений в виде блок-схем, реализующих оптимальный фильтр-измеритель. Однако это не вполне удобно делать при дискретном наблюдении, поскольку пришлось бы разъяснять, например, каким образом можно схемно образовать дискретную выборку от входной смеси, обычно являющуюся высокочастотным сигналом. К случаям, когда дискретность действительно оправдана из физических или технических соображений, мы вернемся в следующем пункте, а пока перейдем к непрерывному наблюдению, имеющему непосредственное практическое приложение в радиолокации.

С помощью предельного перехода получим непрерывные аналоги формул (6.6.19) — (6.6.24). Обозначив замечаем, что согласно (6.6.20) — (6.6.22) характер стремления к пределу элементов матрицы тот же, что и у элементов матрицы для которых Поэтому при предельном переходе следует ввести функции

Тогда из формул (6.6.19), (6.6.23) следует, что для существования пределов необходимо, чтобы величина стремилась к нулю при как а элемент матрицы А — как Это требование будет выполнено, если величины могут быть представлены в виде

где некоторые случайные функции времени.

Вид этих функций будет пояснен на примерах в дальнейшем, однако полезно подчеркнуть, что соотношение (6.6.26) определяет целый класс статистически эквивалентных, но в общем случае не равных функций, которые дают при интегрировании одинаковый результат Таким образом, непрерывный аналог определен неоднозначно: нас устраивают любые статистически эквивалентные функции.

В тех же условиях, в которых матрица диагональна, т. е. следует полагать

где предел величины при а -функция образуется в пределе из Тогда выражения (6.6.19) — (6.6.22) приводятся к виду:

Соотношение (6.6.29) можно представить блок-схемой рис. 6.13. Входной сигнал подается на нелинейные элементы 1 и 2. Они формируют соответственно величины Величина непосредственно определяет усилений безынерционного усилителя К и, кроме того, в качестве регулировки подается на фильтр С. Величина складывается с напряжением на выходе усилителя К и подается на инерционный фильтр С, импульсная реакция которого зависит от величины

После сложения с априорным средним значением образуется оценка параметра Она используется для управления характеристиками элементов 1, 2. Еще одна петля внутренней связи замыкается с выхода фильтра С через усилитель К.

Опнсанная схема обработки является сложной самонастраивающейся системой, содержащей перестраиваемые нелинейные элементы 1,2 и линейные фильтры импульсные реакции которых меняются при изменении входного сигнала определяются случайными факторами.

Рис. 6.13. Двупетлевой вариант схемы оптимального следящего измерителя: 1 — дискриминатор; 2 — блок точности; С — линейный фильтр с импульсной реакцией ; К — безынерционный усилитель с коэффициентом усиления К.

Присвоим названия нелинейным элементам 1, 2. Производя для разложение, аналогичное (6.6.23), получим

где первое слагаемое белый шум, интенсивность которого не зависит от рассогласования между истинными и измеренными значениями параметра, а второе слагаемое пропорционально рассогласованию с переменным коэффициентом пропорциональности Эти свойства качественно совпадают со свойствами выходного сигнала дискриминатора. Поэтому элемент 1 разумно назвать оптимальным дискриминатором. Общим для практически известных и оптимальных дискриминаторов является сходный характер дискриминационных и флкжтуационных характеристик. Дискриминационная характеристика элемента 1, как это будет следовать из примеров гл. 7—11, имеет ограниченный линейный участок и на бесконечности стремится к нулю.

Величина согласно (6.6.33) является переменной случайной крутизной оптимального дискриминатора,

определяемой возле пулевых рассогласований, а ее нее по ансамблю значение - крутизной дискриминатора в обычном смысле. Для элемента 2 подобрать название несколько труднее, поскольку аналогичный элемент в практических измерителях обычно отсутствует. Выше указывалось, что величина а следовательно, и аналогичная ей функция характеризует дополнительно текущую точность измерения. Поэтому назовем элемент 2 блоком точности.

Рис. 6.14. Однопетлевой вариант схемы оптимального следящего измерителя: 1 — дискриминатор; 2 — блок точности; линейный фильтр с импульсной реакцией.

Связь между двумя толкованиями очевидна, поскольку уменьшение текущей точности происходит именно из-за снижения крутизны дискриминатора. В § 6.2 флюктуации крутизны дискриминатора были названы параметрическими флюктуациями, а также было показано, что они вызывают увеличение ошибки измерения в практических схемах, в которых не принято мер к ослаблению их влияния. Регулировка сглаживающих фильтров в оптимальных измерителях предназначена для снижения влияния параметрических флюктуаций.

Перейдем теперь к трактовке соотношения (6.6.30) в виде блок-схемы. Замечаем, что полученный вариант оптимального измерителя представляет собой несколько более простую следящую систему с петлями обратной связи и прямого регулирования (рис. 6.14). Основными элементами этой системы опять являются оптимальный дискриминатор и единый линейный фильтр осуществляющий сглаживание.

Принципиально важной для работы системы, как и в варианте рис. 6.13, является обратная связь с ее выхода на дискриминатор, необходимая для изменения

настройки дискриминатора. В процессе этого изменения в каждый момент времени нуль дискриминационной характеристики, имеющей ограниченную зону линейности, подстраивается приблизительно под истинное значение закодированное во входной смеси. Тем самым система осуществляет сопровождение реализации процесса Структура линейного фильтра определяется уравнениям (6.6.31), (6.6.32), согласно которым он обладает переменными случайно изменяющимися параметрами. Посредством функции корреляции его свойства зависят от априорной статистики изменения а через величину статистики и реализации входной смеси Формирование опять осуществляется с помощью блока точности 2, в свою очередь управляемого выходными данными системы.

Измерители близкой структуры уже используются на практике. То обстоятельство, что оптимальное решение в каких-то условиях принципиально близко к практически используемым, является весьма примечательным. Теоретическое решение позволяет оптимальным образом выбрать характеристики отдельных элементов измерителя, в частности найти оптимальные операции дискриминатора. Необходимость в блоке точности и в специальной регулировке сглаживающих цепей является новым результатом, вытекающим из теории.

Укажем, что схемы рис. 6.13 и 6.14 совершенно эквивалентны. Поскольку в первой из них существует две основные петли связи, замыкающиеся на дискриминатор и блок точности и отдельно на сумматор, стоящий после дискриминатора, а во второй — одна основная петля, условно будем называть схему рис. 6.13 двупетлевым, а схему рис. 6.14 — однопетлевым вариантами оптимального измерителя.

Дальнейшая конкретизация решения задачи оптимального измерения для различных статистических свойств входной смеси состоит в нахождении операций образования величин аппаратурной реализации этих операций. Кроме того, необходимо установить алгоритм сглаживания в линейных фильтрах при различных видах функции корреляции параметра и различных видах

Для удобства нахождения в дальнейшем операций дискриминатора и его характеристик остановимся несколько

подробнее на величинах и Очевидно, что в общем случае функция правдоподобия может быть выражена через произведение условных вероятностей в виде

где плотность условного распределения при заданных

Тогда, если существует функционал правдоподобия, он согласно (6.6.34) может быть представлен в виде

где некоторый функционал реализаций случайных функций при

В частном случае может быть непосредственно функцией в момент времени х. Примером может служить функционал плотности вероятности регулярного сигнала на фоне белого шума (6.6.1), на котором в § 6.7 мы остановимся подробнее.

Предположим, что иитеграл в формуле (6.6.35) можно представить в виде суммы интегралов по интервалам длительности При этом за время А значение параметра практически не меняется, а отрезки реализации в соседних интервалах, если исключить краевые эффекты, статистически не связаны, так что интеграл по элементарному интервалу фактически зависит от значения только на этом интервале. Тогда сопоставление соотношений (6.6.35) и (6.6.26) показывает, что выходное напряжение дискриминатора статистически эквивалентно величине

где функционал образуется при замороженном значении параметра равном значению оценки в момент , а реализация берется при

Статистически эквивалентная функция получается к в том случае если, например, функциональную зависимость от реализации распространить к область поскольку оператор обладает фильтрующими относительно момента свойствам т. е. действует на интервале, значительно меньшем времени заметного изменения Физической же реализуемости подобных операторов можно добиться путем введения задержки на величину эффективного действия оператора.

Аналогично (6.6.36) определяется операция блока точности

по которой легко вычисляется средняя крутизна

Перейдем теперь к характеристикам результирующей точности измерения. Сначала изучим случай дискретного наблюдения. Очевидно, что любой статистический момент разностей определяется соотношением

где снова апостериорное распределение Подставляя в (6.6.38) апостериорное распределение

которое получается умножением на введением нормирующего множителя, приходим к интегралам с многомерными гауссовыми функциями, вычисляемым по частям либо с помощью многомерной характеристической функции.

В частности, как легко убедиться,

Это показывает несмещенность оценки, что не является неожиданным обстоятельством (см. § 6.5). Функция корреляции ошибки измерения равна

Кплвых

Дисперсия ошибки измерения равна

Таким образом, ошибка выражается через значение усредненное по ансамблю входных сигналов.

Формулы для случая непрерывного наблюдения получаются путем предельного перехода из (6.6.41)- (6.6.42):