§ 13.4. ОПТИМАЛЬНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ ЗАДАННОЙ СОВОКУПНОСТИ ЦЕЛЕЙ

Если возможные положения целей зафиксированы и требуется определить, какие из этих целей имеются на самом деле, то оптимальная процедура решения состоит (см. гл. 3 т. I) в сравнении отношений правдоподобия, соответствующих всевозможным ситуациям, с порогами и между собой. Если потери, связанные с всевозможными ошибками в определении числа и положения целей одинаковы, то должно приниматься такое решение, при котором отношение правдоподобия имеет максимальную величину, превышающую шумовой порог. Например,

если число целей не больше двух, то необходимо сравнивать с порогом и между собой

Чтобы полностью охарактеризовать процедуру принятия решения в этом случае, необходимо рассчитать вероятности всевозможных ошибок, число которых равно, очевидно, где число возможных решений. Для расчета этих вероятностей требуется найти совместное распределение вероятностей для отношений правдоподобия. Все эти расчеты оказываются очень громоздкими. Поэтому мы здесь ограничимся рассмотрением случая двух целей. Рассчитаем прежде всего характеристики обнаружения одной из целей, когда наличие второй цели точно установлено. Ясно, что эта характеристика имеет наибольшее отношение к проблеме разрешения близко расположенных целей в режиме обнаружения. Отсутствие разрешения приведет к обнаружению одной цели вместо двух, поэтому качество разрешения может быть оценено прежде всего этой характеристикой.

Кроме того, будем интересоваться характеристиками обнаружения обеих целей, когда они присутствуют либо отсутствуют одновременно. При этом мы будем считать флюктуации сигналов медленными.

В первом случае решение принимается на основании сравнения с порогом величины поскольку распределено по нормальному закону, уравнение характеристик обнаружения имеет вид (см. гл. 4 т. I)

где отношение сигнал/помеха на выходе системы, формирующей

Это отношение уже рассматривалось в § 43.2 в связи с задачей разделения сигналов. Напомним, что оптимальная система обнаружения в этом случае представляет собой систему частичного разделения сигналов.

дополненную устройством, осуществляющим сравнение с порогом квадрата модуля выходного сигнала.

Рассмотрим случай пары одновременно появляющихся целей. Решение принимается на основании сравнения с порогом отношения правдоподобия или величины

формируемой блок-схемой рис. 13.2. Записывая распределение для величин в виде (см. [19], а также формулу (4.11.2) в томе I)

где матрица, обратная а

легко рассчитать характеристическую функцию величины

Раскладывая характеристическую функцию на простые дроби, нетрудно найти соответствующую плотность распределения. Предположив для простоты, что интенсивности сигналов одинаковы, получаем для вероятностей правильного обнаружения и ложной тревоги следующие выражения:

где с — деленная на величина порога, с которым сравнивается отношение сигнал/помеха при отсутствии разделения.

Рис. 13.6. Зависимость порогового отношения сигнал/помеха от степени неортогональности обнаруживаемых сигналов при оптимальной обработке.

Чтобы упростить расчеты, связанные с определением порогового отношения соответствующего выбранным вероятностям можно воспользоваться тем, что, как видно из (13.4.3), (13.4.4)

где

Если и то пороговые оказываются настолько большими, что при . В этом

можно убедиться, произведя необходимые численные расчеты. Это обстоятельство существенно упрощает расчет зависимости который может производиться по следующей схеме. Сначала графически находится зависимость причем придаются и очень малые значения, типичные для вероятности ложной тревоги. Кстати, при этих значениях можно пренебречь вторым слагаемым в (13.4.3), если Затем определяется из второго соотношения (13.4.6)

Зависимость при показана на рис. 13.6. Как видно из рисунка, при не очень близких к единице слабо зависит от параметра у, медленно возрастая с увеличением последнего. При 1—1 этот рост более заметен. В § 13.6 полученный результат будет использован для сравнения оптимальной системы и системы с полным разделением сигналов.