7.15.2. Флюктуационная ошибка измерения с учетом нелинейности

Как уже отмечалось ранее, срыв слежения, понимаемый как первое достижение величиной рассогласования некоторой условной точки на падающем участке дискриминационной характеристики, не может быть, разумеется, адекватным описанием поведения следящей системы при учете ее нелинейности.

Достигнув граничной точки, рассогласование с заметной вероятностью может вновь принять малые значения и система будет нормально работать, но, конечно, с большими ошибками. Поэтому величина рассогласования, вышедшая за некоторые пределы, еще не означает срыва слежения в самом прямом понимании. Экспериментальное изучение нелинейного режима следящих измерителей также подчеркивает ограниченную применимость подхода, основанного на предположении об отсутствии в нелинейной системе установившегося режима.

В следящих измерителях дальности такой подход дает правильный ответ при очень больших помехах и в случаях, когда представляет интерес слежение на сравнительно небольших интервалах времени. При рассмотрении поведения системы на больших интервалах времени из-за практически неизбежного ограничения по выходу в ней наступает установившийся режим, характеристики которого и представляют в ряде случаев наибольший практический интерес. Вычисление статистических характеристик этого режима, в частности дисперсии флюктуационной ошибки, позволяет найти критическую величину отношения сигнал/шум, при котором флюктуационная ошибка еще заключена в допустимых пределах. Сравнение этой критической величины с соответствующей величиной, вычисленной в предыдущем пункте, позволяет более разносторонне охарактеризовать нелинейный режим работы измерителя и более полно выяснить условия, когда допустима линеаризация следящего радиолокационного дальномера.

Используя формулу (6.3.22) и (7.15.1), можно выражение для дисперсии флюктуационной ошибки измерения, найденное при идеализации ограничения на выходе системы с помощью отражающих экранов в точках привести к следующему виду:

где все обозначения те же, что в п. 7.15.1.

При малых шумах, когда мало, из этого выражения следует

При больших шумах, когда

т. е. величина дисперсии при этом определяется только уровнем ограничения на выходе системы, а распределение вероятностей для рассогласования становится равномерным.

Выражение (7.15.7) допускает при некоторых формах зондирующего сигнала аналитическое вычисление. Например, при гауссовой

где предполагается, что величина в соответствии с реальными условиями много больше единицы. Подобное выражение может быть получено и при косинусоидальной функции а также для ряда других функций автокорреляции. Относительная дисперсия ошибки измерения как функция величины построена на рис 7.55 при разных значениях относительного уровня ограничения Из формул (7.15.7), (7.15.10) и этого рисунка следует, что уже при и при величина ошибки определяется в значительной степени величиной уровня ограничения. При больших она практически равна асимптотическому значению из формулы (7.15.9).

Ход кривых рис. 7.55 показывает, что зависимость флюктуационной ошибки от отношения сигнал/шум (ошибки линеаризированной системы) также носит ярко выраженный пороговый характер. Критические значения величины соответствующие, например, флюхтуацяонаой ошибке являются в данном случае несколько меньшими, чем эти значения, найденные по среднему времени до срыва слежения (порядка В соответствии с этим допустимые отношения сигнал/шум несколько увеличиваются. Однако это увеличение не столь значительно, чтобы его следовало принимать во внимание.

Формулы (7.15.7), (7.15.10) и графики рис. 7.55, позволяют исследовать другой интересный вопрос — пределы

применимости линеаризированного подхода к следящему измерителю дальности.

Рис. 7.55. Зависимость ошибки измерения дальности от при разных значениях уровня ограничения

Из рис. 7.55 следует, что равенство сохраняется примерно до значений Этот диапазон значений очень узок, так что практически при любом уровне ограничения нелинейность дискриминатора дальномера начинает проявляться при одном и том же отношений сигнал/шум. Величина отношения сигнал/шум, при котором еще допустимо линеаризованное рассмотрение следящего дальномера при близком к оптимальному дискриминаторе, определяется этой величиной и может быть найдена из уравнения

Зависимость величины от отношения полос для случая прямоугольного спектра флюктуаций построена на рис. 7.56. При реальных соотношениях ширины полосы системы и ширины спектра флюктуаций величина изменяется в пределах от 0,2 до 6, что примерно в два раза превышает соответствующие

значения, вычисленные по критической величине среднего времени до срыва. Таким образом, срыв слежения в смысле предыдущего пункта происходит примерно при тех же отношениях сигнал/шум, при которых становится необходимым учет нелинейностей дискриминатора для расчета флюктуационной ошибки.

Рис. 7.56. Зависимость критического отношения сигнал/шум от

Стационарный режим следящего дальномера в нелинейном режиме изучался экспериментально. Дальномер моделировался с помощью аналоговой машины. При моделировании воспроизводилась нелинейная дискриминационная характеристика и устанавливалось ограничение по выходу системы. Обработка результатов эксперимента показала удовлетворительное совпадение с теоретически найденными распределениями вероятности для рассогласования, полученными с помощью решения граничной задачи для уравнения Фоккера-Планка с отражающими экранами. В процессе эксперимента изучались также характеристики нестационарного режима. Были исследованы изменения распределения вероятностей рассогласования со временем и найдена зависимость флюктуационной ошибки от времени. Данные эксперимента, в общем, хорошо подтверждают выводы теоретического анализа, но при больших шумах

Рис. 7.57. (см. скан) Плотности вероятностей для рассогласования: - экспериментальная кривая для ; ----теоретическая крнная для ; ----- экспериментальная кривая для ; ------- теоретическая кривая для

имеют место некоторые расхождения, обусловленные приближенностью учета ограничения по выходу. Для иллюстрации на рис. 7.57 построены теоретически вычисленные и экспериментально снятые плотности вероятностей для рассогласования в дальномере с одним интегратором при эффективной полосе следящей

системы гц и дискриминационной характеристике, показанной на рис. 7.58. Кривые соответствуют отношению ошибки линеаризированной системы к полуширине дискриминационной характеристики равному 0,44 и 1,1.

Рассмотрим один иллюстрирующий пример расчета ошибок измерения дальности с учетом нелинейности в когерентном дальномере.

Рис. 7.58. Дискриминационная характеристика дальномера при эксперименте.

Будем считать, что зондирующий сигнал радиолокатора модулирован импульсами, близкими по форме к гауссовым, с линейной частотной модуляцией, причем девиация частоты за длительность импульса велика по сразнению с шириной его спектра. Тогда функция автокорреляции зондирующего сигнала описывается гауссовой кривой с параметром

где а — скорость изменения частоты; эффективная длительность импульса.

Пусть девиа частоты рад/сек. Тогда Будем считать, что ограничение на выходе дальномера определяется естественными причинами — достижением рассогласования величины, равной периоду повторения сигнала. Полагая частоту повторения равной 25 Аггч, получим величину Будем считать, что отношение сигнал/шум не зависит от дальности и равно

где отношение сигнал/шум при отсутствии помех на дальности соответствующей моменту включения помехи.

Рис. 7.59. Зависимость ошибки измерения дальности от спектральной плотности шумовой помехи.

Задаваясь значениями диаметром антенны, равным 30 см, и коэффициентом шума приемника радиолокатора, равным 10, получим

где спектральная плотность выражена в Предполагая, что дискриминатор дальномера близок к оптимальному, ширина спектра отраженного сигнала равна 100 гц, а полоса следящей системы 4 гц,

получаем следующее выражение для дисперсии флюктуационной ошибки линеаризированной системы:

которое дает возможность определить с помощью графиков рис. 7.55 ошибку измерения дальности с учетом нелинейности. Зависимость этой ошибки от спектральной плотности излучаемой помехи построена на рис. 7.59. Как следует из этого рисунка, зависимость точности измерения дальности от спектральной плотности помехи носит ярко выраженный пороговый характер. При изменении от. до ошибка увеличивается более чем в 60 раз. Критическое значение спектральной плотности помехи составляет в рассматриваемом примере около

При больших уровнях помехи точность измерения дальности становится слишком низкой.