7.4.3. Оптимальный фильтр для дискриминатора с переключением

Интересный характер носит зависимость величины от вида частотной характеристики фильтра. Рассмотрим эту зависимость для случая низкой частоты переключений: Составляя вариацию величины из (7.4.8) по и приравнивая ее нулю, получим следующее уравнение, определяющее оптимальную частотную характеристику:

которое, очевидно, удовлетворяется при

Этот результат показывает, что оптимальный фильтр для дискриминатора с переключениями, обеспечивающий минимум эквивалентной спектральной плотности, может существенно отличаться по своим характеристикам от обычного оптимального фильтра (7.2.5). При выполнении (7.4.16)

Для всякого реального спектра флюктуаций отлична от прямоугольной функции] величина при . Порядок убывания зависит от вида спектральной плотности и всегда медленнее, чем

Отличие оптимального фильтра (7.4.16) от обычного с теоретической точки зрения объясняется тем, что в данном случае при синтезе оптимального дискриминатора мы ставим дополнительное техническое условие. Это условие заключается в том, что в каждый момент

времени мы можем образовать функционал правдоподобия [фактически функционал лишь для одного значения В принципе в оптимальной системе значения этого функционала должны образовываться для всех однако, как мы убедились на примере дискриминатора с расстроенными каналами, при соблюдении некоторых условий практически достаточно образовать этот функционал одновременно только для двух отличающихся значений параметра Дополнительное техническое ограничение, естественно, приводит к изменению вида оптимальной системы и, как всякое ограничение, ведет к проигрышу в характеристиках синтезируемой системы. Этот проигрыш может оказаться незначительным, но он всегда в принципе существует, являясь платой за достигнутое техническое упрощение.

Исследуем более подробно частотную характеристику оптимального фильтра. При малых эта характеристика совпадает с формой спектра флюктуаций и с обычной оптимальной частотной характеристикой для малых При возрастании различие между (7.4.16) и (7.2.5) становится существенным. У частотной характеристики (7.4.16) появляется провал при глубина которого убывает как и два максимума, разнос которых увеличивается при увеличении В частном случае экспоненциальной корреляции флюктуаций

График этой функции построен на рис. 7.9. Частотная характеристика (7.4.18) с учетом переноса на промежуточную частоту сопр может быть сформирована по схеме рис. 7.10 при

В системе с оптимальным фильтром выражается формулой

Рис. 7.9. Частотная характеристика оптимального фильтра.

Рис. 7.10. Принципиальная схема оптимального фильтра.

Это выражение, как и (7.3.8), при некотором обращается в минимум, но в отличие от общего случая стремится к нулю при как Таким образом, даже при наличии оптимального фильтра схема с переключением при больших отношениях сигнал/шум имеет по сравнению двухканальной схемой проигрыш, растущий, как Детальное сравнение схем с расстройкой и с переключением требует конкретизации вида функции

и поэтому отложим его до следующих параграфов. Здесь мы можем только отметить, что в общем случае как при оптимальном фильтре (7.4.16), так и при произвольном троигрыш в точности при использовании схемы с переключениями по отношению к оптимальной и двухканальной тем больше, чем больше А. При малых А он может быть более или менее несуществен, но при больших А, когда флюктуационная ошибка дальномера обусловлена в основном случайностью сигнала, достигает значительных величин. При обычном фильтре проигрыш растет пропорционально А, при оптимальном фильтре — несколько медленнее, например, для фильтра (7.2.18), как Такая особенность является неприятным свойством схемы с переключениями.

Оценим теперь, какой выигрыш дает в схеме с переключениями применение оптимального фильтра. Рассмотрим для этого снова спектральную плотность сигнала вида (7.3.11) и частотную характеристику вида (7.3.12). Подставляя их в формулу для (7.4.8), получаем

где по-прежнему

Тогда отношение у эквивалентных спектральных плотностей при использовании LRC-фильтра (7.3.12) и оптимального фильтра (7.4.18) есть

Зависимость при разных приведена на рис. 7.11. При малых эта зависимость имеет явно выраженный минимум при причем величина минимума близка к единице, что естественно объясняется практическим совпадением при характеристик оптимального и LRC-фильтра с При увеличении минимум смещается в сторону больших х, а кривая идет в окрестности минимума все более полого, так что появляется зона, в пределах которой

изменение полосы LRC-фильтра практически не влияет на величину Проигрыш по сравнению с оптимальной схемой в этой зоне составляет примерно раз. Ширина зоны быстро растет с увеличением Если при ошибка измерения почти не меняется при трехкратном изменении полосы, то при ошибка остается практически неизменной при изменении полосы в 200 раз.

Рис. 7.11. Влияние неоптимальности фильтра на эквивалентную спектральную плотность.

Выигрыш при использовании оптимального фильтра объясняется тем, что в схеме с переключением полезные составляющие спектра перенесены на частоту переключения, и поэтому подавление флюктуаций сигнала, сосредоточенных около нулевой частоты и играющих при малых шумах основную роль в образовании флюктуационной ошибки, которое достигается использованием частотной характеристики спровалом около нуля, оказывается полезным. Величина и ширина провала с помощью формулы (7.4.16) автоматически выбирается так, чтобы обеспечить минимум эквивалентной спектральной плотности.