§ 9.3. ХАРАКТЕРИСТИКИ ОПТИМАЛЬНОГО ЧАСТОТНОГО ДИСКРИМИНАТОРА

Найденный частотный дискриминатор оптимален с точки зрения получения максимальной точности измерения скорости. Поэтому основными его характеристиками являются величины, характеризующие точность, т. е. в соответствии с гл. 6, эквивалентная спектральная плотность и коэффициент, определяющий интенсивность параметрических флюктуаций

Эквивалентная спектральная плотность при наличии оптимального дискриминатора может быть найдена

согласно (6.7.33) по формуле

где функция корреляции принимаемого сигнала, определяемая формулой (9.2.1); функция, находимая из решения уравнения (6.7.20), равная

Подставляя (9.2.1) и (9.3.2) в (9.3.1) и производя вычисления, получаем

где штрих — знак дифференцирования.

Эгот же результат может быть получен и другим способом, если учесть, что для оптимального дискриминатора

где — крутизна дискриминатора, определяемая как Копт

Усредняя по множеству (9.2.5), легко получаем для дискриминационной характеристики оптимального частотного дискриминатора

где определяется выражением (9.2.3).

Из (9.3.5) и (9.3.6) можно получить формулу (9.3.3) для эквивалентной спектральной плотности. Кроме того, мы попутно получили выражение для дискриминационной характеристики оптимального дискриминатора, нужной при анализе процессов, имеющих место при сильных шумах и помехах.

Для нахождения коэффициента параметрических флюктуаций вычислим эквивалентную флюктуационную характеристику дискриминатора

Производя вычисления, получаем 00

Коэффициент вычисляется теперь как

Из полученных выражений следует, что как эквивалентная спектральная плотность так и коэффициент не зависят от вида модуляции зондирующего сигнала и определяются только отношением сигнал/шум и формой спектра флюктуаций отраженного сигнала

Основное значение Для определения ошибки измерителя скорости имеет эквивалентная спектральная плотность Найдем ее для некоторых характерных видов

Если спектральная плотность сигнала соответствует белому шуму, прошедшему через RC-фильтр, то

где эффективная полоса флюктуаций сигнала. Подставляя (9.3.10) в (9.3.3), получаем

В том случае, когда спектральная плотность сигнала соответствует белому шуму, прошедшему через два последовательно соединенных RC-фильтра,

Из (9.3.3) получаем

Если же спектр сигнала имеет гауссову форму

то можно вычислить приближенно, получив при этом

Зависимости от отношения сигнал/шум для рассмотренных трех случаев приведены на рис. 9.2.

Эти три случая не исчерпывают, разумеется, всех возможностей. Однако они относятся к одному

семейству функций зависящему от целочисленного параметра

где

Рис. 9.2. Зависимость эквивалентной спектральной плотности оптимального частотного дискриминатора от отношения сигнал/шум выражается формулой выражается формулой (9.3.12); выражается формулой

Обобщая полученные результаты. на произвольное можно получить предельные соотношения для при малых и больших отношениях сигнал/шум

Из этих соотношений и из рис. 9.2 следует, что при малых величина мало зависит от вида спектра, будучи пропорциональной При больших величина существенно зависит от вида спектра, изменяясь при от до . В табл. 9.1 приведена зависимость предельных значений от аппроксимации спектра для семейства (9.3.16).

Таблица 9.1 (см. скан)

При очень больших отношениях сигнал/шум вопрос об оптимизации измерителя обычно не возникает. Поэтому рабочими отношениями сигнал/шум следует считать величины . В этом диапазоне зависимость от формы спектра флюктуаций сигнала невелика и ею часто можно пренебрегать, рассматривая для простоты аппроксимацию (9.3.10).

Нужно заметить, что не следует особенно доверять полученным значениям при очень больших ибо использованные расчетные формулы при этом становятся недостаточно точными.

Помимо рассмотрения зависимости от следует подчеркнуть пропорциональность а следовательно, и дисперсии ошибки измерения скорости, эффективной ширине спектра флюктуаций сигнала При этом существует принципиальная разница между результатами, полученными для допплеровских измерителей скорости и измерителей дальности и углов, а также измерителей скорости, использующих дальномеры и угломеры. Она заключается в том, что существует предельная ошибка измерения скорости при сколь угодно большом отношении сигнал/шум, тогда как в дальномерах и угломерах ошибка неограниченно уменьшается по мере увеличения

этого отношения. Физически это объясняется тем, что в измерителе скорости измерению подвергается производная от фазы сигнала, которая при принятых идеализациях содержит за счет флюктуаций сигнала аддитивную случайную добавку, не зависящую от отношения сигнал/шум.

Рис. 9.3. Зависимость коэффициента параметрических флюктуаци и опар оптимального частотного дискриминатора от отношения сигнал/шум

Таким образом, способ кодирования измеряемого параметра (скорости) в сигнале принципиально не позволяет осуществить компенсацию влияния флюктуаций сигнала в отличие от дальномеров и угломеров, где такая компенсация возможна.

Задавшись простейшей формой спектральной плотности флюктуаций сигнала (9.3.10), по формулам (9.3.8) и (9.3.9) найдем Результаты довольно громоздких расчетов представлены в виде графика рис. 9.3. При величина достигает максимума и равна Мы не приводим значений при малых так как при этом условия оптимальности синтезированной схемы уже не выполняются, а принятая для анализа

точности модель следящего измерителя теряет смысл, что приводит при формальном применении выражения для к необъяснимым физически результатам. Оценку увеличения флюктуационной ошибки за счет параметрических флюктуаций отложим до рассмотрения сглаживающих фильтров и ошибок измерителя скорости в целом.