§ 9.5. СГЛАЖИВАЮЩИЕ ЦЕПИ И ТОЧНОСТЬ ИЗМЕРЕНИЯ СКОРОСТИ

Изучив свойства дискриминаторов допплеровских измерителей скорости, перейдем к оценке точности этих измерителей. Для этого необходимо задаться второй составной частью следящего измерителя — сглаживающими цепями. Весьма часто применяются линейные сглаживающие цепи с постоянными параметрами некоторых простейших видов. Рассмотрим, прежде всего, ошибки измерителей скорости с такими сглаживающими цепями. Это может быть сделано с помощью применения формул § 6.2, определяющих флюктуационные, динамические и систематические ошибки следящих измерителей. Остановимся особо на случаях, в которых оптимальные сглаживающие цепи обладают постоянными параметрами, и оценим соответственно точности оптимальных измерителей скорости. Однако в других случаях оптимальные сглаживающие цепи, как показано в гл. 6, обладают переменными параметрами. Поэтому исследуем также точность измерителей скорости при переменных параметрах сглаживающих цепей.

9.5.1. Сглаживающие цепи с постоянными параметрами

В измерителях скорости применяются сглаживающие цепи тех же видов, что и в измерителях дальности. Поэтому многие формулы и результаты § 7.10 (п. 7.10.2) остаются в силе и для измерителей скорости.

Если пренебречь параметрическими флюктуациями, то флюктуационная ошибка измерителя выражается по-прежнему формулой

в которой определяется приведенным выше анализом частотных дискриминаторов, а — эффективная полоса замкнутого следящего измерителя скорости.

Как показано в § 7.10, для сглаживающей цепи в виде интегратора

где коэффициент усиления (размерный) интегратора; - крутизна дискриминатора.

где коэффициент усиления.

Для сглаживающей цепи в виде двойного интегратора с коррекцией

где К — коэффициент усиления двух интеграторов; — постоянная времени корректирующей цепи. Значение достигает минимума, равного при

Наконец, в случае, если сглаживающий фильтр представляет собой две RC-цепи (инерционные звенья) с коррекцией

где постоянные времени инерционных звеньев. В последнем случае минимум достигается при и составляет

Если выбирать минимальную эффективную полосу при отсутствии шума, то остаются в силе также зависимости эффективной полосы от отношения сигнал/шум определяемые формулами (7.10.19), (7.10.14) и (7.10.10). Тогда при использовании оптимального дискриминатора [при простейшем виде спектральной плотности флюктуаций (9.3.10)] для сглаживающих цепей первого порядка

где значение эффективной полосы следящего измерителя скорости при отсутствии шумов, а

— отношение полосы усилителя, охваченного Цетлей АРУ, к полосе сигнала. В случае же применения сглаживающей цепи в виде двойного интегратора с коррекцией

Кривые зависимости дисперсии флюктуационной ошибки от отношения сигнал/шум для разных у приведены на рис. 9.14. Их рассмотрение приводит к выводу о том, что при выборе одинаковой эффективной

Рис. 9.14. (см. скан) Зависимость дисперсии флюктуационной ошибки измерителя скорости от отношения сигнал/шум при применении оптимального дискриминатора и сглаживающих цепей с постоянными параметрами: ---- для цепей 1-го порядка; ---- для цепей 2-го порядка

полосы при отсутствии шума флюктуационная ошибка при наличии шума в случае применения фильтров 2-го порядка больше, чем при применении фильтров 1-го порядка. Это объясняется разной зависимостью эффективной полосы системы от коэффициента усиления дискриминатора в двух рассмотренных случаях. Для сглаживающих цепей 1-го порядка имеет место заметная зависимость флюктуационной ошибки от выбора полосы усилителя При расширении этой полосы ошибка уменьшается вследствие увеличения интенсивности шума на выходе усилителя, подавления коэффициента усиления, а следовательно, и эффективной полосы системы. Для сглаживающих цепей 2-го порядка зависимость флюктуационной ошибки от несущественна.

Увеличение флюктуационных ошибок при применении неоптимальных дискриминаторов легко находится умножением полученных значений на отношение найденное для разных дискриминаторов в предыдущем параграфе.

Надо заметить, что из рассмотрения кривых рис. 9.14 не следует делать вывод о преимуществах фильтров 1-го порядка, ибо необходимо еще рассмотреть другие составляющие ошибок измерения (динамические и систематические ошибки), которые оказываются большими для сглаживающих цепей 1-го порядка.

Переходя к рассмотрению динамических и систематических ошибок, заметим, что все результаты, полученные в гл. 7 для систем измерения дальности, остаются справедливыми и для измерителей скорости. В частности, считая, что скорость цели имеет составляющую, изменяющуюся случайным образом, и, предполагая, что эта составляющая есть стационарный случайный процесс со спектральной плотностью для динамической ошибки согласно (7.10.20) имеем формулу

где коэффициент передачи дискриминатора; частотная характеристика сглаживающей цепи.

При простейшем виде спектральной плотности скорости

(где - дисперсия случайной составляющей скорости, время корреляции процесса ее изменения) оказываются справедливыми формулы (7.10.22) и для из которых, в частности, следует, что динамическая ошибка увеличивается при уменьшении эффективной полосы следящего измерителя, имеющем место при уменьшении отношения сигнал/шум

В случае, если измеряемая скорость изменяется как линейная комбинация заданных функций с неизвестными коэффициентами

где математическое ожидание скорости, согласно (7.10.25) имеем

Здесь

определяется уравнением (6.2.6), и в силу постоянства параметров сглаживающих цепей преобразование Фурье от находится как

При нестатистическом подходе к вопросу об изменениях скорости динамическую ошибку можно получить, если в (9.5.13) положить . Тогда, при использовании в качестве цепи сглаживания интегратора и при изменении

скорости по закону динамическая ошибка для определяется как

Аналогично при наличии сглаживающих цепей с двумя интеграторами и

Динамическая ошибка обратно пропорциональна коэффициенту усиления разомкнутой цепи следящего измерителя скорости и увеличивается при уменьшении отношения сигнал/шум.

Динамические ошибки при нестатистическом подходе к измерению скорости определяются таким же образом, как и систематические ошибки, так что одновременно можно считать обсужденным и способ нахождения последних.

В силу различной зависимости флюктуационной и динамической ошибок от коэффициента усиления, а значит, и от отношения сигнал/шум разумен, - как и для дальномеров, компромиссный выбор коэффициента усиления разомкнутой петли. Рассмотрим два примера такого выбора.

1. Допустим, что сглаживающая цепь — интегратор, а скорость цели изменяется как Тогда квадрат полной ошибки измерения скорости в соответствии с (9.5.1) и (9.5.16)

При статистическом подходе к динамической ошибке надо заменить на Минимизируя выбором получаем оптимальную величину коэффициента усиления разомкнутой петли

При которой суммарная ошибка составляет

Подставляя в (9.5.19) зависимость от легко найти, как должен изменяться коэффициент усиления разомкнутой петли с изменением отношения сигнал/шум. В частности, для оптимального частотного дискриминатора и спектральной плотности флюктуаций сигнала вида (9.3.10)

где — значение коэффициента усиления при т. е. при отсутствии шума.

Зависимость оптимального коэффициента усиления от построена на рис. 9.15.

2. Рассмотрим сглаживающую цепь в виде двойного интегратора с коррекцией и случай квадратичного изменения скорости. Квадрат суммарной ошибки в этом случае определяется выражением (7.10.33) и

так что при оптимальном усилении

При статистическом подходе к динамической ошибке в формулы вместо входит При той же зависимости от что и в предыдущем случае, оптимальный коэффициент усиления должен изменяться с изменением отношения сигнал/шум как

Это изменение также представлено на рис. 9.15, причем легко видеть, что зависимости коэффициента усиления от отношения сигнал/шум для сглаживающих цепей в виде одного интегратора и двух интеграторов с

коррекцией весьма близки. На рис. 9.15 приведены также кривые зависимости от коэффициента усиления разомкнутой петли, получающиеся за счет нормирующего действия системы АРУ. Эти кривые построены в предположении, что при отсутствии шума коэффициент усиления равен оптимальному.

Рис. 9.15. Зависимость коэффициента усиления разомкнутой петли от отношения сигнал/шум : 1 — оптимальное усиление для депей 1-го порядка; 2 — оптимальное усиление для цепи 2-го порядка. ---- изменение усиления за счет цепи АРУ.

Из рисунка видно, что при и при небольших отношениях полос усилителя, охваченного АРУ, и сигнала необходимое изменение коэффициента усиления с достаточной точностью обеспечивается системой АРУ. При малых система АРУ приводит к излишнему снижению коэффициента усиления. Таким образом, несмотря на то, что при уменьшении у растет флюктуационная ошибка (см. рис. 9.14) с точки зрения обеспечения минимума

суммарной ошибки нужно выбирать достаточно малые значения у.

Полученные соотношения позволяют находить ошибки измерителей скорости в условиях, когда можно пренебречь параметрическими флюктуациями. Однако ряде случаев такие пренебрежения незаконны, ибо спектральная плотность параметрических флюктуаций, как мы видели, может достигать для рассмотренных видов частотных дискриминаторов значительных величин. Поэтому представляет интерес учет параметрических флюктуаций.

В соответствии с формулой (6.2.44) дисперсия полной ошибки при учете параметрических флюктуаций определяется как

где дисперсия ошибки при отсутствии параметрических флюктуаций, найденная выше.

Имея в виду, что для частотных дискриминаторов где коэффициент, изменяющийся в широких пределах в зависимости от вида и параметров частотного дискриминатора, а также от величины отношения сигнал/шум получаем

При больших отношениях сигнал/шум коэффициент х принимает следующие значения:

— для оптимального дискриминатора ;

- для дискриминаторов с настроенным контуром и фазовращателем, а также со смесителями и дифференцированием х изменяется от 0,5 до 1 в зависимости от с

— для дискриминатора с расстроенными контурами и изменяется в тех же пределах в зависимости от величины расстройки.

Поэтому при быстрых флюктуациях, когда отношение мало (может достигать величин порядка имеют место условия, при которых параметрическими флюктуациями можно пренебречь. При более медленных

флюктуациях и при меньших при которых х нарастает, эти условия могут и не соблюдаться. Нужно, однако, напомнить, что при сравнимых с единицей, формула (9.5.26) перестает быть справедливой. Поэтому она дает возможность получить поправки за счет параметрических флюктуаций лишь при условии малости этих поправок и основной смысл ее применения заключается в определении условий, при которых линейные приближения еще справедливы.

Некоторое снижение влияния параметрических флюктуаций происходит за счет системы АРУ. Однако для допплеровеких измерителей скорости это снижение не находится уже по формулам гл. 7, поскольку параметрические флюктуации (при быстрых флюктуациях сигнала) определяются здесь не только случайностью изменений амплитуды, но и случайностью изменений фазы, не компенсируемых системой АРУ.