7.6.1. Прямоугольный импульс

Рассмотрим сначала модуляцию сигнала прямоугольными периодически повторяющимися импульсами длительностью Очевидно, что функция автокорреляции для такого сигнала есть

Характерной особенностью такого сигнала является бесконечная среднеквадратическая ширина спектра что формально приводит к бесконечной точности измерения дальности при любом отношении сигнал/шум. Фактически это не имеет места, так как фронт импульса всегда имеет конечную длительность Благодаря этому вершина функции не имеет излома и величина конечна. При рассмотрении оптимальной схемы и ее характеристик учет этих обстоятельств необходим, однако при анализе схемы с расстроенными каналами и схемы с переключениями мы с полным правом можем пользоваться функцией в форме (7.6.1), вычисленной

без учета фронта, если все время будем иметь в виду, что расстройка превышает длительность фронта, а равенство нулю понимается в том смысле, что но Если рассматривать гипотетический случай прямоугольного импульса со строго нулевой длительностью фронта, то, вообще говоря, используемый нами подход становится неприменимым. В этом случае логарифм функционала правдоподобия не имеет конечной второй производной и операции, вычисленные на основании замены этого функционала первыми членами разложения в ряд Тейлора, не имеют смысла. Такой неаналитический случай требует особого рассмотрения, которое вновь приводит к конечной точности измерения. Такое рассмотрение, однако, не имеет сколь-нибудь существенного практического интереса.

Подставляя (7.6.1) в соответствующие общие формулы для для крутизны и эквивалентной спектральной плотности получаем следующие выражения:

где обозначение, которое мы вводим для сокращения записи;

для двухканальной схемы

для схемы с переключениями

Напомним, что характеристики фильтров считаем оптимальными. Чтобы перейти в выражениях, относящихся к двухканальной схеме, к случаю LRC-фильтра с произвольной полосой здесь и далее следует заменить в формулах на х.

Зависимость от очень проста, крутизна убывает пропорционально 8. Зависимости (7.6.3) и (7.6.4) построены на рис. 7.14 и 7.15 соответственно. При , близком к спектральная плотность в обоих случаях неограниченно возрастает, при для двухканальной схемы она стремится к нулю (фактически к значению, определяемому длительностью фронта), а для схемы с переключениями — к

Рис. 7.14. Зависимость эквивалентной спектральной плотности от расстройки для двухканального дискриминатора.

Для последней схемы величина имеет минимум, существование которого следует использовать при выборе параметров дискриминатора. Этот вопрос уже обсуждался в § 7.4. Для рассматриваемого случая минимум достигается при

При величина Это означает, что при следует выбирать расстройку близкой к нулевой. При величина оптимальной расстройки тем больше, чем больше Все это подтверждает выводы п. 7.4.2 о характере зависимости оптимального от отношения

сигнал/шум. В нормальных условиях расстройка должна составлять Если то

Пусть теперь длительность стробимпульсов отличается от длительности импульса.

Рис. 7.15. Зависимость эквивалентной спектральной плотности от расстройки для дискриминатора с переключением опорных сигналов.

Будем считать для определенности (противоположный случай не интересен для практики). Обозначая в соответствии с (7.2.16) получаем

Подставляя эти выражения в формулы (7.3.17) и (7.3.21) для двухканальной схемы, убеждаемся, что крутизна уменьшается по сравнению с (7.6.2) в раз, а

Зависимость отношения от при разных относительных расстройках z построена на рис. 7.16. Это отношение мало меняется при изменении в достаточно широких пределах, особенно если расстройка мала.

Рис. 7.16. Влияние длительности стробирующего импульса на для прямоугольного импульса.

Из графика можно установить, какое расширение строба и при каких условиях можно считать допустимым. С достаточно хорошим приближением проигрыш в величине спектральной плотности можно считать равным при всех рабочих условиях.

Результаты для схемы с переключениями еще более просты. Так как коэффициент из (7.4.12) для

из (7.6.7) равен единице при всех а из (7.4.9) есть то все сводится к эквивалентному уменьшению отношения сигнал/шум в раз. При этом величина оптимальной расстройки уменьшается до

а эквивалентная спектральная плотность при любых по-прежнему характеризуется формулой (7.6.4) и графиком (7.15) при замене на