7.10.4. Сглаживающие цепи с переменными параметрами

В гл. 6 показано, что во многих случаях требования оптимальности измерителя приводят к необходимости применения сглаживающих цепей с переменными параметрами. Наиболее характерным является случай, когда измеряемая величина представляется в виде (7.10.24). Импульсная реакция оптимальных сглаживающих цепей в этом случае дается формулой (6.8.53), а ошибка измерения представляется в виде (6.8.54). Сглаживающий фильтр при этом представляет собой набор усилителей с переменными коэффициентами усиления, интеграторов и генераторов известных функций времени с управляемым усилением.

Характерной особенностью измерителя, рассчитанного на закон изменения параметра типа (7.10.24), является асимптотическое стремление ошибки измерения к нулю, которое является следствием квазирегулярности изменения измеряемой величины. Сглаживающие цепи измерителя при этом строятся так, что дальномер с помощью подавления выходных сигналов дискриминатора с течением времени все больше переходит на работу по памяти, а изменения выходной величины становятся все более гладкими, все точнее повторяя изменения измеряемой дальности.

Импульсная реакция оптимального сглаживающего фильтра, рассчитанного на измерение дальности, меняющейся по закону (7.10.24), согласно (6.8.53) определяется следующим образом:

где элементы матрицы;

Согласно (7.10.44) — (7.10.46) параметры оптимального сглаживающего фильтра являются функциями отношения сигнал/шум и должны корректироваться при его изменении. Предположим сначала, что такая корректировка производится, и будем считать также, что дискриминатор достаточно близок к оптимальному, а изменения его крутизны происходят по требуемому в оптимальном измерителе закону Тогда согласно уравнению (6.8.53) импульсная реакция замкнутой следящей системы есть

а импульсная реакция ошибки согласно (6.2.13)

Если действительные изменения дальности соответствуют закону (7.10.24), использованному при синтезе сглаживающих цепей, то, как показано в гл. 6, полная ошибка измерения выражается простой зависимостью

Соответствующие примеры вычисления ошибок измерения общего характера уже рассматривались в гл. 6. Приведем один более конкретный пример. Пусть цель движется равномерно в направлении на радиолокатор, так что дальность до нее равна

где дальность в момент захвата на сопровождение, известная с точностью до ошибки захвата порядка величины разрешающей способности по дальности.

Скорость цели V также известна с некоторой ошибкой причем ошибки и нормальны и некоррелированны. Обозначая получаем согласно (6.8.63) для импульсной реакции сглаживающей цепи выражение

которое при определяет также дисперсию полной ошибки измерения. В формуле (7.10.51) и далее имеется в виду эквивалентная спектральная плотность, пересчитанная к значениям дальности с коэффициентом где с — скорость света. Эта дисперсия меняется со временем благодаря как явной зависимости от так и изменению отношения сигнал/шум со временем, которое происходит по закону

Считая спектр флюктуаций сигнала прямоугольным и используя выражение (7.2.15) для получаем следующее выражение, характеризующее изменение ошибки измерения со временем:

Зависимость отношения от при разных где время до встречи с целью, и разных построена на рис. 7.44.

Графики построены для отношения сигнал/шум на максимальной дальности и для произведения

Кривые рис. 7.44 показывают, что ошибка измерения достаточно быстро убывает со временем. При этом сначала происходит уменьшение ошибки, затем — некоторое увеличение ее, а потом — уменьшение до нуля. Максимум ошибки достигается тем быстрее, чем больше величина т. е. чем больше дисперсия скорости V, и выражен тем сильнее, чем больше величина т. е. чем плавнее изменение отношения сигнал/шум. При малых максимум отсутствует, а в общем его величина тем больше, чем больше у. При этом при малых у величина этого максимума меньше единицы, а при

больших у может превышать единицу, однако даже при не превосходит двух.

Выражение (7.10.53) характеризует полную ошибку измерения только в том случае, когда среднее значение измеряемой дальности вводится в контур следящей системы. Если такой ввод специально не предусматривается и вводится только значение что происходит автоматически при захвате, то возникает дополнительная ошибка.

Рис. 7.44. Зависимость отношения от

Найдем систематическую ошибку, возникающую из-за различия действительных и вводимых значений дальности. Функция в данном случае, как нетрудно убедиться, есть

Имея в виду, что разность в данном случае равна с помощью (6.2.14) и получим

следующее выражение для систематической ошибки:

Рис. 7.45. Зависимость систематической ошибки измерения дальности в системе с переменными параметрами, отнесенной к величине от

Это выражение показывает, что систематическая ошибка при малых растет как а затем быстро убывает. Асимптотически она меняется как

а ее максимум достигается при временах порядка т. е. практически за время, равное инерционности дискриминатора. Зависимость систематической ошибки, отнесенной к величине от времени при тех же условиях, что и для кривых рис. 7.44, построена на рис. 7.45.

Проведенный анализ показывает, что в данном случае влияние систематической ошибки мало существенно.

На практике иногда не удается правильно определить статистику определяемой величины и приходится делать более или менее произвольные предположения. При этом может оказаться, что сглаживающие цепи рассчитаны на один закон изменения параметра, а в действительности имеет место другой. Кроме того, может оказаться, что действительный закон изменения параметра настолько сложен, что из соображений технического удобства приходится сознательно заменять его более простым. Общий случай измерения нестационарного параметра, изменяющегося по закону

где системой, сглаживающие цепи которой рассчитаны на закон изменения (7.10.24), рассмотрен в гл. 6. Мы ограничимся простым примером, когда сглаживающие цепи рассчитаны на закон изменения дальности (7.10.50) с дисперсиями и а и их импульсная реакция имеет вид (7.10.51), а на самом деле дальность меняется по закону

где — независимые нормальные случайные величины с дисперсиями Флюктуационная ошибка остается такой же, как и в случае совпадения принятого и действительного законов, и определяется выражением (6.2.14)

а ее величина при достаточно больших практически совпадает с величиной полной ошибки и (7.10.53), рассчитанной ранее.

Найдем динамическую ошибку измерения дальности. Согласно (6.2.14)

Из этого выражения следует, что различные ошибки в заложенной статистике по-разному влияют на динамическую ошибку. Неточность знания соответствующих дисперсий не приводит к изменению характера зависимости динамической ошибки от времени. Если, например, т. е. ускорение цели, отсутствует, то составляющие динамической ошибки по положению и скорости изменяются соответственно в и раз.

Выражение для ошибки по скорости (составляющая с коэффициентом очевидно, совпадает с изученным выше выражением для систематической ошибки (7.10.55) при замене V на Мы уже убедились в том, что ее влияние на полную ошибку измерения несущественно.

Ошибка по положению (составляющая с коэффициентом также достаточно быстро убывает со временем. Асимптотическая ошибка по положению определяется отношением

При условиях, рассмотренных выше, и для ее значения приведены в табл. 7.3. Влияние этой ошибки также несущественно.

Более существенное значение имеет ошибка, обусловь ленная неправильным выбором степени полинома,

Таблица 7.3 (см. скан)

описывающего изменение дальности. Если отлична от нуля, то динамическая ошибка неограниченно увеличивается со временем. Ее асимптотическое значение дается выражением

Это означает, что занижение степени аппроксимирующего полинома допустимо только в тех случаях, когда ошибка аппроксимации на всем интервале наблюдения укладывается в заданные тактическими требованиями пределы.

Обратная ошибка, связанная с завышением степени аппроксимирующего полинома, не представляет большой опасности. Из формулы (7.10.59) следует, что динамическая ошибка представляет собой сумму квадратов составляющих, соответствующих разным степеням полинома, и если какой-либо из коэффициентов будет в действительности равен нулю, то динамическая ошибка будет только меньше той, на которую мы рассчитываем. Конечно, при этом и динамическая и флюктуационная ошибки увеличатся по сравнению с их значениями при правильном выборе степени полинома, но это увеличение не очень существенно, так как обе ошибки неограниченно убывают с течением времени.

Рассмотрим еще один пример сглаживающих цепей с переменными параметрами, когда принудительное изменение их параметров при изменении отношения сигнал/шум отсутствует, а происходит только изменение коэффициента усиления разомкнутой петли за счет системы АРУ. Ограничимся простейшим случаем, когда измеряемая дальность меняется по закону

Считая, что сглаживающий фильтр рассчитан на некоторое отношение сигнал/шум получаем

Тогда по уравнению (6.2.12)

Выбирая в точке оптимальное значение крутизны получаем окончательное выражение

где

При этом флюктуационная и динамическая ошибки определятся соотношениями

Асимптотическое изменение флюктуационной ошибки при совпадает со случаем оптимального выбора параметров сглаживающих цепей, а динамическая ошибка убывает быстрее при и медленнее при

Рис. 7.46. Влияние неоптимальности сглаживающих цепей дальномера на точность измерения.

Зависимость дисперсии полной ошибки измерения отнесенной к априорной дисперсии измеряемой дальности от величины при приведена на рис. 7.46. Величина может рассматриваться как безразмерное время. Физический смысл ее состоит в том, что она является отношением усредненной за время дисперсии измеряемой дальности к дисперсии эффективной оценки постоянного параметра за время при отношении сигнал/шум , равной Например, при

величина при

При построении графиков рис. 7.46 предполагалось, что дискриминатор дальномера достаточно близок к оптимальному, так что Как видно из рисунка, кривые, соответствующие разным значениям не очень отличаются друг от друга, а в делом ошибка измерения достаточно быстро убывает с увеличением