9.8.2. Оптимальный измеритель скорости

Решение задачи синтеза оптимальной системы измерения скорости как производной от координаты при гауссовой статистике координаты вытекает из полученных в гл. 6 (пп. 6.6.9 и 6.8.5) результатов, касающихся оптимальных систем измерения функционалов от параметров случайного процесса.

Согласно этим результатам оптимальный измеритель скорости представляется функциональной схемой рис. 9.39. Он состоит из оптимального измерителя самой координаты принцип построения и действия которого уже многократно обсуждался, и дополнительного фильтра, служащего для образования оценки скорости на вход которого подается напряжение с выхода дискриминатора Вообще говоря, должно иметь место еще образование математического ожидания

скорости, с которым складывается выходная величина фильтра.

Наибольший интерес представляет синтез оптимального фильтра оценки скорости, ибо остальные операции измерителя либо уже известны из синтеза измерителя координаты либо тривиальны.

Рис. 9.39. Оптимальный измеритель скорости как производной от координаты: 1 — дискриминатор; 2 — сглаживающие цепи; 3 — фильтр оценки скорости; 4 — сумматор.

Импульсная реакция фильтра оценки скорости может быть найдена одновременно с импульсной реакцией фильтра следящего измерителя координаты из решения уравнений (6.6.106), (6.6.108), (6.6.31), (6.6.32), если учесть, что функция в данном случае определяется как

где штрих — знак дифференцирования. Тогда эти уравнения имеют вид

где крутизна оптимального дискриминатора измерения координаты функция корреляции координаты

Уравнения (9.8.39), (9.8.40) определяют оптимальную структуру сглаживающих цепей измерителя а уравнения (9.8.37), (9.8.38) — структуру дополнительных цепей, нужных для оценки производной

Фактически фильтры с импульсными реакциями обычно имеют много общих элементов, что упрощает схему оптимального измерителя, делая, вместе с тем, несколько условной функциональную схему рис. 9.39. Кроме того, можно для получения оценки скорости осуществлять фильтрацию не напряжения с выхода дискриминатора, а выходной величины следящего измерителя координаты, но при этом должен применяться фильтр с импульсной реакцией определяемой из уравнения

В соответствии с (6.6.109) дисперсия ошибки измерения скорости оптимальной системой определяется как

После приведения этих общих результатов рассмотрим некоторые примеры оптимальных измерителей скорости. Будем предполагать, что вид и основная характеристика Копт оптимального дискриминатора известны. Вычислим при этом импульсные реакции сглаживающих фильтров и ошибки измерения скорости.

1. Пусть стационарный случайный процесс или процесс со стационарными приращениями и мы интересуемся моментами времени, весьма удаленными от начала наблюдения Тогда в соответствии с результатами п. 6.8.5 решения уравнений (9.8.38) и (9.8.40)

могут быть представлены своими преобразованиями Фурье

где спектральная плотность процесса

причем имеет нули и полюса в верхней полуплоскости комплексной переменной , а нижней. Операция означает выделение той части выражения в скобках, которая имеет полюса в верхней полуплоскости со. Решение задачи измерения производной существует, если на бесконечности стремится к нулю не медленнее, чем Функции определяются согласно (9.8.39) и (9.8.37) своими преобразованиями Фурье с помощью выражений

Если, например, соответствует движению цели с некоррелированными случайными ускорениями, обусловленными разными случайными возмущениями, причем средний квадрат скорости цели, развиваемой за 1 сек за счет случайных возмущений, равен то двойной интеграл от белого шума со спектральной плотностью и спектральная плотность Непосредственное

применение написанных равенств дает при этом

Таким образом, оптимальный сглаживающий фильтр следящего измерителя координаты представляет собой двойной интегратор с коррекцией, что отмечалось для случая -двойного интеграла от белого шума и ранее, а оптимальный фильтр оценки скорости является интегратором с усилением К. В результате сигнал, являющийся оценкой скорости может быть взят с выхода первого интегратора фильтра следящей системы, либо образован путем пропускания выходной величины следящего измерителя координаты через дифференцирующую RC-цепь с функцией передачи Следовательно, система, проанализированная в предыдущем пункте, при является оптимальной для случая, когда цель движется с некоррелированными ускорениями. Параметры же оптимальной системы К и Тк не произвольны, а согласно (9.8.46) являются функциями интенсивности ускорений характеризующей маневренность цели, и интенсивности эквивалентных шумов на входе линеаризированного дискриминатора

Воспользовавшись тем, что дисперсия измерения координаты а дисперсия измерения скорости определяется выражением (9.8.42), получаем

Из формул (9.8.47) видно, что ошибка измерения скорости сильнее зависит от маневренности цели (величины

и слабее от уровня шумов чем ошибка измерения координаты. Для иллюстрации были рассчитаны ошибки измерения дальности и радиальной скорости оптимальной системой при двух значениях эквивалентной спектральной плотности и нескольких значениях

Результаты расчета сведены в табл. 9.6. В этой же таблице приведены значения коэффициента усиления разомкнутой петли, постоянной времени корректирующей цепи и эффективной полосы системы.

Ошибки, приведенные в таблице, характеризуют и флюктуационную и динамическую составляющие, причем последняя понимается в статистическом смысле. Из таблицы следует, что изменение на два порядка величины приводит к изменению ошибки измерения дальности в 5,6 раза и ошибки измерения скорости в 1,8 раза. Даже при высокой маневренности цели точность измерения скорости получается относительно высокой.

Полученные результаты дают возможность сравнить потенциальные точности измерения радиальной скорости по допплеровской частоте и по производной дальности в случае когерентного излучения. В рассматриваемом примере скорость представляет собой интеграл от белого шума и согласно (9.5.34) дисперсия ошибки ее измерения по допплеровскому сдвигу частоты равна

где эквивалентная спектральная плотность для оптимального частотного дискриминатора. При больших отношениях сигнал/шум согласно (9.5.29).

Здесь X — длина волны; эффективная ширина спектра флюктуаций сигнала.

Дисперсия ошибки измерения скорости как производной дальности определяется (9.8.47) и зависит от

(см. скан)

При больших отношениях сигнал/шум согласно (7.2.15) и (7.2.16)

где с — скорость света; среднеквадратическая ширина спектра модуляции сигнала, используемой для измерения дальности. Таким образом, отношение ошибок

где несущая частота излучаемого сигнала.

Для того чтобы определить обычный порядок величин отношений ошибок, учтем, что произведение Д/СЯ слабо зависит от длины волны и часто составляет величину порядка Отношение несущей частоты к ширине спектра модуляции обычно очень велико, так что даже при больших отношениях сигнал/шум

Тогда, учитывая, что обычно ширина спектра отраженного сигнала имеет порядок единиц-десятков герц, получаем, что даже при малой маневренности целей отношение Таким образом, измерение радиальной скорости по допплеровскому сдвигу частоты сигнала обеспечивает ббльшую точность, причем с увеличением маневренности цели выигрыш увеличивается. Следует заметить, что отношение слабо зависит от определяющих его параметров, поэтому даже при довольно сильном их изменении соотношение точностей измерения скорости двумя обсуждаемыми методами меняется мало.

2. Пусть закон изменения координаты известен с точностью до некоторых случайных коэффициентов Так обстоит дело, например, в случае, когда некоторое тело движется по баллистической кривой. Коэффициенты при этом случайны за счет случайности начальных условий. Как уже неоднократно

указывалось, часто соблюдаются условия, при которых справедливо представление в виде

где заданные функции.

Если, например, коэффициенты представляют собой значения первых ее производных в начальный момент времени Положим, что Это не нарушает общности, так как известное математическое ожидание всегда может быть учтено при измерении. Тогда функция корреляции процесса

где - симметричная матрица с элементами вектор-столбец, а означает транспонирование вектор-строка).

Уравнения (9.8.37) — (9.8.40) являются при этом уравнениями с вырожденным ядром и их решения легко находятся. Они имеют вид:

где матрица а матрица определяется выражением

Рис. 9.40. (см. скан) Оптимальный измеритель скорости при квазирегулярном изменении координаты : 1 - дискриминатор; 2 — усилитель с переменным усилением; 3 — интегратор; 4 — усилитель с переменным усилением; 5 — сумматор.

Функциональная схема оптимального измерителя координаты и скорости ее изменения соответствующая полученным выражениям, представлена на рис. 9.40. На вход дискриминатора измерителя подается смесь сигнала с шумом С выхода оптимального дискриминатора напряжение подается на усилитель с переменными коэффициентами усиления.

Закон изменения коэффициента усиления усилителя определяется выражением Выходные напряжения усилителей интегрируются, в результате чего образуются оценки коэффициентов Затем напряжения, представляющие собой оценки, пропускаются через две группы усилитглэй с коэффициентами усиления и соответственно. Образовавшиеся напряжения складываются по группам. В результате суммирования напряжений с выходов усилителей с коэффициентами усиления образуется оценка координаты которая управляет настройкой дискриминатора, а с коэффициентами усиления оценка скорости

Рассмотрим, с какой точностью измеряется скорость подобной системой. Дисперсия ошибки измерения скорости согласно (9.8.42) имеет вид

Обратимся к частному случаю Тогда, обозначая получаем

При больших

Обычно асимптотическое значение (9.8.61) достигается достаточно быстро. Из полученных выражений видно, что для функций растущих при неограниченном увеличении не быстрее, чем любая конечная степень ошибка измерения при стремится к нулю. Если, например, в общем случае, когда дисперсия определяется формулой (9.8.59), при больших временах наблюдения матрица

и выражение для дисперсии ошибки измерения упрощается Так, например, если полином степени т. е. то, вычисляя по приведенным формулам имеем

где значения для разных приведены в табл. 9.7

Таблица 9.7 (см. скан)

При ошибка в рассматриваемых случаях стремится к нулю. Поэтому при квазирегулярном законе изменения с помощью оптимальной системы измерения скорости достигается существенно более высокая точность измерения, чем при чисто случайном законе изменения если только время измерения может быть достаточно большим. Здесь, однако, более сильно, чем

при чисто случайном изменении на ошибку влияет эквивалентная интенсивность шума Ошибка оказывается пропорциональной Несмотря на это при больших временах измерения ошибка мала и данный способ измерения может превосходить по точности все другие, включая измерение допплеровского сдвига частоты. Так, например, в случае изменения дальности по закону случайный коэффициент) при больших временах наблюдения дисперсия измерения скорости, как производной дальности, была только что найдена, а дисперсия измерения скорости по допплеровскому сдвигу частоты определяется по формуле (9.5.42) и, если учесть, что равна

Отношение дисперсий равно

и при стремится к нулю. В последних выражениях крутизна оптимального дискриминатора измерения скорости по доплеровскому сдвигу частоты, крутизна оптимального дискриминатора дальности. Нужно заметить, что такой эффект имеет место только при квазирегулярном изменении дальности.