§ 12.3. СИНТЕЗ МНОГОМЕРНЫХ ИЗМЕРИТЕЛЕЙ НЕСКОЛЬКИХ ПАРАМЕТРОВ

В гл. 6—11 рассматривались вопросы синтеза измерителей только одного параметра. Поскольку радиолокаторы обычно измеряют целую совокупность координат (или параметров движения) цели, возникает вопрос, в какой степени результаты, полученные в предположении, что все прочие параметры, кроме измеряемого, известны, могут быть перенесены на случай одновременного измерения нескольких неизвестных величин. Для того чтобы ответить на этот вопрос, необходимо решить более сложную задачу одновременной фильтрации нескольких случайно изменяющихся во времени процессов-параметров из их неаддитивной смеси с помехами и шумами. Если идейная сторона, касающаяся выбора метода синтеза, остается здесь той же, что и в одномерном случае (см. § 6.5), то конкретные методы раскрытия вида оптимального оператора фильтрации требуют дополнительного изучения как не являющиеся простым повторением одномерных.

12.3.1. К методу синтеза оптимального измерителя

Прежде всего уточним постановку задачи оптимальной фильтрации нескольких параметров. Рассмотрим совокупность из случайных сигналов все или часть из которых зависят от I взаимосвязанных

в общем случае и случайно изменяющихся отвремени параметров Пусть в моменты из интервала доступного наблюдению, сигналы и параметры принимают значения

где под у и к понимаются блочные вектор-столбцы.

Совместная плотность распределения у и к имеет вид и где - многомерное (по моментам наблюдения и параметрам) априорное распределение, а многомерная (по моментам наблюдения, сигналам и параметрам) функция правдоподобия, на которой мы остановимся ниже. Задачей оптимальной фильтрации является построение вектор-столбца оценки к, в некотором смысле наиболее близкого к сочетанию истинных значений параметров. В качестве функции потерь, характеризующей степень этой близости, в первую очередь рассмотрим квадратичную форму

где порядок сомножителей во втором и третьем элементах цепочки равенств соответствует операциям матричного умножения, знак (сверху) означает транспонирование, блочная матрица с элементами-подматрицами определяющими цену ошибок параметров, допускаемых соответственно в моменты. Средний риск

является здесь линейной комбинацией вторых моментов ошибок измерения всех параметров во все моменты времени. Варьируя по оценкам к, можно убедиться,

что любых неособенных матрицах В оптимальной оценкой является как и в одномерном случае, условное математическое ожидание

Методом, аналогичным § 6.5, можно убедиться, что при симметрии апостериорного распределения условное математическое ожидание является универсальной оптимальной оценкой, справедливой и для более широкого класса функций потерь (а именно, для функций, обладающих свойством симметрии). Поскольку непосредственное интегрирование (12.3.3) в наиболее интересных случаях провести не удается, опять приходится приближенно решать систему уравнений

являющуюся иной записью (12.3.3). Чтобы подготовить условия для решения этой системы, необходимо обратиться к изучению структуры функции правдоподобия.