10.14.2. Ошибки угломеров при сглаживающих цепях с постоянными параметрами

Обычно в сглаживающих цепях радиолокационных угломеров используются фильтры с постоянными параметрами. При этом существенно, что структура сглаживающих цепей следящих угломеров в отличие от дальномеров и измерителей скорости оказывается в ряде случаев довольно сложной, поскольку сглаживающие цепи включают в себя такие элементы, как исполнительные двигатели, усилители мощности и т. д., необходимые для вращения антенны.

Изменения сглаживающих целей могут быть осуществлены при этом лишь введением дополнительных корректирующих звеньев. Используемые на практике

передаточные функции сглаживающих цепей имеют один из следующих видов:

где

Сглаживающие цепи простейшего типа в виде интегратора (RС-фильтра) или же двойного интегратора (двойного RC-фильтра) с коррекцией, подробно изученные в предыдущих главах, в практике радиолокационных угломеров почти не встречаются. Поэтому мы займемся изучением измерителей при наличии сглаживающих цепей типа (10.14.3), используя приближенные методы расчета, разработанные в радиолокационной автоматике, так как получение точных результатов здесь весьма затруднительно ввиду сложности этих выражений.

Сглаживающие цепи характеризуются добротностью и постоянными времени

Однако на практике сглаживающие цепи выгоднее характеризовать так называемыми обобщенными параметрами, имеющими значительно больший физический и технический смысл: добротностью частотой среза и запасом устойчивости по фазе

Частота среза определяется соотношением

запас устойчивости по фазе

Эти параметры обучно бывают заданными.

Связь постоянных времени с параметрами вообще говоря, довольно сложна, однако с точностью, достаточной для практических применений, она может быть установлена следующим образом. Будем

для примера рассматривать только функцию из (10.14.3). Результаты для остальных передаточных функций устанавливаются совершенно аналогично. Из (10.14.4) имеем

Легко видеть, что полагая при и при для получаем

Такой же результат получается и для передаточной функции Для передаточных функций типа аналогичным способом найдем

Рассмотрим теперь фазо-частотные характеристики. Имеем

Считая, что при и при легко получить, что для

где

Для передаточных функций аналогичные выражения будут иметь соответственно вид

Анализ погрешностей использованных приближений показывает, что погрешности здесь вполне допустимы [52].

Как видно из выражений (10.14.6) и (10.14.10), постоянные времени определяются параметрами неоднозначно, т. е. существует широкий класс систем с заданными но с различными постоянными времени Поскольку основные параметры фиксированы, то эти системы обладают примерно одинаковыми динамическими свойствами; различие постоянных времени играет менее существенную роль. Однако с точки зрения эксплуатации наиболее выгодными оказываются системы, у которых отношение минимально [52]. При этом в частности, система имеет мало меняющуюся фазочастотную характеристику вблизи частоты среза, что обеспечивает постоянство при изменении усиления. Поэтому практически используются в основном системы, обладающие при заданных минимальным значением отношения Мы в дальнейшем и ограничимся рассмотрением таких систем.

Используя выражения (10.14.8) и (10.14.10), в табл. 10.1 приведем минимальные значения отношения при фиксированных

Из этой таблицы легко получить выражения для постоянных времени через основные параметры цепей сглаживания приведенные в табл. 10.2.

Изложенное можно резюмировать следующим образом. Сглаживающие цепи угломерных систем характеризуются основными параметрами Передаточные функции цепей сглаживания имеют вид (10.14.3), где выражаются через с помощью табл.

Таблица 10.1 (см. скан)

Таблица 10.2 (см. скан)

Численные величины основных параметров для реальных следящих систем имеют различные значения. Запас устойчивости по фазе обычно выбирается так, чтобы Обычно могут иметь те или иные значения в зависимости назначения

радиолокационного угломера: Отсюда с помощью табл. 10.2 легко установить порядок постоянных времени

Перейдем к изучению флюктуационных ошибок. Эти ошибки, как известно, выражаются через эффективную полосу следящей системы.

Вычислим эффективные полосы замкнутых систем для всех типов цепей сглаживания Они определяются выражением

где крутизна дискриминационной характеристики радиотракта.

Подставляя вместо последовательно выражения из (10.14.3) и производя вычисления этого интеграла в каждом случае, получаем (вычислено М. М. Креймерманом):

Выражения (10.14.12) — (10.14.15) дают точные значения эффективных полос пропускания замкнутой системы. Можно их выразить через параметры согласно формулам (10.14.6) — (10.14.10). Для больших значений что практически всегда имеет место, в табл. 10.3 приведены простые приближенные выражения для эффективных полос замкнутой следящей системы.

Поскольку зависит от отношения сигнал/шум в радиотракте, то также будет зависеть от этого отношения. Отметим, что при больших запасах устойчивости по фазе для всех типов передаточных функций имеет один и тот же асимптотический вид

Зная эффективную полосу замкнутой следящей системы, мы можем написать выражение и для флюктуационной

Таблица 10.3 (см. скан)

ошибки измерения угла, которая равна Для уменьшения флюктуационной ошибки необходимо, очевидно, уменьшать Как видно из табл. 10.3, для уменьшения нужно уменьшать однако необходимо учитывать, что динамические ошибки будут при этом возрастать. Оптимальные значения параметров сглаживающих цепей должны выбираться из соображений компромисса динамических и флюктуационных ошибок.

Несколько слов об использованном нами условии позволяющем получить весьма простые выражения для эффективных полос. Это условие выполнено практически всегда, если При уменьшении как видно из выражения (10.14.1), начинает падать, и при достаточно малых значениях приближенные выражения для эффективных полос табл. 10.3 будут уже несправедливы. Это необходимо иметь в виду при практических расчетах.

В качестве примера вычислим флюктуационную ошибку измерения угла системой, использующей АМС

со схемой рис. 10.17 (или метод сканирования с компенсацией со схемой рис. 10.15). Предположим, что сглаживающие цепи имеют передаточную функцию типа Будем считать, что АРУ замкнута через суммарный канал.

Для вычисления флюктуационной ошибки используем формулы (10.7.5) для и (10.14.1) для заменяем на отношение сигнал/шум в суммарном канале, а Выражение для эффективной полосы берем из табл. 10.3. Имеем

Примем в Отношение будем менять. Графики зависимости от при различных построены на рис. 10.38. При пользовании этими графиками необходимо учитывать, что выражение (10.14.16) справедливо, как уже отмечалось, при т. е., если выражение (10.14.16) справедливо лишь при Это означает, что графики рис. 10.33 справедливы лишь до значений Например, при должно быть при имеем значительно большие ограничения на допустимую область значений 33). Чтобы иметь зависимость от справедливую при всех значениях необходимо в (10.14.16) подставлять точное значение эффективной полосы замкнутой системы (10.14.12) — (10.14.15). Это привело бы к весьма громоздким выражениям, и поэтому ограничимся лишь приведенными приближенными расчетами, охватывающими, кстати говоря, наиболее интересные для практики случаи,

Займемся теперь изучением динамических ошибок следящих угломерных систем. Прежде всего рассмотрим воздействие вида

где известные функции; случайные нормально распределенные коэффициенты с характеристиками

Рис. 10.38. Пример зависимости флюктуационной ошибки следящего угломера от отношения сигнал/шум:

Представление воздействия в виде (10.14.17) является довольно общим и охватывает большое число

практически важных случаев. Об этом уже подробно говорилось предыдущих главах.

В гл. 6 показано, что средний квадрат динамической ошибки в рассматриваемом случае будет выражаться формулой

где функции имеют преобразования Лапласа

— преобразование Лапласа функций передаточная функция сглаживающих цепей.

Для сглаживающих цепей любого из рассматриваемых здесь типов, имеющих астатизм 1-го порядка, при больших будем иметь

Формула (10.14.19) наиболее часто употребляется на практике для оценки динамических ошибок следящих систем. Соотношения (10.14.18) и (10.14.19) показывают, что установившееся значение динамической ошибки существует лишь в случае, когда функции имеют ограниченную 1-ю производную. В противном случае динамическая ошибка неограниченно нарастает. Например, в случае линейных функций

будем иметь

Средний квадрат динамической ошибки при этом равен

Таким образом, динамическая ошибка обратно пропорциональна крутизне дискриминационной

характеристики и добротности . С уменьшением крутизны имеющей место при уменьшении отношения сигнал/шум, динамическая ошибка возрастает. Для примера на рис. 10.39 приведена зависимость величины от Аналогично могут быть рассмотрены ошибки при более сложных воздействиях вида (10.14.17).

Рис. 10.39. Пример зависимости динамической ошибки следящего угломера от отношения сигнал/шум при воздействии в виде известных функций со случайными коэффициентами.

В рассмотренном простейшем случае динамическая и флюктуационная составляющие полной ошибки сопровождения минимизируются независимо. Для понижения первой составляющей необходимо увеличивать добротность для понижения второй — частоту среза Однако рассмотрение более сложных воздействий приводит к более сложным условиям минимума полной ошибки, вытекающим из компромисса между динамической и флюктуационной ошибками.

Рассмотрим динамические ошибки при чисто случайных воздействиях. Как известно, при отработке

стационарного случайного воздействия со спектральной плотностью существует динамическая ошибка, средний квадрат которой равен

Для расчета по этой формуле аппроксимируем выражением

Рассмотрим частные случаи, имеющие место при различных соотношениях

Обратимся к функции передачи Воспользуемся приближениями

(которые уже использовались при выводе формулы (10.14.6)). Заметим, что при величина При этом

Аналогично для остальных типов передаточных функций получим следующие результаты: в диапазоне

величина во всех случаях одинакова и выражается формулой (10.14.26); в диапазоне Для передаточной функции квадрат ошибки имеет такой же вид, как и для выражается формулой (10.14.26), а для функций

Заметим, что полученные формулы имеют место, конечно, лишь для случая не слишком малых [чтобы справедливо было пренебрежение единицей в знаменателе подынтегрального выражения в (10.14.23)]. Постоянная времени в формулах (10.14.26) и (10.14.27) может быть заменена при желании выражением, содержащим параметры согласно табл. 10.3.

На рис. 10.40 построена рассчитанная по формуле (10.14.26) зависимость среднеквадратическое значение входного воздействия) от ширины спектра воздействия при различных При расчете этой зависимости полагалось сек. Отметим, что участок этой зависимости до гц справедлив при т. е. в формуле (10. 14. 1) допустимые отношения сигнал/шум Участок гц справедлив практически лишь при т. е. при достаточно малых шумах.

Перейдем к вопросу об оптимальном выборе параметров сглаживающих цепей при наличии случайного воздействия. Этот вопрос рассмотрим в чисто иллюстративном плане, поскольку полный анализ здесь провести весьма трудно. Предположим, что случайное воздействие имеет прямоугольный спектр (10.14.24) с Если

Рис. 10.40. (см. скан) Пример зависимости динамической ошибки следящего угломера от ширины спектра случайного воздействия.

сглаживающая цепь имеет передаточную функцию то полная ошибка слежения равна (при

Варьируя это выражение по легко получить, что оптимальная частота среза равна

а оптимальный запас устойчивости по фазе при рсопт т. е.

Подставляя это значение в (10.14.32), получаем (при

Таким образом, оптимальная частота среза пропорциональна ширине полосы спектра случайного воздействия; с ростом спектральной плотности этого воздействия возрастает, а с ростом падает; однако зависимость от этих величин довольно слабая.

Приведенный пример показывает, что существуют оптимальные значения параметров сглаживающих цепей, зависящие от типа воздействия. Оптимальные значения зависят также от отношения сигнал/шум (через крутизну и эквивалентную спектральную плотность и должны регулироваться с изменением этого отношения. Аналогичным способом могут быть исследованы случаи других воздействий.

Рассмотрим теперь вкратце вопрос о влиянии параметрических флюктуаций. Как было показано в гл. 6, наличие параметрических флюктуаций приводит к увеличению ошибок измерения. При сглаживающих цепях с постоянными параметрами это увеличение выражается соотношением (6.2.39). Как мы видели ранее, спектральная плотность параметрических флюктуаций почти во всех случаях выражается формулой (10.5.23) или (10.5.24). В п. 10.14.1 показано, что при наличии АРУ спектральная плотность параметрических флюктуаций уменьшается согласно соотношению (10.14.2). Отсюда получаем, что для рассматриваемой схемы ошибка

с учетом параметрических флюктуаций выражается формулой

где ошибка без учета параметрических флюктуаций, остальные обозначения прежние [см. обозначения к формулам (10.5.24) и (10.14.2)].