6.6.7. Учет сторонних выбросов функции правдоподобия

Гауссова аппроксимация функции правдоподобия типа (6.6.3) или (6.6.4) остается верна лишь вблизи истинного значения если шумы достаточно малы. В общем же случае при синтезе необходимо учитывать боковые выбросы функции правдоподобия, объясняемые как неидеальной формой функции автокорреляции полезной составляющей так и чисто шумовыми возмущениями. Покажем, к какого рода изменениям в схеме ведет усложнение аппроксимации функции правдоподобия, призванное более тонко отразить ее структуру.

В первую очередь изучим случай, когда боковые выбросы функции правдоподобия объясняются специфической неидеальностью полезной составляющей сигнала, т. е. соответствующими выбросами его функции автокорреляции. Положение этих выбросов жестко связано с положением основного пика, так Что удобна следующая полная аппроксимация функции правдоподобия, основанная на соотношениях (6.6.3) и (6.6.6):

Здесь разнос основного и бокового выбросов: матрицы, выражающиеся согласно п. 6.6.1 через первые и вторые производные от по А. в точках причем в число рассматриваемых выбросов включены те, которые превышают по уровню шумовой фон.

Умножая (6.6.77) на гауссово априорное распределение (6.6.8) и производя интегрирование методом, аналогичным изложенному в п. 6.6.2, с учетом диагональности всех матриц имеем следующее выражение для оператора оптимального измерителя:

где

(см. скан)

Обычный переход в (6.6.79) к непрерывному наблюдению с учетом диагональности дает

(см. скан)

с решение уравнения (6.6.31), в котором вместо взято

Перейдем к интерпретации оператора (6.6.81) в виде схемы (рис. 6.18). Полная схема состоит из параллельно работающих схем, подобных оптимальному измерителю рис. 6.13. Каждая из них включает дискриминатор 2, блок точности 3, сумматор петли внутренней связи и линейные фильтры-усилители 9 и 6.

Рис. 6.18. Оптимальный измеритель при учете боковых выбросов автокорреляционной функции: 1 — настроенный приемник обнаружения; 2 — дискриминатор; 3 - блок точности; 4, 5 — нелинейные блоки; безынерционный усилитель с коэффициентом усиления 7, 10 - сумматоры ввода смещения бокового выброса : 8 - блок образования ненормированного коэффициента 9 — линейный фильтр с импульсной реакцией нормирующий усилитель; 12 — блок выработки нормированных коэффициентов; сумматор.

В качестве нового элемгнта в каждую схему включено устройство 1, по существу выполняющее операцию приемника обнаружения, настроенного на выброс функции правдоподобия. Положение выброса отсчитывается от измеренного значения с помощью известной величины Кроме того, в схеме имеются отводы от выходов дискриминатора и сумматора внутренней связи на нелинейные блоки 4 и 5. Выходные сигналы всех фильтров 9 через нормирующие усилители 11 подаются на общий

сумматор 2, где компонуются друг с другом с помощью нормированных весов Последние выражаются через ненормированные множители формируемые окончательно в 12 по входной реализации и данным измерения с помощью приемников обнаружения 1, нелинейных блоков 4, а также блока-перемножителя 8.

На выходе еумматора образуется оценочное значение параметра (за вычетом среднего значения Эта величина подается на внутренние цепи обратной связи через сумматоры ввода сдвига 10. После сложения с образуется, наконец, измеренное значение управляемое селекцией всех блоков первичной обработки, под которыми мы имеем в виду приемники обнаружения, дискриминаторы и блоки точности. При подаче на тройку этих устройств производится сдвиг X на подобный отмеченному выше.

Остановимся на физическом смысле множителей выражаемых в дискретном случае формулой (6.6.79). Первый множитель схемно формируемый приемником обнаружения, отражает величину того или иного Тгика, что характеризует сигнал. Вторая величина может быть приведена к виду

где векторная величина размерности измеряемого параметра представляет собой (за вычетом X,) истинное значение измеряемой координаты с корреляционной матрицей смешанное с шумом, корреляционная матрица которого равна В этом можно убедиться, разлагая аналогично (6.6.23) возле истинного значения вершины бокового выброса.

Таким образом, величина формируемая нелинейным блоком 5, показывает "правдоподобие" приведенного выхода сумматора внутренней связи как случайной величины с корреляционной матрицей

Аналогично множитель можно привести к виду

где величина с размерностью измеряемой координаты представляет собой эквивалентный шум на входе дискриминатора (при малых рассогласованиях).

Следовательно, величина формируемая в 4, показывает правдоподобие дриведенного входа дискриминатора, как случайной величины с корреляционной матрицей В целом представляет собой как бы отношения правдоподобия для выделения параметра из его аддитивной смеси с шумом. Чем меньще подавлен шумом данной пик, тем брльще множители

Поскольку в процессе работы постоянно происходит накопление на выходе приемников обнаружения и нелинейных блоков, истинный пик приобретает нормированный вес все более превышающий веса всех прочих выбросов, пока этот вес не остается единственным, отличным от нуля.

Таким образом, учет боковых выбросов рассматриваемого типа в установившемся режиме не ведет к схемным отклонениям от измерителя, рассмотренного ранее. Усложнение схемы имеет, с другой стороны, то достоинство, что делает необязательным первоначальный захват с точностью до ширины основного выброса функции правдоподобия; слежение устанавливается, даже если первоначальная ошибка ведет к попаданию на боковой выброс, учтенный при синтезе.

Теперь перейдем к случаю, когда выброс автокорреляционной функции является единственным, а боковые выбросы функции правдоподобия связаны лишь с шумовым фоном. Здесь удобна аппроксимация функции правдоподобия, основанная на соотношениях (6.6.4) и (6.6.7):

Необходимо оговорить, что количество пиков функции правдоподобия может быть произвольно большим при большой области определения X, так что разумно аппроксимировать согласно (6.6.63) те пики, которые по величине Превышают некоторый пороговый уровень. Как видим, такая аппроксимация, будучи простой по виду, не является таковой по существу. Перемножая (6.6.82) с априорным гауссовым распределением (6.6.8) и производя интегрирование, для оператора оптимального измерителя для послед: него момента времени наблюдения получаем следующее выражение

где

При переходе к непрерывным наблюдениям (6.6.83) приводится к виду

Блок-схема, интерпретирующая соотношение (6.6.85), представлена на рис. 6.19. Она состоит из отдельных параллельных схем, весьма подобных неследящему измерителю (рис. 6.17.) Блок оценки выдает совокупность точек максимального значения функции правдоподобия и соответствующие этим точкам текущие значения остроты пиков После вычитания из величин среднего значения они обрабатываются линейными фильтрами с импульсными реакциями а затем результаты суммируются с нормированными весовыми множителями

Рис. 6.19. Оптимальный измеритель при учете шумовых выбросов: 1 — блок оценки; 2 — линейный фильтр с импульсными реакциями ; 3 - блок выработки нормирующих множителей; 4 — общий сумматор.

После обратного ввода среднего значения образуется оценка

Парциальные схемы рис. 6.19 имеют фильтры, совершенно подобные рассмотренным в п. 6.6.5, и поэтому не требуют объяснения. Необходимо лишь указать на физический смысл множителей В отличие от прошлого случая, кроме меры высоты пика эти множители имеют в своем составе величины

показывающие "правдоподобие того, что положение пика является случайной функцией с корреляционной матрицей т. е. состоит из изменяющегося параметра с корреляционной матрицей и флюктуационного возмущения с корреляционной матрицей Реально только один из пиков является истинным. Остальные, во-первых, оказываются малой высоты, что обязательно

выявляется в процессе накопления, а во-вторых, содержат в своем положении сдвиг от истинного значения который, накапливаясь в инерционном нелинейном блоке 4, согласно (6.6.86) приводит к дальнейшему уменьшению веса этого пика при формировании оценки. В итоге опять схема переходит в известную схему рис. 6.17, работающую по одному пику.

Проведенное исследование показывает, что при достаточно большом времени наблюдения схема измерителя, синтезируемого на основе "однопиковой" аппроксимации, по структуре, а следовательно, и по качеству будет мало отличаться от систем, построенных при более тонком учете реальной структуры функции правдоподобия. Это указывает на достаточную универсальность результатов предыдущих пунктов.