9.8.1. Точность измерения скорости системой с постоянными параметрами

Как следует из предыдущих глав, во многих случаях как наиболее распространенные практически, так и оптимальные сглаживающие фильтры линейны и обладают постоянными параметрами. Исследуем точность измерения скорости подобными системами.

Если обозначить через функцию передачи сглаживающего фильтра измерителя дальности или угла, то при соблюдении условия (9.8.1) преобразование Лапласа от выходной величины измерителя запишется в виде

где и преобразования Лапласа от соответственно.

Будем считать, что образование производной также осуществляется линейным фильтром с постоянными параметрами с функцией передачи Тогда преобразование Лапласа от выходной величины этого фильтра примет вид

Учтя, что для преобразованной по Лапласу ошибки измерения скорости имеем

Первый член в прямой части (9.8.4) изображает динамическую ошибку, а второй — флюктуационную ошибку.

Тогда динамическая ошибка измерения скорости может быть «айдена по формуле

где обратное преобразование Лапласа от

Дисперсия флюктуационной ошибки измерения скорости в установившемся режиме согласно (9.8.4) определяется как

Как и ранее, динамическую ошибку можно рассматривать статистически либо при неизвестной статистике определять ее по типовым возмущениям. При статистическом подходе будем считать заданными математическое ожидание координаты и ее функцию корреляции Тогда статистические характеристики динамической ошибки измерения скорости могут быть вычислены по известным из теории случайных процессов [9] формулам. В частности, при (условие стационарности случайной части дисперсия динамической ошибки в установившемся режиме

где преобразование Фурье от

Математическое ожидание динамической ошибки

При нестатистическом подходе к динамической ошибке измерения скорости будем представлять координату в виде полинома некоторой степени Ограничимся

рассмотрением установившегося режима. Тогда, воспользовавшись известной из теории динамических систем формулой (42], представим динамическую ошибку в виде

где производные некоторого заданного типового закона изменения координаты коэффициенты

При представлении полиномом степени ряд (9.8.10) включает только первые членов, и требование конечности при приводит к условию

Обычно для обеспечения малости динамических ошибок измерения координаты применяются сглаживающие цепи, - обладающие астатизмом некоторого порядка т. е.

где не содержит множителей . Подставляя (9.8.11) в (9.8.6), имеем

Потребуем, чтобы

где конечная величина, тогда

и первые коэффициентов в (9.8.10) равны нулю

Если полином, которым представляется координата имеет степень не выше, чем то обеспечивается нулевая динамическая ошибка измерения скорости. При

динамическая ошибка определяется коэффициентом

Условие (9.8.12) удовлетворяется, в частности, при применении чисто дифференцирующего фильтра, когда При этом также достигает минимума коэффициент а следовательно, и динамическая ошибка при Это, однако, не означает, что нужно применять идеальное дифференцирование дальности и углов, ибо из (9.8.7) следует, что флюктуационная ошибка уменьшается в случае, если имеет завал на высоких частотах. При этого завала вообще нет и при некоторых видах частотной характеристики фильтра следящего измерителя координаты дисперсия флюктуационной ошибки измерения скорости формально получается бесконечной. Обращаясь к фильтрам, не осуществляющим идеального дифференцирования, следует заметить, что при больших фильтры могут получаться достаточно сложными. Тогда, идя «а некоторое увеличение динамических ошибок, разумно на фильтр образования оценки скорости наложить условие

где конечная величина, При этом а

Вопрос о выборе фильтра для образования оценки рости мы рассмотрим ниже в процессе синтеза оптимального измерителя, однако вначале рассмотрим на примерах ошибки измерения скорости при некоторых обычных видах фильтров.

1. Пусть измеритель дальности или угла в качестве фильтра содержит интегратор, т. е. где К — общий коэффициент усиления разомкнутой следящей системы, имеющий размерность Допустим, что в качестве фильтра, предназначенного для измерения скорости, используется дифференцирующая RC-цепь, т. е.

Рассмотрение этого случая дает возможность получить все необходимые результаты и при чистом дифференцировании, если положить

Согласно (9.8.7) дисперсия флюктуационной ошибки

где дисперсия флюктуационной ошибки измерения координаты — эффективная полоса замкнутой следящей системы.

Из выражения (9.8.17) следует, что флюктуационная ошибка измерения скорости уменьшается с ростом постоянной времени дифференцирующего фильтра. При чистом дифференцировании дисперсия флюктуационной ошибки обращается в бесконечность. Это получается, конечно, вследствие принятых идеализаций, ибо мы считали белым шумом. В действительности вследствие некоторой инерционности дискриминатора это не белый шум. Приближенно можно считать, что спектральная плотность постоянна в полосе дискриминатора величина которой определяется видом операций и параметрами каждого данного дискриминатора, и равна а за пределами этой полосы равна нулю. Тогда интегрирование в (9.8.17) нужно производить в пределах и

При идеальном дифференцировании, т. е. при получаем

Таким образом, дисперсия флюктуационной ошибки измерения скорости и в этом случае является конечной

и определяется полосой дискриминатора При когерентном сигнале составляет величину порядка ширины полосы узкополосных фильтров дискриминатора, при некогерентном сигнале где частота повторения.

Рис. 9.33. Зависимость относительной флюктуационной ошибки измерения скорости от произведения коэффициента усиления разомкнутой системы К на постоянную времени дифференцирующей цепи при разных

На рис. 9.33 изображены кривые зависимости относительной флюктуационной ошибки измерения скорости от при разных отношениях полосы дискриминатора и замкнутой системы измерения координаты Кривые построены при значениях Для оценки порядка величин флюктуационных ошибок измерения скорости учтем, что весьма часто т. е. При этом, если выражать в метрах, то для получения нужно умножить на коэффициент, обычно численно равный нескольким единицам или даже десяткам. Так,

например, при и при по графику рис. 9.33 определяем, что

Перейдем к рассмотрению динамических ошибок. Подставляя выражения для и в (9.8.6), имеем

откуда а коэффициент в формуле (9.8.10) для динамической ошибки равен

Тогда, например, при

Из полученных выражений следует, что Ддии уменьшается с уменьшением Однако эта зависимость относительно слаба, поэтому не следует выбирать слишком малые величины чтобы не увеличивать в значительной степени флюктуационной ошибки. Выбор величины разумно производить, исходя из требования минимума полной ошибки измерения скорости. Например, если квадратична, Ддин определяется выражением (9.8.22), а оптимальное значение находится из услозяя При этом получаем зависимость от показанную на рис. 9.34. При малых х величина приблизительно пропорциональна х, при больших х она пропорциональна На том же рисунке показана зависимость относительной величины полной ошибки от Если в этой же системе усиление разомкнутой петли выбрано оптимальным из условия минимума ошибки измерения координаты то, как нетрудно показать,

и величина

Тогда из рис. 9.34 видно, что при малых х, имеющих место при больших ускорениях цели ошибка измерения скорости может превышать т. е. измерение скорости теряет смысл.

Рис. 9.34. Зависимости оптимального значения произведения (сплошная кривая) и относительной полной ошибки измерения скорости (пунктирная кривая) от параметра

При малых ускорениях, т. е. больших х и при оптимальном выборе как К, так и легко найти, что ошибка измерения скорости равна

Величина ошибки значительно сильнее зависит от ускорения чем от Если, например, в угломерной системе то град/сек при ускорении град/сека,

град/сек при град град/сек при град/сек.

2. Пусть сглаживающий фильтр следящего измерителя дальности или угла представляет собой двойной интегратор с коррекцией. Тогда

где К — коэффициент усиления разомкнутой петли, имеющий размерность — постоянная времени корректирующей цепи.

Рис. 9.35. Измеритель координаты и скорости ее изменения : 1 - дискриминатор; 2 — интегратор; 3 — интегратор с коррекцией.

Будем считать, что для образования оценки скорости, как и в предыдущем примере, используется дифференцирующая -цепочка, т. е. Ниже покажем, что наибольшая точность измерения скорости достигается при поэтому предположим это условие выполненным. Имея в виду равенство заметим, что при соблюдении упомянутых условий нет необходимости в установке специального дифференцирующего фильтра. В качестве оценки скорости можно использовать выход первого интегратора сглаживающих цепей следящей системы (рис. 9.35). При этом формулы для ошибок измерения, полученные выше, остаются справедливыми. Согласно (9.8.7) дисперсия флюктуационной ошибки измерения скорости

где дисперсия флюктуационной ошибки измерения координаты к — эффективная полоса замкнутой следящей системы. Зависимость относительной величины флюктуационной ошибки от безразмерного параметра построена на рис. 9.36.

Рис. 9.36. Зависимость относительной флюктуационной ошибки измерения скорости системой со сглаживающим фильтром, состоящим из двух интеграторов с коррекцией, от параметра

Ошибка достигает максимума при Если выбирать и иметь эффективную полосу системы , то флюктуационная ошибка измерения скорости т. е. составляет Ееличины, Меньшие, чем в системе первого порядка. Например, при и что соответствует переходу следящей системы от колебательной к апериодической, тогда как в примере, приведенном для системы первого порядка, эта ошибка составляет

Рассчитывая динамическую ошибку, имеем

При квадратичном законе изменения установившаяся ошибка равна

Нахождением оптимальных соотношений между параметрами системы мы здесь заниматься не будем, оставив этот вопрос до синтеза оптимальных измерителей скорости.

Представляет интерес рассмотрение для той же системы идеального дифференцирующего фильтра. В этом случае

Динамическая ошибка уменьшается по сравнению с предыдущим случаем, при квадратичном же она вообще отсутствует. Однако флюктуационная ошибка возрастает и, если не учитывать конечности ширины спектра обращается в бесконечность. Учитывая прежним образом конечность полосы дискриминатора, получаем

Флюктуационная ошибка увеличивается по сравнению со случаем в раз. При упомянутом выше выборе величин это составляет что соответствует большому проигрышу в точности измерения скорости.

3. Очень распространенным в практике видом сглаживающих цепей является цепь с функцией передачи

Постоянные времени при этом обычно удовлетворяют условию при котором обеспечивается устойчивость системы при любых К. Часто отношение выбирается в пределах в пределах . Порядок величин и обычно одинаков. Эффективная полоса замкнутой системы оказывается равной

Находя для такой системы ошибки измерения скорости в предположении, что осуществляется идеальное дифференцирование имеем

Вычисляя коэффициенты динамической ошибки, получаем

т. е. при квадратичном динамическая ошибка

как и в системе с одиночным интегратором. Однако выбором постоянных времени в рассматриваемом случае при заданной эффективной полосе можно получить большее значение коэффициента К и уменьшить тем самым динамическую ошибку. Практически удается увеличить усиление К примерно в раз по сравнению с системой,

обладающей одним интегратором. Зависимость относительной флюктуационной ошибки от параметра при различных приведена на рис. 9.37. Легко видеть, что при изменении в широких пределах Величина ошибки убываете ростом и с уменьшением однако эти зависимости являются слабыми.

Рис. 9.37. Зависимость относительной флюктуационной ошибки измерения скорости системой со сглаживающим фильтром второго порядка и идеальным дифференцированием от параметра

Хотя рассматриваемая система при идеальном дифференцировании для образования оценки скорости и обеспечивает более высокую точность, чем система с одиночным интегратором, все же эта точность невелика.

Так, например, при флюктуационная ошибка обычно совершенно неприемлемо.

Флюктуационную ошибку можно существенно снизить применяя, например, дифференцирующую

Тогда

Рис. 9.38. Зависимость относительной флюктуационной ошибки измерения скорости системой со сглаживающим фильтром второго порядка и дифференцирующей RC-цепью от параметра

На рис. 9.38 изображены кривые зависимости относительной флюктуационной ошибки от при разных и при При тех же, что и в предыдущем случае, значениях параметров флюктуационная ошибка много меньше однако динамическая ошибка увеличивается. Первый отличный от нуля коэффициент ошибки квадратичной ошибка увеличивается в раз сравнению с предыдущим случаем.

Рассмотрим числовые примеры:

а) Допустим, что измеряется радиальная скорость как производная дальности. Пусть дальномер имеет сглаживающий фильтр последнего из рассмотренных типа с параметрами а функция передачи дифференцирующего фильтра Пусть радиальная скорость цели может достигать значения а радиальное ускорение При выбранных значениях параметров

где выражена в Динамические ошибки измерения дальности и скорости равны

а значения флюктуационных ошибок приведены в табл. 9.5а.

Таблица 9.5а (см. скан)

б) Пусть тангенциальная составляющая скорости измеряется с помощью дифференцирования угловой координаты, а фильтры имеют тот же вид и те же параметры, что в предыдущем примере. Допустим, что угловая скорость характеризуется величиной а угловое ускорение — величиной При этом

динамические ошибки измерения угла и угловой скорости равны

а флюктуационные ошибки находятся по тем же формулам, в которых выражена в Их значения приведены в табл. 9.56.

Таблица 9.56 (см. скан)

Из приведенных примеров ясно, что в ряде случаев точность измерения скорости рассматриваемым способом невелика. Однако она существенно зависит от способа построения систем и выбора их параметров. Для оценки же потенциальных возможностей измерения скорости как производной от координаты необходимо обратиться к оптимальному измерителю и его свойствам.