6.6.9. Оптимальный измеритель линейного функционала от параметра с гауссовой статистикой

В целом ряде случаев радиолокационной практики возникает необходимость измерения не только параметра, закодированного в принимаемой смеси сигнала с шумом но и некоторой линейной или нелинейной функции или функционала от закодированной величины. Примером служит измерение скорости объекта по показаниям дальномера в некогерентном радиолокаторе или измерение декартовых координат объекта по сигналу, в котором закодированы радиотехнические (обычно сферические) координаты этого объекта.

В настоящем разделе будут рассмотрены методы оптимального построения измерителей линейных функционалов от параметров с гауссовым распределением, непосредственно закодированных в Связь между устанавливается линейным интегральным соотношением

и целиком определяется видом функции В частном

случае, когда является производной порядка от -функции

является производной от Если то является -крат-ным интегралом от В качестве других примеров может рассматриваться функционал, являющийся некоторым сглаженным или упрежденным значением . Если некоторые функции и зависят от постоянных случайных параметров а мало отклоняющихся от своих средних значений а, так что

то можно разложить по степеням ограничившись членами первого порядка малости по Тогда получаем соотношения

по которым также можно установить приближенно линейную связь между и позволяющую рассматривать в качестве линейного функционала от

Метод синтеза оптимальных измерителей линейных функционалов тесно связан с методом синтеза измерителей непосредственно величины Как и в п. 6.6.2, удобно дискретизировать по времени все рассматриваемые величины. Аналогом (6.6.95) явится в этом случае соотношение

Проварьируем средний риск для при квадратичной функции потерь

где предполагается, что сигнал доступен наблюдению в моменты никак не связанные с моментом являющимся аргументом функционала В результате имеем уравнение

где нижние индексы у функции правдоподобия и априорного распределения означают моменты отсчета. Формальным решением (6.6.97) является

где введено условное математическое ожидание параметра в момент времени, составленное на основании наблюдения смеси в моменты

В § 6.5 указывалось, что условное математическое ожидание в принципе является оптимальной оценкой параметра. Однако все методы раскрытия оператора условного математического ожидания выше относились к случаю, когда оценка производилась для момента времени по выборке, полученной вплоть до момента. В соотношении же (6.6.98) условное математическое ожидание берется по выборке, кончающейся моментом, который может превышать В результате мы не можем непосредственно использовать метод получения оптимальных оценок, развитый в п. 6.6.2. Иначе говоря, при требовании физической реализуемости оператора образования оценки самого параметра линейный функционал от оценки, взятый согласно (6.6.98), не будет оптимальной оценкой линейного функционала. В практическом плане отсюда, например, следует, что простое дифференцирование показаний дальномера в общем случае не даст значения скорости объекта, измеренной с наименьшей ошибкой. Более того, можно указать случаи, когда это дифференцирование ведет к большой ошибке измерения, лимитируемой лишь полосой пропускания дискриминатора.

Для нахождения физически реализуемого решения уравнения (6.6.97) снова предположим выполнение условий, в которых функция правдоподобия может быть аппроксимирована гауссовой кривой (6.6.3), и примем

Гауссову статистику параметра Разложение логарифма функции правдоподобия будем проводить в точке текущей физически реализуемой оценки, что можно всегда потребовать заранее. Подставляя (6.6.3) и (6.6.8) в (6.6.97) и производя интегрирование согласно методике п. 6.6.2, с учетом диагональности матрицы вторых производных имеем

Здесь обратная матрица; матрица порядка определяемая соотношением

Наконец, матрица В определяется в развернутом виде соотношением

Из (6.6.101) с учетом значения можно получить уравнение

связывающее дискретный линейный оператор с функцией корреляции параметра и оператором линейного функционала

Другое представление решения (6.6.99) имеет вид

где связано с соотношением

в свою очередь, определяется через уравнениями (6.6.20) и (6.6.22), описывающими измеритель самого параметра

Рис. 6.21. Оптимальный измеритель линейного функционала на базе двупетлевого варианта измерителя параметра: 1 - дискриминатор; 2 — блок точности; С — линейный фильтр с импульсной реакцией К — усилитель с коэффициентом усиления -линейный фильтр с импульсной реакцией оператор линейного функционала.

Переход к непрерывному наблюдению дает

где связь в свете изложенного выше не требует пояснений; функция, связанная с интегральным уравнением, аналогичным (6.6.102):

Интерпретируем Соотношение (6.6.106) в виде блок схемы оптимального измерителя функционала от параметра. Согласно рис. 6.21 эта схема, во-первых, содержит полную блок-схему оптимального измерителя повторяющую схему рис. 6.13. От сумматора, соединяющего выход дискриминатора с внутренней петлей обратной связи в цепях сглаживания, делается отвод на линейный фильтр с импульсной реакцией

Рис. 6.22. Оптимальный измеритель линейного функционала на базе однопетлевого варианта измерителя параметра: 1 - дискриминатор; 2 — блок точности; линейные фильтры с импульсными реакциями — оператор линейного функционала.

Функцию, отображающую априорное среднее значение параметра, пропускают через фильтр Поскольку заранее известно, физически нереализуемых элементов при этом не возникает. Сложение двух образовавшихся выходных напряжений дает оптимальную оценку функциоала

Поскольку подтвердилось то предположение, что линейный функционал от оценки параметра не является оптимальной оценкой линейного функционала от этого параметра.

Другая модификация оптимальной схемы получается путем перехода к непрерывному наблюдению в соотношении (6.6.103):

Ее удобно сочетать с однопетлевым вариантом измерителя (рис. 6.14). Усложненный вариант совместного измерителя представлен на рис. 6.22. Выход дискриминатора обрабатывается линейным фильтром с импульсной реакцией удовлетворяющей соотношению, аналогичному (6.6.104):

где определяется функцией корреляции параметра согласно уравнениям (6.6.31), (6.6.32).

Для характеристик точности измерения линейного функционала можно получить следующие формулы:

Приведенные результаты показывают, что для оптимального измерения произвольного линейного функционала от параметра достаточно ввести в оптимальный измеритель самого параметра два дополнительных линейных фильтра, на один из которых делается отвод от цепей сглаживания, а на другой — от цепи подачи среднего значения Характеристики фильтров определяются видом функционала, функцией корреляции параметра и точностной характеристикой дискриминатора

В связи с этим для каждого вида функционала и корреляционных свойств определение вида фильтров представляет собой отдельную задачу, конкретному решению которой будет посвящен соответствующий

раздел в § 6.8. В отношении же нелинейной обработки входного сигнала в дискриминаторах и блоках точности для построения оптимальных измерителей функционалов будут достаточны те результаты, которые в конкретных условиях получены далее при различных статистических свойствах смеси и кодировках в ней