6.5.6. Ограничения теорий. Общая теория байесовой фильтрации

Подведем некоторые итоги, вытекающие из рассмотрения и сопоставления различных ветвей статистической теории применительно к задаче синтеза измерителей. Основной недостаток теории оценок заключается в требовании постоянства измеряемой величины за время наблюдения. Теория линейной фильтрации требует аддитивности измеряемой величины и помех, что на практике обычно не выполняется. Метод формирования апостериорной вероятности марковских процессов, вообще говоря, лишен этих недостатков, но он развит независимо от теории решений, так что для его использования при построении измерителя необходима некоторая конкретизация результатов этой теории. В то же время теория решений в принципе позволяет сформулировать общую задачу фильтрации, т. е. задачу нахождения оптимального решающего фильтра, в условиях, ни в коей мере не ограничительных в инженерной практике. Общую теорию фильтрации разумнее всего строить, основываясь на байесовом подходе.

Снова рассмотрим случайный процесс являющийся смесью полезных компонент и различного рода помех

и зависящий от измеряемой функции Как и в п. 6.5.5, параметр является случайной функцией времени. Пусть принимают в моменты из интервала соответственно значения Задача байесовой фильтрации состоит в построении векторной функции от выборочных значений к являющейся оценкой к, статистически в какой-то мере близкой к истинной реализации параметра

Векторным аналогом простой функции потерь является

Как легко убедиться аналогично п. 6.5.4, оптимальная оценка при этом соответствует вектору, обращающему в максимум апостериорное распределение (6.5.21). Система уравнений максимальной апостериорной вероятности запишется

В том же случае, когда оценка может использовать лишь предыдущие данные, решение ищется в виде

Апостериорная плотность вероятности принимает вид

а система уравнений (6.5.36) заменяется на

Аналогом скалярной квадратической функции потерь, приводящей к минимуму среднеквадратической

ошибки измерения, для любого интервала измерения явится в векторном случае квадратическая форма

где В — некоторая симметричная неособенная матрица. При этом средний риск равен

и является линейной комбинацией вторых моментов ошибок измерения, допущенных во все моменты наблюдения. Тем самым минимизируется эллипсоид рассеяния всех совместных оценок, что является наиболее общим требованием к ним.

В частном случае, когда матрица В диагональная, средний риск является просто взвешенной суммой дисперсий ошибок в отдельные моменты времени. Вариация среднего риска по оценочному вектору к дает систему уравнений, аналогичную (6.5.11), вне зависимости от конкретного вида матрицы В:

Снова формальным решением (6.5.39) является условное математическое ожидание вектора

В развернутом виде выражения (6.5.39) и (6.5.40) следует понимать как

и использовать соотношений совместно.

Когда же оператор оценки использует лишь предыдущие данные, то берется совокупность последних соотношений из (6.5.41):

Здесь оценка для находится один раз, когда уточнение же этой оценки после получения нового отрезка реализации не производится. Поэтому решение (6.5.41) не совпадает с решением (6.5.42), за исключением последнего момента наблюдения, для которого соответствующие уравнения из (6.5.41) и (6.5.42) совпадают.

Для многомерного случая в основном сохраняются все те положения, которые были подробно рассмотрены в теории оценок (п. 6.5.3). В частности, остается в силе то положение, что при апостериорном распределении вида

где произвольная функция, симметричная относительно нуля, и при симметричной функции потерь существует некоторое единое решение задачи байесовой фильтрации, совпадающее с оператором условного математического ожидания (6.5.40). Доказательство этого повторяет таковое для скалярного случая.

Кроме свойства, заключающегося в том, что оператор математического ожидания (6.5.40) минимизирует в среднем большой класс функций потерь, он еще всегда сводит к нулю значения ошибок измерения, усредненных по ансамблю измеряемого параметра и сигнала Это свойство выражается равенством

где скобки означают усреднение. Соотношение (6.5.43)

легко получить, умножив обе части (6.5.40) на совместную плотность вероятности величин у и X и проинтегрировав по Свойство несмещенности особенно полезно иметь в виду при наличии мешающих сигналов, структурно подобных полезному. Полное отсутствие ошибки смещения в оптимальной измерительной системе в этих условиях далеко не очевидно.

Все приведенные результаты подчеркивают универсальный характер условного математического ожидания. Сформулированное выше условие симметрии апостериорной вероятности удовлетворяется на практике при высоком уровне сигналов, а требование симметрии функции потерь не является сколь-нибудь существенным ограничением. В этих условиях теория оптимальной фильтрации освобождается от субъективных элементов, связанных с произволом в выборе функции потерь.

Учитывая столь привлекательные свойства оператора условного математического ожидания, казалось бы, остается лишь расшифровать математическую операцию, заключенную в (6.5.40), и перевести ее на радиотехнический язык. Однако строгое интегрирование удается провести лишь в аддитивном случае, когда

где случайные процессы с нормальным распределением. При этом приходим к уже известному винеровскому фильтру. В иных случаях строго и достаточно просто расшифровать операцию условного математического ожидания не удается. Поскольку возникает уверенность, что методика построения оптимальных измерителен должна основываться на изложенной выше теории, задача технической конкретизации оптимальной схемы приобретает еще большее значение, чем получение общих операторов.