6.9.2. Синтез измерителя при неизвестной статистике. Минимаксное решение

Теория статистических решений обычно имеет дело с двумя крайними случаями - полного априорного знания и полного априорного незнания. Первый из этих случаев подробно рассматривался выше. В последнем случае синтез оптимальных решающих устройств осуществляется на основе принципа минимакса.

Применительно к задаче синтеза оптимального измерителя мы будем иметь в виду под случаем полного априорного незнания такой случай, когда относительно функции известно только, что она остается практически постоянной в течение некоторых интервалов времени Никаких сведений о законе изменения измеряемого параметра от одного дискретного значения к другому при этом не имеется.

Минимаксное решение строится следующим образом.

Для каждой возможной оценки определяется

условный риск как функция , находится его максимум по всем , а затем выбирается такая оценка для которой этот максимум был бы наименьшим. Минимаксная оценка определяется соотношением

Характер ее оптимальности заключается в том, что она минимизирует максимальное значение условного математического ожидания функции потерь.

В настоящее время прямые способы построения минимаксных решений не разработаны, и их нахождение основывается на теореме Вальда [63]. Минимаксное решение является байесовым решением относительно некоторого априорного распределения, которое дает максимальную величину байесова риска, т. е. удовлетворяет соотношению

где байесовы оценки относительно априорных распределений и и дает условный риск с не зависящей от к величиной для всех значений к, имеющих согласно распределению ненулевую априорную вероятность. Само распределение с плотностью называется наименее предпочтительным, является минимаксной оценкой, удовлетворяющей (6.9.17). Эта теорема, особенно вторая ее часть, имеет фундаментальное значение, хотя эффективное ее использование для получения минимаксных решений довольно затруднительно.

Рассмотрим один важный случай. Пусть функция потерь простая (6.5.5). Рассмотрим байесову оценку для равномерного априорного распределения. Средний риск в данном случае определится как

откуда следует, что оптимальной оценкой к является то значение к, которое обращает в максимум функцию правдоподобия Таким образом, мы приходим к оценке максимального правдоподобия для векторного параметра Я, которая при соблюдении условий аналитичности определяется из системы уравнений правдоподобия

Если далее условный риск для оценки максимального правдоподобия оказывается независящим от к, то эта оценка на основании теоремы Вальда является минимаксной. Нетрудно убедиться, что достаточным условием этого является возможность представления функции правдоподобия в виде

где четная положительная функция векторного аргумента; интегрируемая по у функция, которая в силу неотрицательна.

Тогда оценка максимального правдоподобия равна Кроме того, вектор является минимаксной оценкой для любой симметричной функции потерь, что доказывается аналогично п. 6.5.3.

Таким образом, минимаксное решение задачи фильтрации при некоторых условиях состоит в образовании последовательности оценок максимального правдоподобия для значений по интервалам постоянства измеряемых параметров Само условие (6.9.19) сводится фактически к существованию эффективных оценок для параметров на интервалах времени длительностью А. Практически, конечно, достаточно получить приближенную эффективность и соответственно возможность представить функцию правдоподобия в виде (6.9.19) с удовлетворительной степенью приближения.

Рассмотрим один полезный пример. Пусть на входе решающего устройства имеется аддитивная смесь полезного параметра и помехи

а функция потерь квадратичная. Подобной смесью может считаться выходной сигнал дискриминатора измерителя, с которым просуммировано измеренное значение параметра. Условия справедливости такого представления выяснялись выше. Тогда оптимальная оценка вектора к при любом априорном распределении имеет вид

где плотность распределения вектора

Предположим, что априорное распределение "равномерно" во всей бесконечной области существования k. Тогда, заменяя переменную интегрирования в (6.9.20) получим

т. е. оценка к с точностью до постоянного слагаемого, не зависящего от у, совпадает с сигналом у. Условный риск для оценки (6.9.21) при равномерном распределении равен

( корреляционная матрица помехи) и оказывается независящим от k. Следовательно, решение (6.9.21) является минимаксным решением задачи фильтрации сигнала из аддитивной смеси с помехой

Полученное решение имеет ясный физический смысл. Действительно, при отсутствии каких-либо априорных сведений относительно реализация входного сигнала в качестве оценки будет наилучшей из того, что может быть предложено. Ошибка измерения при этом, как и должно быть, просто равна дисперсии помехи Используя априорно предполагаемое постоянство на интервалах длиной можно несколько уменьшить ошибку измерения. Однако все же остается справедливым вывод, что при отсутствии каких-либо сведений о траекторных свойствах цели эффективное

сглаживание не может быть осуществлено, и ошибки единичных замеров целиком пересчитываются в результирующие ошибки.